5A: Conservación del Momentum Angular

Al igual que en el caso del momento lineal, el error que tiende a cometerse en el caso del momento angular no es utilizar el principio de conservación del momento angular cuando se debe utilizar, es decir, aplicar conservación de energía mecánica en un caso en el que la energía mecánica no se conserva sino momento angular es. Consideremos el caso, por ejemplo, en el que uno deja caer un disco (desde una altura despreciable) que no está girando, sobre un disco que está girando, y después de la caída, los dos discos giran juntos como uno solo. La parte “juntos como uno” te avisa de que se trata de una colisión completamente inelástica (rotacional). Parte de la energía mecánica se convierte en energía térmica (y otras formas no contabilizadas) en la colisión. Es fácil ver que la energía mecánica se convierte en energía térmica si los dos discos son CD's y el inferior inicialmente está girando bastante rápido (pero no se está impulsando). Cuando dejas caer el superior sobre el inferior, habrá bastante deslizamiento antes de que el disco superior se ponga al día y los dos discos giren como uno solo. Durante el deslizamiento, es la fricción lo que aumenta la velocidad de centrifugado del CD superior y ralentiza el inferior. La fricción convierte la energía mecánica en energía térmica. Por lo tanto, la energía mecánica antes de la caída es menor que la energía mecánica después de la caída

El momento angular de un objeto es una medida de lo difícil que es evitar que ese objeto gire. Para un objeto que gira alrededor de un eje fijo, el momento angular depende de qué tan rápido esté girando el objeto, y de la inercia rotacional del objeto (también conocida como momento de inercia) con respecto a ese eje.

Inercia Rotacional (también conocido como Momento de Inercia)

La inercia rotacional de un objeto con respecto a un eje de rotación dado es una medida de la tendencia del objeto a resistir un cambio en su velocidad angular alrededor de ese eje. La inercia rotacional depende de la masa del objeto y de cómo se distribuye esa masa. Probablemente hayas notado que es más fácil comenzar a girar un tiovivo cuando no tiene hijos en él. Cuando los niños suben, la masa de lo que estás tratando de girar es mayor, y esto significa que la inercia rotacional del objeto que intentas girar es mayor. ¿También has notado que si los niños se mueven hacia el centro del tiovivo es más fácil comenzar a girar que cuando todos se sientan en el borde exterior del tiovivo? Lo es. Cuanto más lejos, en promedio, la masa de un objeto se distribuye lejos del eje de rotación, mayor es el momento de inercia del objeto con respecto a ese eje de rotación. La inercia rotacional de un objeto está representada por el símbolo I. Durante esta cobertura inicial de momento angular, no se requerirá calcular I a partir de la forma y masa del objeto. Se le dará I o se espera que lo calcule aplicando la conservación del momento angular (discutido a continuación).

Velocidad Angular

La velocidad angular de un objeto es una medida de lo rápido que está girando. Está representado por la letra griega omega, escrita w, (que no debe confundirse con la letra w que, a diferencia de omega, es puntiaguda en la parte inferior). La medida de ángulo más conveniente para discutir el movimiento rotacional es el radián. Al igual que el grado, un radián es una fracción de una revolución. Pero, mientras que un grado es\(\dfrac{1}{360}\) de revolución, un radián es\(\dfrac{1}{2\pi}\) de revolución. Las unidades de velocidad angular son entonces radianes por segundo o, en forma notacional,\(\dfrac{rad}{s}\). La velocidad angular tiene la dirección o sentido de rotación asociada a ella. Si se define una rotación que es en el sentido de las agujas del reloj cuando se ve desde arriba como una rotación positiva, entonces un objeto que gira en sentido antihorario según se ve desde arriba se dice que tiene una velocidad angular negativa. En cualquier problema que involucre la velocidad angular, uno es libre de elegir el sentido positivo de rotación, pero luego uno debe seguir con esa elección durante todo el problema.

Momentum Angular

El momento angular\(L\) de un objeto viene dado por:

\[L=I\omega\]

Tenga en cuenta que esto es consistente con nuestra definición original de momento angular como una medida del grado de tendencia del objeto a seguir girando, una vez que está girando. Cuanto mayor sea la inercia rotacional del objeto, más difícil es impedir que el objeto gire, y cuanto mayor sea la velocidad angular del objeto, más difícil es detener el giro del objeto.

