11.4: Mirando hacia el futuro

Las funciones de Green son ampliamente utilizadas en el estudio de las ondas acústicas y electromagnéticas, que es un vasto tema cubierto en cursos avanzados de física teórica, ingeniería eléctrica e ingeniería mecánica. Aquí, damos un breve bosquejo de algunas direcciones futuras de estudio.

Hasta el momento, hemos centrado nuestras atenciones en el caso más simple de un medio uniforme unidimensional infinito. La mayoría de las aplicaciones prácticas se refieren a tres dimensiones espaciales y medios no uniformes. Para tales casos, la función de Green en el dominio de frecuencia de la ecuación de onda puede generalizarse a\[\left[\nabla^2 + n^2(\vec{r}) \, \left(\frac{\omega}{c}\right)^2\right]\, G(\vec{r},\vec{r}';\omega) = \delta^3(\vec{r}-\vec{r}'),\] donde\(\nabla^2 = \partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 + \partial^2/\partial z^2\) está el operador Laplaciano tridimensional, y\(n(\vec{r})\) es un índice de refracción dependiente del espacio. En el lado derecho de esta ecuación se encuentra la función delta tridimensional, que describe una fuente puntual ubicada en posición\(\vec{r}'\) en el espacio tridimensional.

Cuando\(n = 1\), la ecuación anterior es similar a la función de Green en el dominio de frecuencia derivada en la Sección 11.2, excepto que el problema es tridimensional en lugar de unidimensional. De nuevo asumiendo condiciones de contorno salientes, la función de Green en tres dimensiones se puede encontrar usando integrales de contorno similares a las que hemos cubierto anteriormente; el resultado es\[G(\vec{r},\vec{r}';\omega) = -\frac{e^{i(\omega/c)|\vec{r}-\vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r}-\vec{r}'|}.\] Como la función del Verde 1D derivada en la Ec. (11.2.13), esto depende de\(|\vec{r}-\vec{r}'|\), y de ahí describe ondas que se emiten isotrópicamente desde la fuente en\(\vec{r}'\). No obstante, la magnitud de\(G\) ahora disminuye a cero con la distancia, debido a la\(|\vec{r}-\vec{r}'|\) en el denominador. Esto coincide con nuestra experiencia cotidiana de que el sonido emitido desde una fuente puntual se debilita con la distancia, lo que se debe a que la energía transportada por la onda saliente se extiende sobre un área mayor con una distancia creciente desde la fuente. Esto es a diferencia de las ondas en el espacio unidimensional, que no se debilitan con la distancia.

Cuando no\(n(\vec{r})\) es una constante sino que varía con la posición\(\vec{r}\), entonces las ondas que emite la fuente no irradian hacia afuera de una manera sencilla. Las variaciones en el índice de refracción hacen que las ondas se dispersen de formas complicadas. En la mayoría de las situaciones, la solución exacta para la función de Green no se puede obtener analíticamente, sino que debe calcularse utilizando métodos numéricos especializados.

Para las ondas electromagnéticas, existe otra complicación importante que viene del hecho de que los campos electromagnéticos son descritos por vectores (es decir, el vector de campo eléctrico y el vector de campo magnético), no escalares. Por lo tanto, la propagación de ondas electromagnéticas se describe mediante una ecuación de onda vectorial, no la ecuación de onda escalar que hemos visto hasta ahora. Además, las ondas electromagnéticas no son generadas por fuentes escalares, sino por fuentes vectoriales (típicamente, corrientes eléctricas). La función de Green correspondiente no es una función escalar, sino una entidad multicomponente llamada función de Green diádica, que describe las ondas vectoriales emitidas por una fuente vectorial.

Finalmente, aunque hasta ahora hemos tratado con ondas clásicas (no cuánticas), el concepto de función de Green se extiende a la teoría de la mecánica cuántica. En la teoría cuántica de campos, que es el principal marco teórico utilizado en la física fundamental, los cálculos suelen implicar generalizaciones mecánicas cuánticas de las funciones del Green que hemos estudiado anteriormente, cuyos valores ya no son números simples sino operadores mecánicos cuánticos.