2.3: Medición y Probabilidad

Del segundo postulado hemos visto que los posibles resultados de una medición son los valores propios del operador correspondientes al observable medido. Sigue abierta la cuestión de cuál de los valores propios que obtendremos. Esta pregunta es resuelta por el tercer postulado, que da una receta sobre cómo predecir qué resultado se observará. No obstante, esta receta matemática no nos dice (en general) con absoluta certeza cuál de los autovalores será el resultado. Sólo nos proporciona la probabilidad de obtener cada valor propio.

En el postulado 3.b consideramos un observable\( \mathcal{A}\) y un sistema en el estado\( |\psi\rangle\). La ecuación de valor propio para el operador A (correspondiente a\( \mathcal{A}\)) se puede expresar como

\[A|n\rangle=a_{n}|n\rangle \nonumber\]

donde\( a_{n}\) están los valores propios y\( |n\rangle\) los vectores propios. El postulado establece que la probabilidad de obtener\( a_{n}\) como resultado de la medición de A es\(p\left(a_{n}\right)=|\langle n \mid \psi\rangle|^{2}\).

Queremos reexpresar el postulado en términos de la función de onda\(\psi(\vec{x})\). Para ello, necesitamos definir el producto interno en el espacio Hilbert de las funciones de onda. Dadas dos funciones de onda\(\psi(\vec{x}) \) y\( \varphi(\vec{x})\), el producto interno\(\langle\varphi \mid \psi\rangle \) viene dado por:

\[\langle\varphi \mid \psi\rangle=\int d^{3} \vec{x} \varphi(x)^{*} \psi(x) \nonumber\]

(donde ∗ indica el conjugado complejo).

Primero reescribimos el problema del valor propio para el operador A en términos de las funciones\(u_{n}(\vec{x})\) propias y los valores propios asociados\(a_{n}\):

\[A\left[u_{n}(\vec{x})\right]=a_{n} u_{n}(\vec{x}) \nonumber\]

Entonces, hemos visto que cualquier función puede expresarse en términos de las funciones propias\(u_{n}(\vec{x})\). También podemos expresar la función de onda en términos de estas funciones propias:

\[\psi(\vec{x})=\sum_{n} c_{n} u_{n}(\vec{x}), \text { with } c_{n}=\int d^{3} \vec{x} u_{n}^{*}(\vec{x}) \psi(\vec{x}) \nonumber\]

Finalmente, según el postulado 3.b la probabilidad de obtener el resultado\(a_{n} \) si el sistema está en el estado\(\psi(\vec{x}) \) viene dada por el producto interno:

\[\boxed{p\left(a_{n}\right)=\left|\int d^{3} \vec{x} u_{n}^{*}(\vec{x}) \psi(\vec{x})\right|^{2}=\left|c_{n}\right|^{2}} \nonumber\]

donde la última igualdad se desprende de la ortogonalidad de las funciones propias\(\int d^{3} \vec{x} u_{n}^{*}(\vec{x}) u_{m}(\vec{x})=0\), para\(m \neq n\). Dado que\(\left|c_{n}\right|^{2}=p\left(a_{n}\right)\) es una probabilidad, los coeficientes\(c_{n}\) de la expansión de la función de onda se denominan amplitud de probabilidad s. Ahora confirmamos que la función de onda contiene toda la información sobre el estado del sistema, ya que dada la función de onda podemos calcular todas las probabilidades de cada resultado para cada posible observable con el siguiente procedimiento:

1. Encuentra las funciones propias del operador del observable. Por ejemplo, dado un operador O, calcularemos sus funciones propias\(w_{n}(x)\), de tal manera que\(O\left[w_{n}(x)\right]=o_{n} w_{n}(x)\).
2. Encuentre la amplitud de probabilidad de la función de onda con respecto a la función propia del resultado de valor propio deseado.
   Por ejemplo, si el resultado es\(o_{m}\), tal que\(O\left[w_{m}(x)\right]=o_{m} w_{m}(x)\) vamos a calcular\(c_{m}=\int d^{3} \vec{x} w_{m}^{*}(\vec{x}) \psi(\vec{x})\).
3. La probabilidad de obtener el valor propio dado en la medición es el módulo de amplitud de probabilidad cuadrado. Por ejemplo\(p\left(o_{m}\right)=\left|c_{m}\right|^{2}\).

