4A: Conservación del Momentum

Un error común que implica la conservación del impulso surge en el caso de colisiones totalmente inelásticas de dos objetos, el tipo de colisión en la que los dos objetos colisionantes se pegan entre sí y se mueven como uno solo. El error es utilizar la conservación de la energía mecánica en lugar de la conservación del impulso. Una forma de reconocer que alguna energía mecánica se convierte a otras formas es imaginar un resorte para estar entre los dos objetos colisionantes de tal manera que los objetos comprimen el resorte. Entonces imagina que, justo cuando el resorte está a la máxima compresión, los dos objetos quedan trabados entre sí. Los dos objetos se mueven juntos como uno solo como en el caso de una típica colisión totalmente inelástica. Después de la colisión, hay energía almacenada en el resorte comprimido por lo que es evidente que la energía cinética total del par enclavado es menor que la energía cinética total del par antes de la colisión. No hay resorte en una típica colisión inelástica. La energía mecánica que se almacenaría en el resorte, si la hubiera, resulta en una deformación permanente y un aumento de temperatura de los objetos involucrados en la colisión.

El impulso de un objeto es una medida de lo difícil que es detener ese objeto. El impulso de un objeto depende tanto de su masa como de su velocidad. Considera dos objetos de la misma masa, por ejemplo, dos pelotas de béisbol. Uno de ellos viene hacia ti a\(10\) mph, y el otro a\(100\) mph. ¿Cuál tiene el mayor impulso? Respuesta: El béisbol más rápido es, por supuesto, más difícil de detener, por lo que tiene el mayor impulso. Ahora considera dos objetos de diferente masa con la misma velocidad, por ejemplo, una pelota de ping-pong y una bola de cañón, ambos llegando a ti a\(25\) mph. ¿Cuál tiene el mayor impulso? La bola de cañón es, por supuesto, más difícil de detener, por lo que tiene el mayor impulso.

El momento\(p\) de un objeto es igual al producto de la masa\(m\) y velocidad del objeto\(V\):

\[p=mV\]

El impulso tiene dirección. Su dirección es la misma que la de la velocidad. En este capítulo nos limitaremos al movimiento a lo largo de una línea (movimiento en una dimensión). Entonces sólo hay dos direcciones, hacia adelante y hacia atrás. Un objeto que avanza tiene una velocidad/impulso positivo y uno que se mueve hacia atrás tiene una velocidad/impulso negativo. Al resolver problemas de física, la decisión sobre qué camino se va a seguir normalmente se deja en manos del solucionador de problemas. Una vez que el solucionador de problemas decide qué dirección es la dirección positiva, debe exponer cuál es su elección (esta afirmación, a menudo hecha por medio de notación en un boceto, es una parte importante de la solución), y atenerse a ella durante todo el problema.

El concepto de impulso es importante en la física porque el impulso total de cualquier sistema permanece constante a menos que haya una transferencia neta de impulso a ese sistema, y si hay una transferencia de impulso en curso, la tasa de cambio del impulso del sistema es igual a la velocidad a la que se está dando impulso transferida al sistema. Como en el caso de la energía, esto significa que se pueden hacer predicciones respecto al resultado de los procesos físicos mediante procedimientos simples de contabilidad (contabilidad). El caso del impulso se complica por el hecho de que el impulso tiene dirección, pero en este encuentro inicial con la conservación del impulso se tratarán casos que involucran movimiento a lo largo de una línea recta. Cuando todo el movimiento está a lo largo de una y la misma línea, solo hay dos direcciones posibles para el impulso y podemos usar signos algebraicos (más y menos) para distinguir entre los dos. El principio de Conservación del Momentum se aplica en general. Sin embargo, en esta etapa del curso, consideraremos únicamente el caso especial en el que no haya una transferencia neta de impulso hacia (o desde) el sistema desde fuera del sistema.

Conservación del Momento en una Dimensión para el Caso Especial en el que No hay Transferencia de Momento hacia o desde el Sistema desde el Exterior del Sistema.

En cualquier proceso que involucre un sistema de objetos que todos se mueven a lo largo de una misma línea, siempre y cuando ninguno de los objetos sea empujado o tirado a lo largo de la línea por nada fuera del sistema de objetos (está bien si se empujan y tiran entre sí), el impulso total antes, durante y después del proceso permanece lo mismo.

El impulso total de un sistema de objetos es solo la suma algebraica de los momentos de los objetos individuales. Ese adjetivo “algebraico” significa que hay que prestar mucha atención a los signos más y menos. Si define “a la derecha” como su dirección positiva y su sistema de objetos consiste en dos objetos, uno moviéndose hacia la derecha con un impulso de\(12 kg⋅m/s\) y el otro hacia la izquierda con impulso\(5 kg⋅m/s\), entonces el impulso total es (+12 kgm/s) + (−5 kgm/s) que es +7 kgm/s. la respuesta final significa que el impulso total se dirige a la derecha.

