5.1: La diferencia entre la mecánica cuántica relativista y la no relativista

Uno de los puntos clave en la física de partículas es que la relatividad especial juega un papel clave. Como todos ustedes saben, en la mecánica cuántica ordinaria ignoramos la relatividad. Por supuesto, la gente intentó generar ecuaciones para teorías relativistas poco después de que Schrödinger escribiera su ecuación. Hay dos ecuaciones de este tipo, una llamada Klein-Gordon y la otra llamada la ecuación de Dirac.

La estructura de la ecuación ordinaria de Schrödinger de una partícula libre (sin potencial) sugiere qué hacer. Podemos escribir esta ecuación como

\[\hat H\psi = \frac{1}{2m}{\vec{p}}^2 \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi.\]

Esto es claramente una declaración de la relación energía-impulso no relativista\(E=\dfrac{1}{2} m v^2\), ya que una derivada del tiempo en una onda plana baja un factor de energía. Recuerde, sin embargo, que\({\vec{p}}\) como operador también contiene derivados,\[{\vec{p}} = \frac{\hbar}{i} {\vec{\nabla}}.\] Una extensión natural sería utilizar la expresión energética relativista,

\[\hat H\psi = \sqrt{m^2c^4+{\vec{p}}^2c^2}\; \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi. \label{EQ3}\]

Esta es una ecuación sin sentido, a menos que especifiquemos cómo tomar la raíz cuadrada del operador. El primer intento de eludir este problema, de Klein y Gordon, fue tomar el cuadrado de la Ecuación\ ref {EQ3} para generar la Ecuación de Klein-Gordon (Ecuación\ ref {KG}):

Ecuación de Klein-Gordon

\[\left({m^2c^4+{\vec{p}}^2c^2}\right) \psi = - \hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi . \label{KG}\]

Esta es una excelente ecuación para partículas sin espín o partículas de spin one (bosones), pero no para describir fermiones (espín medio entero), ya que no hay información sobre spin está en esta ecuación. Esto necesita una cuidadosa consideración, ¡ya que el giro debe ser una parte intrínseca de una ecuación relativista!

Dirac se dio cuenta de que había una manera de definir la raíz cuadrada del operador. El truco que utilizó fue definir cuatro matrices\(\alpha\),\(\beta\) que cada una tenga la propiedad de que su plaza es una, y que anticonmuten,

\[\begin{align} {2} \alpha_i \alpha_i &= I, &\quad \\[4pt] \beta \beta &= I \\[4pt] \alpha_i \beta +\beta \alpha_i &= 0 \\[4pt] \alpha_i \alpha_j +\alpha_j \alpha_i &= 0\quad\text{$i \neq j$}.\end{align}\]

Esto conduce entonces a una ecuación que es lineal en el momento — y muy bien comportada:

Ecuación Dirac

\[(\beta m c^2 + c {\vec{\alpha}}\cdot {\vec{p}})\Psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi\]

Tenga en cuenta que la dimensión mínima para las matrices en las que podemos satisfacer todas las condiciones es\(4\), y así\(\Psi\) es un cuatro vector! Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que estas partículas tienen espín.

Investiguemos un poco más esta ecuación. Una de las posibles formas de\(\alpha_i\) y\(\beta\) es

\[\alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i\\\sigma_i & 0 \end{pmatrix},\quad \beta = \begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & -I \end{pmatrix},\]

donde\(\sigma_i\) están las matrices de giro Pauli de dos por dos

\[\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix},\quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.\]

(Estas matrices satisfacen algunas relaciones muy interesantes. Por ejemplo

\[\sigma_1 \sigma_2 = i\sigma_3,\quad \sigma_2 \sigma_1 = -i\sigma_3,\quad \sigma_2 \sigma_3 = i \sigma_1,\]etc. además\(\sigma_i^2=1\).)

Una vez que conocemos las matrices, podemos intentar estudiar una solución de onda plana (es decir, partícula libre):

\[\Psi({\vec{x}},t) = u({\vec{p}}) e^{i({\vec{p}} \cdot {\vec{x}} - Et)/\hbar}.\]

(Tenga en cuenta que el exponente es un “escalar de Lorentz”, ¡es independiente del marco de Lorentz!).

Si sustituimos esta solución encontramos que\(u({\vec{p}})\) satisface la ecuación del valor propio

\[\begin{pmatrix} m c^2 & 0 & p_3c & p_1c-i p_2 c\\ 0 & m c^2 & p_1c+ip_2c & -p_3c \\ p_3c & p_1c -ip_2c & -m c^2 & 0 \\ p_1c+ip_2c & -p_3c & 0 & - mc^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{pmatrix} = E \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{pmatrix}.\]

El problema del valor propio se puede resolver fácilmente, y encontramos la ecuación del valor propio

\[(m^2c^4 +p^2 c^2 -E^2)^2 = 0\]

que tiene las soluciones\(E=\pm \sqrt{m^2c^4+p^2 c^2}\). Los vectores propios para los valores propios positivos son

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ p_3c/(E+mc^2) \\ ( p_1c-ip_2c)/(E+mc^2) \end{pmatrix} \text{, and } \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ ( p_1c+ip_2c)/(E+mc^2)\\-p_3c/(E+mc^2) \end{pmatrix},\]

con expresiones similares para los dos vectores propios para las soluciones de energía negativa. En el límite del pequeño impulso, los vectores propios de energía positiva se convierten

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\text{, and } \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\]

y parecen denotar una partícula con giro hacia arriba y hacia abajo. Demostraremos que las otras dos soluciones están relacionadas con la ocurrencia de antipartículas (positrones).

Así como los fotones son la mejor manera de analizar (descomponer) el campo electromagnético, los electrones y los positrones son la forma natural de descomponer el campo Dirac que es la solución general de la ecuación de Dirac. Este análisis de una solución en términos de las partículas que contiene se llama (incorrectamente, por razones históricas) “segunda cuantificación”, y solo significa que hay una base natural en la que podemos decir que hay un estado en la energía\(E\), que es o lleno o vacío. Esto podría denominarse más correctamente como la “representación del número de ocupación” que debería ser familiar a partir de la física de la materia condensada. Esto nos ayuda a ver cómo una partícula puede ser descrita por estas ecuaciones de onda. ¡Sin embargo, queda un problema!