Colapso de función ondulada

El tercer postulado establece también que después de la medición el sistema se deja en el estado propio correspondiente al autovalor encontrado (más generalmente, si se asocia más de un estado propio al mismo valor propio, el estado se proyecta sobre el subespacio del autovalor\(a_{n}\), es decir, el subespacio abarcado por todos los autoestados asociados con\( a_{n}\)).

Este es el colapso de la función de onda, un concepto que suele ser bastante desconcertante en la mecánica cuántica. Podemos hacer esta afirmación al menos un poco menos desconcertante tomando en cuenta las dos consideraciones siguientes.

El colapso de la función de onda es desconcertante porque predice una evolución instantánea del sistema desde su estado previo a la medición\(\psi(x) \) hasta su estado posterior a la medición\( u_{n}(x)\) (cuando medimos\(a_{n}\)). Este tipo de evolución es muy diferente a la evolución habitual predicha por el cuarto postulado (que veremos en una conferencia posterior). Sin embargo, este comportamiento extraño surge de considerar el aparato de medición (y por lo tanto la medición) como un sistema clásico, fuera del ámbito de la mecánica cuántica. Si bien esta visión da la mayor parte del tiempo una respuesta correcta —y así la usaremos en esta clase—, es una descripción bastante imprecisa. Descripciones más rigurosas del proceso de medición, invocando por ejemplo la decoherencia ⁴, pueden dar una mejor imagen de lo que realmente sucede (por ejemplo, el colapso de la función de onda puede tomar un tiempo finito y medirse experimentalmente en algunos casos).

De manera más pragmática, se necesita el colapso de la función de onda para que el experimento sea consistente. Lo que implica el colapso es que si hago una medición y obtengo como resultado el valor propio\(a_{n}\), puedo volver a verificar ese resultado, repitiendo la medición justo después de la primera (sin tiempo para ningún cambio en el sistema entre las dos mediciones). Si no pudiera hacer esta segunda comprobación, nunca podría estar seguro de que obtuve la respuesta correcta la primera vez (por ejemplo, mi detector podría estar equivocado) y así nunca podría obtener ningún conocimiento sobre mi sistema.

Obs. : Quiero aclarar el significado de “subespacio del valor propio\(a_{n}\)”. Si hay un conjunto de estados propios asociados con el valor propio\( a_{n},\left|n_{j}\right\rangle\), entonces el estado\( |\psi\rangle\) se proyecta sobre una superposición de estos autoestados\(|\psi\rangle \rightarrow|n\rangle=\sum_{j} c_{j}\left|n_{j}\right\rangle\).

Nota

4 La decoherencia es el fenómeno por el cual un sistema cuántico abierto, interactuando con el entorno, experimenta una evolución irreversible que a menudo lo deja en un estado mejor descrito por las reglas de la mecánica clásica.

Medición de posición

Ya hemos calculado los valores propios y las funciones propias del operador de posición. Las funciones propias fueron\(u_{n}(x)=\delta\left(x-x_{n}\right)\) con valores propios\(x_{n}\). También se calculó la expansión de una función en términos de las funciones propias de posición. Repitiendo el cálculo para la función de onda encontramos:

\[c\left(x_{n}\right)=\int d x \delta\left(x-x_{n}\right) \psi(x)=\psi\left(x_{n}\right), \nonumber\]

de donde obtenemos que la probabilidad de encontrar una partícula en la posición\(x_{n}\) viene dada por:

\[p\left(x_{n}\right)=\left|\psi\left(x_{n}\right)\right|^{2} \nonumber\]

De manera más general, dado que\(x\) es continuo, podemos bajar el subíndice\(n\), ya que cualquier valor de\(x\) es un valor propio. Entonces, generalizando al caso 3D, podemos decir que la probabilidad de encontrar una partícula descrita por la función de onda\(\psi(\vec{x})\) en la posición\(\vec{x}\) viene dada por el módulo cuadrado de la función de onda misma:

\[\boxed{p(\vec{x})=|\psi(\vec{x})|^{2}} \nonumber\]

También podemos decir que la función de onda es la amplitud de probabilidad para la medición de posición. Más precisamente, debemos decir que la probabilidad de encontrar una partícula entre\(x\) y\(x+d x\) es\(p(x) d x=|\psi(x)|^{2} d x\) mientras\(|\psi(x)|^{2}\) es una densidad de probabilidad (por unidad de longitud). En 3D,\(|\psi(\vec{x})|^{2}\) es la densidad de probabilidad por unidad de volumen y la probabilidad viene dada por\(|\psi(\vec{x})|^{2} d^{3} x\).

