10.8: Transformadas multidimensionales de Fourier

Al estudiar problemas como la propagación de ondas, a menudo tratamos con transformaciones de Fourier de varias variables. Esto es conceptualmente sencillo. Para una función\(f(x_1, x_2, \dots, x_d)\) que depende de coordenadas espaciales\(d\) independientes\(x_1, x_2, \dots x_d\), podemos Fourier transformar cada coordenada individualmente:\[F(k_1, k_2, \dots, k_d) = \int_{-\infty}^\infty dx_1\; e^{-ik_1x_1}\; \int_{-\infty}^\infty dx_2\; e^{-ik_2x_2}\,\cdots\, \int_{-\infty}^\infty dx_d\; e^{-ik_d x_d}\, f(x_1,x_2, \dots,x_N)\] Cada coordenada obtiene transformada de Fourier en su propia\(k\) variable independiente, por lo que resultado es también una función de variables\(d\) independientes.

Podemos expresar la transformada multidimensional de Fourier de manera más compacta usando notación vectorial. Si\(\vec{x}\) es un vector de coordenadas\(d\) -dimensional, las coordenadas transformadas por Fourier se pueden escribir como\(\vec{k}\), y la transformada de Fourier es\[F(\vec{k}) = \int d^d x \; \exp\left(-i\,\vec{k}\cdot\vec{x}\right) \, f\big(\vec{x}\big),\] donde\(\int d^d x\) denota una integral en toda la\(d\) -dimensional espacio, y\(\vec{k}\cdot\vec{x}\) es el producto punto habitual de dos vectores. La transformada inversa de Fourier es\[f(\vec{x}) = \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d}\; \exp\left(i\,\vec{k}\cdot\vec{x}\right)\, F\big(\vec{k}\big).\] La función delta, que introdujimos en la Sección 10.7, también se puede definir en el espacio\(d\) -dimensional, como la transformada de Fourier de una onda plana:\[\delta^d(\vec{x}-\vec{x}') = \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \, \exp\left[i\vec{k} \cdot \left(\vec{x}-\vec{x}'\right)\right].\] Tenga en cuenta que\(\delta^d\) tiene las dimensiones de\([x]^{-d}\). La función delta multidimensional tiene una propiedad de “filtrado” similar a la función delta unidimensional. Para cualquier\(f(x_1,\dots,x_d)\),\[\int d^dx \; \delta^d(\vec{x}-\vec{x}') \, f(\vec{x}) = f(\vec{x}').\]