9.7: Naturaleza vectorial de la cinemática rotacional

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objetivos de aprendizaje

Identificar la dirección de un vector usando la Regla de la Mano Derecha

El momento angular y la velocidad angular tienen tanto magnitud como dirección y, por lo tanto, son cantidades vectoriales. La dirección de estas cantidades es intrínsecamente difícil de seguir: un punto en una rueda giratoria gira y cambia constantemente de dirección. El eje de rotación de una rueda giratoria es el único lugar que tiene una dirección fija. La dirección del momento angular y la velocidad se pueden determinar a lo largo de este eje.

Imagine el eje de rotación como un polo a través del centro de una rueda. El poste sobresale en ambos lados de la rueda y, dependiendo del lado que estés mirando, la rueda gira ya sea en sentido horario o antihorario. Esta dependencia de la perspectiva hace que determinar el ángulo de rotación sea un poco más difícil. Al igual que con todas las cantidades físicas, existe un estándar para la medición que hace que estos tipos de cantidades sean consistentes. Para las cantidades angulares, la dirección del vector se determina usando la Regla de la Mano Derecha, ilustrada en.

imagen

La regla de la mano derecha: La figura (a) muestra que un disco gira en sentido antihorario cuando se ve desde arriba. La figura (b) muestra la regla de la derecha. La dirección de la velocidad angular ω size y el momento angular L se definen como la dirección en la que apunta el pulgar de tu mano derecha cuando rizas tus dedos en la dirección de la rotación del disco como se muestra.

La regla de la mano derecha se puede utilizar para encontrar la dirección tanto del momento angular como de la velocidad angular. A partir de un disco giratorio, por ejemplo, volvamos a imaginar un poste a través del centro del disco, en el eje de rotación. Usando la regla de la mano derecha, tu mano derecha estaría agarrando el poste para que tus cuatro dedos (índice, medio, anillo y meñique) sigan la dirección de rotación. Es decir, una flecha imaginaria desde tu muñeca hasta la punta de tus dedos apunta en la misma dirección en la que gira el disco. Además, tu pulgar está apuntando recto en el eje, perpendicular a tus otros dedos (o paralelo al 'polo' en el eje de rotación). Usando esta regla de la mano derecha, la dirección de la velocidad angular ω y el momento angular L se definen como la dirección en la que apunta el pulgar de tu mano derecha cuando rizas tus dedos en la dirección de la rotación del disco.

Giroscopios

Un giroscopio es una rueda giratoria o disco en el que el eje es libre de asumir cualquier orientación.

objetivos de aprendizaje

Comparar el concepto de una rueda giratoria con un giroscopio

Un giroscopio es un dispositivo para medir o mantener la orientación basado en los principios del momento angular. Mecánicamente, un giroscopio es una rueda giratoria o disco en el que el eje es libre de asumir cualquier orientación. Aunque esta orientación no permanece fija, cambia en respuesta a un par externo mucho menos y en una dirección diferente a la que lo haría sin el gran momento angular asociado con la alta tasa de giro y momento de inercia del disco. La orientación del dispositivo permanece casi fija, independientemente del movimiento de la plataforma de montaje, ya que montar el dispositivo en un cardán minimiza el par externo.

Cómo funciona: Ejemplos

Torque: El par cambia el momento angular expresado por la ecuación,

\[\mathrm{τ=\dfrac{ΔL}{Δt}.}\]

Esta ecuación significa que la dirección de ΔL es la misma que la dirección del par que la crea, como se ilustra en. Esta dirección se puede determinar usando la regla de la mano derecha, que dice que los dedos de tu mano se curvan hacia la dirección de rotación o fuerza ejercida, y tu pulgar apunta hacia la dirección del momento angular, torque y velocidad angular.

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Dirección del Torque y Momentum Angular: En la figura (a), el par es perpendicular al plano formado por r y F y es la dirección a la que apuntaría tu pulgar derecho si rizas los dedos en la dirección de F. La figura (b) muestra que la dirección del par es la misma que la del momento angular que produce.