Dada esta interpretación de la función ondulada, resulta natural exigir que la función ondulada se normalice. Requerimos que integrando la probabilidad de una posición particular sobre toda posición posible obtengamos 1 (es decir, certeza, ¡la partícula tiene que estar en alguna parte!). Entonces

\[\int d^{3} \vec{x} p(\vec{x})=1 \quad \rightarrow \quad \int d^{3} \vec{x}|\psi(\vec{x})|^{2}=1\nonumber\]

De ser una noción muy abstracta, la función de onda ha asumido así un significado muy físico. Todavía podemos decir que la función de onda describe el estado de un sistema y contiene toda la información sobre este sistema. Además, y más concretamente, el valor absoluto de la función ondulada nos indica dónde es más probable encontrar el sistema.

Medición de Momentum

Calculamos los valores propios y las funciones propias del operador de impulso para ser

\[p=\hbar k \quad \text { and } \quad u_{k}(x)=\Upsilon e^{i k x} \nonumber\]

(Observe que podríamos haber etiquetado los números de onda como\( k_{n}\) —y el impulso\( p_{n}\) — para tener la ecuación de autovalor:\( \hat{p} u_{n}=p_{n} u_{n}\), pero omitimos el subíndice\(n\) ya que momentum es una variable continua; luego también simplemente etiquetamos las funciones propias por\(k\) en lugar de\(n\)).

Como es habitual, nos gustaría que se normalizaran las funciones propias. No obstante\(\int u_{k}^{*}(x) u_{k}(x) d x=\int|\Upsilon|^{2} d x=\infty\) fíjense eso, por lo que no podemos fijar\(\Upsilon\) tal que el resultado se normalice como de costumbre. Para convención establecemos\(\Upsilon=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}: u_{k}(x)=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i k x}\) (estamos considerando el caso 1D). Ahora podemos calcular la amplitud de probabilidad para la medición del momento, calculando los coeficientes de expansión de la función de onda en términos de la base de las funciones propias del momento. Aquí renombramos los coeficientes\(c(k)\) de la expansión\(\varphi(k)\). Esto viene dado por:

\[c(k) \equiv \varphi(k)=\int u_{k}(x)^{*} \psi(x) \rightarrow \varphi(k)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int e^{-i k x} \psi(x) \nonumber\]

Observe que esta última ecuación es simplemente afirmar que la amplitud de probabilidad para la medición de momento es la transformada de Fourier de la función de onda,\(\varphi(k)=\mathcal{F}[\psi(x)]\). Entonces

\[p(k \rightarrow k+d k)=|\varphi(k)|^{2} d k \nonumber\]

es la probabilidad de encontrar que la partícula tiene un impulso entre\(\hbar k \) y\( \hbar(k+d k)\) al medir el momento.

Flujo de partículas

La elección del coeficiente\(\Upsilon \) implica que:

\[\int u_{k}^{*}(x) u_{k^{\prime}}(x) d x=\delta\left(k-k^{\prime}\right) \nonumber\]

que no es la normalización habitual para la función de onda.

¿Por qué no es posible normalizar los estados propios de impulso?

Vimos que para la función de onda, la normalización se relacionó con su interpretación como la amplitud de probabilidad para la posición. Si una función de onda está en un estado propio de impulso\( \psi(x)=u_{k}(x)\), entonces no podemos hablar realmente de una partícula, sino que el sistema es mejor descrito por una onda. De hecho, la probabilidad de encontrar el sistema en cualquier posición\(x\) es constante e igual a\( \Upsilon\). Así, el coeficiente\( \Upsilon\) puede estar mejor ligado a un flujo de partículas en lugar de a una densidad de partículas.

Podemos establecer\(v|\psi|^{2}=\Gamma \) dónde\(v=\frac{p}{m}=\frac{\hbar k}{m} \) está la velocidad y\(\Gamma \) corresponder a un flujo de partículas, como lo describe la onda plana\(e^{i k x} \). Luego\( \frac{\hbar k}{m}|\Upsilon|^{2}=\Gamma\) fija el valor de\( \Upsilon\) a\( \Upsilon=\sqrt{\frac{m \Gamma}{\hbar k}}\).

