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9.5: Energía Cinética Rotacional

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    objetivos de aprendizaje

    • Expresar la energía cinética rotacional en función de la velocidad angular y el momento de inercia, y relacionarla con la energía cinética total

    La energía cinética rotacional es la energía cinética debida a la rotación de un objeto y es parte de su energía cinética total. Observar la energía rotacional por separado alrededor del eje de rotación de un objeto produce la siguiente dependencia del momento de inercia del objeto:

    Energía cinética de rotación: Las cosas que ruedan sin resbalar tienen alguna fracción de su energía como cinética traslacional y el resto como cinética rotacional. La relación depende del momento de inercia del objeto que está rodando.

    \[\mathrm{E_{rotational}=\dfrac{1}{2}Iω^2,}\]

    donde\(\mathrm{ω}\) está la velocidad angular y\(\mathrm{I}\) es el momento de inercia alrededor del eje de rotación.

    El trabajo mecánico aplicado durante la rotación es el par (\(\mathrm{τ}\)) multiplicado por el ángulo de rotación\(\mathrm{(θ):W=τθ}\).

    La potencia instantánea de un cuerpo de aceleración angular es el par multiplicado por la velocidad angular:\(\mathrm{P=τω}\).

    Observe la estrecha relación entre el resultado de la energía rotacional y la energía retenida por el movimiento lineal (o traslacional):

    \[\mathrm{E_{translational}=\dfrac{1}{2}mv^2.}\]

    En el sistema de rotación, el momento de inercia toma el papel de la masa y la velocidad angular toma el papel de la velocidad lineal.

    Como ejemplo, calculemos la energía cinética rotacional de la Tierra (animada en la Figura 1). Como la Tierra tiene un periodo de alrededor de 23.93 horas, tiene una velocidad angular de 7.29×10 −5 rad/s La Tierra tiene un momento de inercia, I = 8.04×10 37 kg·m2. Por lo tanto, tiene una energía cinética rotacional de 2.138×10 29 J.

    imagen

    La Tierra Rotatoria: La rotación de la Tierra es un ejemplo destacado de la energía cinética rotacional.

    Esto se puede aprovechar parcialmente usando el poder de las mareas. La fricción adicional de las dos mareas globales crea energía de manera física, ralentizando infinitesimalmente la velocidad angular de la Tierra. Debido a la conservación del momento angular, este proceso transfiere el momento angular al movimiento orbital de la Luna, aumentando su distancia de la Tierra y su período orbital.

    Momento de inercia

    El momento de inercia es una propiedad de una masa que mide su resistencia a la aceleración rotacional alrededor de uno o más ejes.

    objetivos de aprendizaje

    • Identificar una propiedad de una masa descrita por el momento de inercia

    El Momento de Inercia

    El momento de inercia es una propiedad de la distribución de la masa en el espacio que mide la resistencia de la masa a la aceleración rotacional alrededor de uno o más ejes. La primera ley de Newton, que describe la inercia de un cuerpo en movimiento lineal, puede extenderse a la inercia de un cuerpo que gira alrededor de un eje utilizando el momento de inercia. Es decir, un objeto que está girando a velocidad angular constante permanecerá girando a menos que sea actuado por un par externo. De esta manera, el momento de inercia juega el mismo papel en la dinámica rotacional que la masa en la dinámica lineal: describe la relación entre el momento angular y la velocidad angular, así como el par y la aceleración angular.

    Momento de inercia: Una breve introducción al momento de inercia (inercia rotacional) para estudiantes de física basada en cálculo.

    El momento de inercia I de un objeto puede definirse como la suma de\(\mathrm{mr^2}\) para todas las masas puntuales de las que está compuesto, donde m es la masa y r es la distancia de la masa desde el centro de masa. Se puede expresar matemáticamente como:\(\mathrm{I = ∑mr^2}\). Aquí,\(\mathrm{I}\) es análogo a\(\mathrm{m}\) en movimiento traslacional.