Al leer esta selección, se espera que pueda aplicar la conservación del impulso a dos tipos diferentes de procesos. En cada una de estas dos clases de procesos, el sistema de objetos consistirá únicamente en dos objetos. En una clase, llamada colisiones, los dos objetos chocan entre sí. En la otra clase, anticolisiones los dos objetos comienzan juntos, y se separan por resorte. Algún desglose adicional de la clase de colisiones es pertinente antes de entrar en ejemplos. Los dos tipos extremos de colisiones son la colisión completamente inelástica y la colisión completamente elástica.

Ante una colisión completamente inelástica, los dos objetos se pegan entre sí y se mueven como uno solo. Este es el caso fácil ya que solo hay una velocidad final (debido a que están pegados, los dos objetos obviamente se mueven a una y la misma velocidad). Alguna energía mecánica se convierte a otras formas en el caso de una colisión completamente inelástica. Sería un gran error aplicar el principio de conservación de la energía mecánica a una colisión completamente inelástica. La energía mecánica no se conserva. Las palabras “completamente inelástico” te dicen que ambos objetos tienen la misma velocidad (como el uno del otro) después de la colisión.

En una colisión completamente elástica (a menudo denominada simplemente colisión elástica), los objetos rebotan entre sí de tal manera que ninguna energía mecánica se convierte en otras formas en la colisión. Dado que los dos objetos se mueven independientemente después de la colisión hay dos velocidades finales. Si se dan las masas y las velocidades iniciales, la conservación del impulso produce una ecuación con dos desconocidas, es decir, las dos velocidades finales. Tal ecuación no puede resolverse por sí misma. En tal caso, se debe aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. Sí aplica aquí. La expresión “completamente elástica” te dice que sí se aplica la conservación de la energía mecánica.

Al aplicar la conservación del impulso, primero se esboza una imagen de antes y de un después en la que se definen símbolos etiquetando objetos y flechas (indicando velocidad), y se define qué dirección se elige como la dirección positiva. La primera línea en la solución es siempre una afirmación de que el impulso total en la imagen de antes es el mismo que el impulso total en la imagen posterior. Esto normalmente se escribe por medio de una ecuación de la forma:

\[\sum p \rightarrow=\sum p'\rightarrow\]

El\(\Sigma\) en esta expresión es la letra griega mayúscula “sigma” y debe leerse “la suma de”. De ahí que la ecuación diga: “La suma de los momentos a la derecha en la imagen anterior es igual a la suma de los momentos a la derecha en la imagen posterior”. Al hacer la suma, un impulso hacia la izquierda cuenta como un impulso negativo hacia la derecha. El subíndice de flecha se está utilizando para definir la dirección positiva.

Usaremos los ejemplos para aclarar lo que se entiende por colisiones y anticolisiones; para introducir un concepto más, a saber, velocidad relativa (a veces denominada velocidad de hocico); y por supuesto, para mostrar al lector cómo aplicar la conservación del impulso.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): A Collision Problem

Dos objetos se mueven sobre una superficie horizontal sin fricción a lo largo de la misma línea en la misma dirección a la que nos referiremos como dirección hacia adelante. El objeto final de masa\(2.0 kg\) tiene una velocidad de\(15 m/s\) avance. El objeto principal de masa\(3.2 kg\) tiene una velocidad de\(11 m/s\) avance. El objeto final se pone al día con el objeto principal y los dos objetos experimentan una colisión completamente inelástica. ¿Cuál es la velocidad final de cada uno de los dos objetos?

Solución

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): An Anti-Collision Problem

Un cañón de masa m _c, que descansa sobre una superficie sin fricción, dispara una bola de masa m _B. El balón se dispara horizontalmente. La velocidad del hocico es v _M. Encuentra la velocidad de la pelota y la velocidad de retroceso del cañón.

Solución

Este es un ejemplo de un problema anticolisión. También implica el concepto de velocidad relativa. La velocidad del hocico es la velocidad relativa entre la bola y el cañón. Es la velocidad a la que se separan los dos. Si la velocidad de la pelota con respecto al suelo es v _B ^'a la derecha, y la velocidad del cañón en relación con el suelo es v _c^' a la izquierda, entonces la velocidad de la pelota en relación con el cañón, también conocida como la velocidad de la boca del balón, es v _M =v _B ^'+v _c^'. En los casos que no involucran armas o cañones, normalmente se usa la notación v _rel para “velocidad relativa” o, en relación con el ejemplo que nos ocupa, v _BC para “velocidad de la pelota en relación con el cañón”.