La dirección del momento angular es la misma que la dirección de la velocidad angular correspondiente.

Torque

Definimos el par por analogía con la fuerza que es un empuje o tirón continuo sobre un objeto. Cuando hay una sola fuerza que actúa sobre una partícula, el impulso de esa partícula está cambiando. Un torque es lo que estás ejerciendo sobre la tapa de un frasco cuando intentas quitar la tapa. Cuando hay un solo par que actúa sobre un objeto rígido, el momento angular de ese objeto está cambiando.

Conservación del Momentum Angular

El Momentum Angular es un concepto importante porque, si no hay momento angular transferido hacia o desde un sistema, el momento angular total de ese sistema no cambia, y si hay momento angular que se transfiere a un sistema, la tasa de cambio del momento angular del sistema es igual a la velocidad a la que el momento angular se está transfiriendo al sistema. Como en el caso de la energía y el impulso, esto significa que podemos utilizar procedimientos simples de contabilidad (teneduría de libros) para hacer predicciones sobre los resultados de los procesos físicos. En este capítulo nos centramos en el caso especial en el que no hay pares externos lo que significa que no se transfiere ningún momento angular hacia o desde el sistema.

Definición: Conservación del Momentum Angular

Conservación del Momento Angular para el Caso Especial en el que no se Transfiere Momento Angular hacia o desde el Sistema desde el Exterior del Sistema

En cualquier proceso físico que involucre un objeto o un sistema de objetos libres de girar alrededor de un eje, siempre y cuando no haya pares externos ejercidos sobre el sistema de objetos, el momento angular total de ese sistema de objetos permanece igual durante todo el proceso.

La aplicación de la conservación del momento angular en la resolución de problemas físicos para casos que no implican transferencia de momento angular hacia o desde el sistema desde el exterior del sistema (sin par externo) es muy similar a la aplicación de la conservación de energía y a la aplicación de la conservación de ímpetu. Uno selecciona dos instantes en el tiempo, define el anterior como el instante anterior y el posterior como el instante posterior, y realiza los bocetos correspondientes del objeto u objetos en el sistema. Entonces uno escribe

\[L=L'\]

lo que significa “el momento angular en la imagen anterior es igual al momento angular en la imagen posterior”. A continuación, se reemplaza cada uno\(L\) con lo que es en términos de los momentos de inercia y velocidades angulares en el problema y resuelve la ecuación algebraica resultante para lo que se busca.

Un patinador está girando a\(32.0 rad/s\) with her arms and legs extended outward. In this position her moment of inertia with respect to the vertical axis about which she is spinning is \(45.6 kg ⋅m^2\). She pulls her arms and legs in close to her body changing her moment of inertia to \(17.5kg ⋅m^2\). What is her new angular velocity?

Solution

Un disco horizontal de inercia rotacional\(4.25kg ⋅m^2\) with respect to its axis of symmetry is spinning counterclockwise about its axis of symmetry, as viewed from above, at \(15.5\) revolutions per second on a frictionless massless bearing. A second disk, of rotational inertia \(1.80 kg ⋅m^2\) with respect to its axis of symmetry, spinning clockwise as viewed from above about the same axis (which is also its axis of symmetry) at \(14.2\) revolutions per second, is dropped on top of the first disk. The two disks stick together and rotate as one about their common axis of symmetry at what new angular velocity (in units of radians per second)?

Solution

Some preliminary work (expressing the given angular velocities in units of rad/s):

\[\omega1=15.5\dfrac{rev}{s}(\dfrac{2\pi* rad}{rev})=97.39\dfrac{rad}{s}\]

\[\omega2=14.2\dfrac{rev}{s}(\dfrac{2\pi* rad}{rev})=89.22\dfrac{rad}{s}\]

Now we apply the principle of conservation of angular momentum for the special case in which there is no transfer of angular momentum to or from the system from outside the system. Referring to the diagram:

\[I1\omega1-I2\omega2=(I1+I2)\omega'\]

\[\omega'=\dfrac{I1\omega1-I2\omega2}{I1+I2}\]

\[\omega'=\dfrac{(4.25kg⋅m^2)97.39rad/s- (1.80kg⋅m^2)89.22rad/s}{4.25kg⋅m^2+1.80kg⋅m^2}\]

\(\omega'=41.9 \dfrac{rad}{s}\) (Counterclockwise as viewed from above.)