    Como ejemplo, consideremos un aro de radio r. Suponiendo que el material del aro es uniforme, el momento de inercia del aro se puede encontrar sumando toda la masa del aro y multiplicando por la distancia de esa masa desde el centro de masa. Dado que el aro es un círculo y la masa es uniforme alrededor del círculo, el momento de inercia es\(\mathrm{mr^2}\). Toda la masa m está a una distancia r del centro.

    El momento de inercia también depende del eje alrededor del cual se gira un objeto. Los objetos generalmente girarán alrededor de su centro de masa, pero se pueden hacer rotar alrededor de cualquier eje. El momento de inercia en el caso de rotación alrededor de un eje diferente al centro de masa viene dado por el teorema del eje paralelo. El teorema establece que el momento de inercia para un objeto girado alrededor de un eje diferente paralelo al eje que pasa por el centro de masa es\(\mathrm{I_{cm}+mr^2}\) donde r es ahora la distancia entre los dos ejes e ICMICMIS el momento de inercia cuando se gira alrededor del centro de masa que aprendiste a calcular en el párrafo anterior.

    Una relación general entre el par, el momento de inercia y la aceleración angular es:\(\mathrm{net \; τ = Iα,}\) o\(\mathrm{α = \frac{(net \; τ)}{ I}}\). El τ neto es el par total de todas las fuerzas relativas a un eje elegido. Dichos pares son positivos o negativos y se suman como números ordinarios. La relación en\(\mathrm{τ = Iα}\) es el análogo rotacional a la segunda ley de Newton y es muy aplicable. Esta ecuación es realmente válida para cualquier par, aplicado a cualquier objeto y relativo a cualquier eje.

    Como se puede esperar, cuanto mayor sea el par, mayor será la aceleración angular. Por ejemplo, cuanto más fuerte empuja un niño en un tiovivo, más lento acelera para obtener el mismo par. La relación básica entre el momento de inercia y la aceleración angular es que cuanto mayor es el momento de inercia, menor es la aceleración angular. El momento de inercia depende no sólo de la masa de un objeto, sino también de su distribución de la masa en relación con el eje alrededor del cual gira. Por ejemplo, será mucho más fácil acelerar un tiovivo lleno de niños si se paran cerca de su eje que si todos se paran en el borde exterior.

    imagen

    Momento de inercia en un Merry-Go-Round: Un padre empuja un tiovivo de juegos en su borde y perpendicular a su radio para lograr el máximo torque.

    Puntos Clave

    • La energía cinética rotacional se puede expresar como:\(\mathrm{E_{rotational}=\dfrac{1}{2}Iω^2}\) dónde\(\mathrm{ω}\) está la velocidad angular y\(\mathrm{I}\) es el momento de inercia alrededor del eje de rotación.
    • El trabajo mecánico aplicado durante la rotación es el par multiplicado por el ángulo de rotación:\(\mathrm{(θ):W=τθ}\).
    • La potencia instantánea de un cuerpo de aceleración angular es el par multiplicado por la velocidad angular:\(\mathrm{P=τω}\).
    • Existe una estrecha relación entre el resultado de la energía rotacional y la energía retenida por el movimiento lineal (o traslacional).
    • La primera ley de Newton, que describe la inercia de un cuerpo en movimiento lineal, puede extenderse a la inercia de un cuerpo que gira alrededor de un eje utilizando el momento de inercia.
    • Un objeto que está girando a velocidad angular constante permanecerá girando a menos que sea actuado por un par externo.
    • Cuanto mayor sea el par, mayor será la aceleración angular.

    Elementos clave

    • par: Un efecto de rotación o torsión de una fuerza; (unidad SI newton-metro o Nm; unidad imperial pie-libra o ft-lb)
    • inercia: Propiedad de un cuerpo que resiste cualquier cambio a su movimiento uniforme; equivalente a su masa.
    • velocidad angular: Una cantidad vectorial que describe un objeto en movimiento circular; su magnitud es igual a la velocidad de la partícula y la dirección es perpendicular al plano de su movimiento circular.

    LICENCIAS Y ATRIBUCIONES

    CONTENIDO CON LICENCIA CC, COMPARTIDO PREVIAMENTE

    CC CONTENIDO LICENCIADO, ATRIBUCIÓN ESPECÍFICA

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