Valores de expectativa

Acabamos de ver que el resultado de una medición es una cantidad aleatoria (aunque por supuesto se limita a un conjunto dado de valores —los valores propios— entre los que podemos elegir). Para conocer más sobre el estado de un sistema necesitamos repetir la medición varias veces, con el fin de construir una estadística de lo observable.

Por ejemplo, podríamos estar interesados en saber cuál es el promedio de las mediciones de un particular observable. Esta cantidad suele denominarse en QM el valor de expectativa de un observable.

¿Cómo se suele calcular el promedio de una cantidad determinada? Considera por ejemplo el número promedio obtenido al lanzar un dado. En un experimento, tendría que tirar repetidamente los dados, registrar el número que sale (digamos\(n_{i} \)) y luego calcular la suma:\(\langle n\rangle=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} n_{i}\). Equivalentemente, podría contar el número de veces\(t_{n}\) que\(n\) aparece cada número y calcular el número promedio a partir de las frecuencias\(\nu_{n}=t_{n} / N:\langle n\rangle=\sum_{n=1}^{6} \nu_{n} n\). En el límite de N → ∞, las frecuencias se\(\nu_{n}\) acercan a las probabilidades\(\nu_{n} \rightarrow p_{n}\). Entonces para los dados tenemos\(p_{n}=1 / 6(\forall n)\) y el promedio es simplemente calcula a partir de la suma\(\frac{1}{6}(1+2+\ldots 6)=3.5\).

El procedimiento para calcular el promedio (o valor de expectativa) de una cantidad es muy general. Tenemos para funciones de distribución de probabilidad discreta y continua respectivamente

\[\langle x\rangle=\sum_{i} p_{i} x_{i} \qquad \quad \langle x\rangle=\int d x p(x) x \nonumber\]

En QM solo necesitamos reemplazar la probabilidad p por su valor como lo da el tercer postulado. Por ejemplo, el valor de expectativa de la posición se puede expresar en términos de la función de densidad de probabilidad dada por el módulo cuadrado de la función de onda:

\[\boxed{\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x|\psi(x, t)|^{2} d x} \nonumber\]

¿Cómo podemos en la práctica obtener este valor de expectativa? (es decir, realizando experimentos reales). Si hacemos una primera medición en una sola partícula y luego repetimos la medición una y otra vez esto no es lo que medimos. De hecho, en ese caso sabemos (por los postulados) que después de la primera medición esperamos obtener siempre el mismo resultado. De hecho, estas repetidas mediciones sucesivas son sólo una forma de comprobar que sí, conseguimos la primera respuesta correcta. (de lo contrario nunca podríamos estar seguros de nada, ya que ni siquiera sabríamos que nuestro aparato experimental funciona).

En cambio, lo que podemos hacer es adoptar una de dos estrategias. O podemos repetir el mismo experimento (no medición) muchas veces en el mismo sistema. Esto implica primero preparar el sistema en un estado dado con un procedimiento reproducible y luego realizar una medición. La segunda opción es hacer el experimento en un conjunto (un conjunto) de sistemas idénticos. Para obtener el valor exacto de expectativa necesitaríamos un número infinito (de repeticiones o sistemas), sin embargo una muestra lo suficientemente grande suele ser prácticamente suficiente.

Obs. : Observe que podemos reescribir la expresión anterior para el valor de expectativa de la posición como

\[ \langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, t)^{*} x \psi(x, t) d x=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, t)^{*} \hat{x}[\psi(x, t)] d x \nonumber\]

Esta última forma es una más general que es válida para cualquier operador.

Definición: Valor de expectativa

El valor de expectativa de un observable\(\hat{\mathcal{O}}\) es

\[\boxed{\langle\hat{\mathcal{O}}\rangle=\langle\psi|\hat{\mathcal{O}}| \psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, t)^{*} \hat{\mathcal{O}}[\psi(x, t)] d x } \nonumber\]

donde primero usamos la notación Dirac para expresar el valor de expectativa, que es una expresión aún más general.

Ejemplo

El valor de expectativa para el operador de momentum viene dado por:

\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, t)^{*} \hat{p}[\psi(x, t)] d x=\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x, t)^{*}\left(-i \hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial x}\right) d x \nonumber\]