11.2: Funciones del Verde Espacio-Tiempo

El método de función de Green también se puede utilizar para estudiar ondas. Por simplicidad, restringiremos la siguiente discusión a las ondas que se propagan a través de un medio uniforme. Además, solo consideraremos el espacio 1D; la generalización a dimensiones espaciales superiores es sencilla.

Como se discute en el Capítulo 6, la propagación de ondas puede ser modelada por la ecuación de onda\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \left(\frac{1}{c}\right)^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] \psi(x,t) = 0,\] donde\(\psi(x,t)\) es una función de onda compleja y\(c\) es la velocidad de onda. En adelante, para simplificar las ecuaciones, estableceremos\(c = 1\). (Puede revertir esta simplificación reemplazando todas las instancias de\(t\) con\(c t\), y\(\omega\) con\(\omega/c\), en las fórmulas posteriores).

La ecuación de onda describe cómo se propagan las ondas después de que ya han sido creadas. Para describir cómo se generan las ondas en primer lugar, debemos modificar la ecuación de onda introduciendo un término en el lado derecho, llamado fuente:\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] \psi(x,t)\, = f(x,t).\] El término fuente convierte la ecuación de onda en una ecuación diferencial parcial no homogénea, similar a la fuerza impulsora para el oscilador armónico impulsado.

Función de Green en el dominio del tiempo

La función de Green en el dominio del tiempo de la ecuación de onda se define estableciendo el término fuente en funciones delta tanto en el espacio\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right] G(x,x';t-t') = \delta(x-x')\, \delta(t-t').\] como en el tiempo: Como se puede ver,\(G\) es una función de dos variables espaciales\(x'\),\(x\) y, así como dos temporales variables\(t\) y\(t'\). Corresponde a la onda generada por un pulso\[f(x,t) = \delta(x-x')\,\delta(t-t').\] El operador diferencial en la ecuación de función de Green solo implica\(x\) y\(t\), así podemos considerar\(x'\) y\(t'\) como parámetros especificando dónde está el pulso localizada en el espacio y el tiempo. Esta función de Green debería depender de las variables de tiempo solo en la combinación\(t-t'\), como vimos en nuestra discusión anterior sobre la función del oscilador armónico Green (ver Sección 11.1). Para enfatizar esto, lo hemos escrito como\(G(x,x';t-t')\).

La función de Green describe cómo una fuente localizada en un punto espacio-tiempo influye en la función de onda en otras posiciones y tiempos. Una vez que hemos encontrado la función de Green, se puede utilizar para construir soluciones para fuentes arbitrarias:\[\psi(x,t) = \int dx' \,\int_{-\infty}^\infty dt'\; G(x,x';t-t') \, f(x', t').\]

Función de Green en el dominio de la frecuencia

La función de Green en el dominio de frecuencia se obtiene transformando Fourier la función de Green en el dominio del tiempo en la\(t-t'\) coordenada:\[G(x,x';\omega) = \int_{-\infty}^\infty d\tau\; e^{i\omega \tau}\, G(x,x'; \tau).\] Obedece la ecuación diferencial\[\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \omega^2 \right] G(x,x';\omega) = \delta(x-x').\] Así como podemos escribir la solución de dominio de tiempo a la ecuación de onda en términos del tiempo- domain Green, podemos hacer lo mismo para la solución de dominio de frecuencia:\[\Psi(x,\omega) = \int dx' \; G(x,x';\omega) \, F(x', \omega),\] donde\[\Psi(x,\omega) = \int_{-\infty}^\infty dt \; e^{i\omega t} \, \psi(x,t), \quad F(x,\omega) = \int_{-\infty}^\infty dt \; e^{i\omega t} \, f(x,t).\]

Condiciones de contorno de salida

Hasta el momento, no hemos especificado las condiciones de límite a lo largo\(x\). Existen varias opciones posibles de condiciones de contorno, correspondientes a diferentes escenarios físicos. Por ejemplo, si las olas quedan atrapadas dentro de un dominio finito\(x \in (x_a,x_b)\), con muros reflectantes, impondríamos condiciones de límite de Dirichlet:\(G(x,x';\omega) = 0\) for\(x,x' = (x_a~\mathrm{or}~x_b)\).

Nos centraremos en el interesante caso de un dominio espacial sin límites:\(x \in (-\infty, \infty)\). Esto describe, por ejemplo, un altavoz que emite ondas sonoras en un espacio vacío infinito. Las condiciones de límite relevantes para este caso se denominan condiciones de límite de salida. La función del Verde debe corresponder a una onda que se mueve\(x\) a la izquierda de la fuente, y a una onda que se mueve\(x\) a la derecha para la derecha de la fuente.

Podemos adivinar la forma de la función del Verde obedeciendo estas condiciones de límite:\[G(x,x';\omega) = \left\{\begin{array}{ll}A \, e^{-i\omega (x-x')}, & x \le x', \\ B \, e^{i\omega (x-x')}, & x \ge x'\end{array}\right. \quad \mathrm{for}\;\mathrm{some}\;\; A, B \in \mathbb{C}.\] Es sencillo verificar que esta fórmula para\(G(x,x',\omega)\) satisface la ecuación de onda tanto en las regiones\(x < x'\) como\(x > x'\), además de satisfacer el límite saliente condiciones. Para determinar los\(B\) coeficientes\(A\) y, tenga en cuenta que\(G(x,x')\) debe ser continuo en\(x = x'\), entonces\(A = B\). Entonces, la integración de la ecuación de la función de Green a través\(x'\) da\[\begin{align} \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{x'-\epsilon}^{x'+\epsilon} \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \omega^2\right]G(x-x') &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{x'-\epsilon}^{x'+\epsilon} \delta(x-x') \\ = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left\{ \left.\frac{\partial G}{dx} (x,x') \right|_{x = x'+\epsilon} - \left.\frac{\partial G}{\partial x} (x,x') \right|_{x = x'-\epsilon}\right\} &= i\omega (B + A) = 1.\end{align}\] Combinando estas dos ecuaciones da\(A = B = 1/2i\omega\). De ahí que,\[G(x,x';\omega) = \frac{e^{i\omega |x-x'|}}{2i\omega}. \label{outgoing-green-1d}\]