Rueda giratoria: Considera una rueda de bicicleta con asas unidas a ella, como en. Con la rueda girando como se muestra, su momento angular está a la izquierda de la mujer. Supongamos que la persona que sostiene la rueda intenta girarla como en la figura. Su expectativa natural es que la rueda gire en la dirección en la que la empuja, sin embargo, lo que sucede es bastante diferente. Las fuerzas ejercidas crean un par que es horizontal hacia la persona, y este par crea un cambio en el momento angular L en la misma dirección, perpendicular al momento angular original L, cambiando así la dirección de L pero no la magnitud de L. ΔL y L suman, dando un nuevo impulso angular con dirección que se inclina más hacia la persona que antes. El eje de la rueda se ha movido así perpendicular a las fuerzas ejercidas sobre ella, en lugar de en la dirección esperada.

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Efecto Giroscópico: En la figura (a), una persona que sostiene la rueda de la bicicleta giratoria la levanta con su mano derecha y empuja hacia abajo con su mano izquierda en un intento de girar la rueda. Esta acción crea un par directamente hacia ella. Este par provoca un cambio en el momento angular ΔL exactamente en la misma dirección. La Figura (b) muestra un diagrama vectorial que representa cómo ΔL y L se suman, produciendo un nuevo momento angular apuntando más hacia la persona. La rueda se mueve hacia la persona, perpendicular a las fuerzas que ejerce sobre ella.

Giroscopio: Esta misma lógica explica el comportamiento de los giroscopios (ver). Hay dos fuerzas que actúan sobre un giroscopio giratorio. El par producido es perpendicular al momento angular, por lo que se cambia la dirección del momento angular, pero no su magnitud. El giroscopio precede alrededor de un eje vertical, ya que el par es siempre horizontal y perpendicular a L. Si el giroscopio no está girando, adquiere impulso angular en la dirección del par (L=ΔL), y gira alrededor de un eje horizontal, cayendo justo como esperaríamos.

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Giroscopios: Como se ve en la figura (a), las fuerzas sobre un giroscopio giratorio son su peso y la fuerza de soporte desde el soporte. Estas fuerzas crean un par horizontal en el giroscopio, lo que crea un cambio en el momento angular ΔL que también es horizontal. En la figura (b), ΔL y L se suman para producir un nuevo impulso angular con la misma magnitud, pero diferente dirección, de manera que el giroscopio precede en la dirección mostrada en lugar de caer.

Aplicaciones

Los giroscopios sirven como sensores rotacionales. Por esta razón, las aplicaciones de los giroscopios incluyen sistemas de navegación inercial donde las brújulas magnéticas no funcionarían (como en el telescopio Hubble) o no serían lo suficientemente precisas (como en los ICBM). Otra aplicación es la estabilización de vehículos voladores, como helicópteros radiocontrolados o vehículos aéreos no tripulados.

Puntos Clave

La velocidad angular y el momento angular son cantidades vectoriales y tienen tanto magnitud como dirección.
La dirección de la velocidad angular y el momento angular son perpendiculares al plano de rotación.
Usando la regla de la mano derecha, la dirección tanto de la velocidad angular como del momento angular se define como la dirección en la que apunta el pulgar de tu mano derecha cuando rizas tus dedos en la dirección de rotación.
El par es perpendicular al plano formado por r y F y es la dirección que apuntaría tu pulgar derecho si rizas los dedos de tu mano derecha en la dirección de F.
La dirección del par es, por lo tanto, la misma que la del momento angular que produce.
El giroscopio precede alrededor de un eje vertical, ya que el par es siempre horizontal y perpendicular a L. Si el giroscopio no está girando, adquiere impulso angular en la dirección del par, y gira alrededor de un eje horizontal, cayendo justo como esperaríamos.

Elementos clave

momento angular: Una cantidad vectorial que describe un objeto en movimiento circular; su magnitud es igual al momento de la partícula, y la dirección es perpendicular al plano de su movimiento circular.
regla de la mano derecha: Dirección de la velocidad angular ω y momento angular L en el que el pulgar de tu mano derecha apunta cuando rizas tus dedos en la dirección de rotación.
velocidad angular: Una cantidad vectorial que describe un objeto en movimiento circular; su magnitud es igual a la velocidad de la partícula y la dirección es perpendicular al plano de su movimiento circular.
cardán: Un dispositivo para suspender algo, como la brújula de un barco, para que se mantenga nivelado cuando se vuelque su soporte.
par: Un efecto de rotación o torsión de una fuerza; (unidad SI newton-metro o Nm; unidad imperial pie-libra o ft-lb)

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