18A: Movimiento Circular - Aceleración Centípeta

Hay una tendencia a creer que si un objeto se mueve a velocidad constante entonces no tiene aceleración. Esto es cierto en el caso de un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria en línea recta. Por otro lado, una partícula que se mueve sobre una trayectoria curva se está acelerando ya sea que la velocidad esté cambiando o no. La velocidad tiene magnitud y dirección. En el caso de una partícula que se mueve sobre una trayectoria curva, la dirección de la velocidad cambia continuamente, y así la partícula tiene aceleración.

Ahora volvemos nuestra atención al caso de un objeto que se mueve en círculo. Comenzaremos con el caso más simple de movimiento circular, el caso en el que la velocidad del objeto es una constante, un caso denominado movimiento circular uniforme. Por el momento, hagamos que seas el objeto. Imagina que estás en un automóvil que viaja en sentido antihorario, a digamos 40 mph, visto desde arriba, alrededor de una pista circular bastante pequeña. Estás viajando en círculo. Tu velocidad no es constante. La magnitud de tu velocidad no está cambiando (velocidad constante), pero la dirección de tu velocidad cambia continuamente, ¡sigues girando a la izquierda! Ahora bien, si continuamente estás girando a la izquierda entonces debes estar adquiriendo continuamente algo de velocidad hacia la izquierda. De hecho, tu aceleración tiene que ser exactamente hacia la izquierda, en ángulo recto con tu velocidad porque, si tu velocidad no está cambiando, pero tu velocidad cambia continuamente, es decir, tienes algo de aceleración\(\vec{a}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}\), entonces por cada cambio infinitesimal en la lectura del reloj\(dt\), el cambio en la velocidad \(d\vec{v}\)que ocurre durante ese intervalo de tiempo infinitesimal debe ser perpendicular a la velocidad misma. (Si no fuera perpendicular, entonces la velocidad estaría aumentando o disminuyendo). Así que no importa dónde estés en el círculo (alrededor del cual estás viajando en sentido antihorario como se ve desde arriba) tienes una aceleración dirigida exactamente hacia la izquierda, perpendicular a la dirección de tu velocidad. Ahora bien, ¿qué es siempre directamente hacia la izquierda de ti si estás viajando en sentido antihorario alrededor de un círculo? ¡Precisamente! El centro del círculo siempre está directamente hacia la izquierda de ti. Tu aceleración es así, siempre, dirigida al centro. Llamamos a la aceleración dirigida al centro asociada con el movimiento circular aceleración centrípeta porque la palabra “centrípeta” significa “dirigida al centro”. Tenga en cuenta que si viaja alrededor del círculo en el sentido de las agujas del reloj como se ve desde arriba, está girando continuamente a la derecha y su aceleración se dirige hacia la derecha, recto hacia el centro del círculo. Estas consideraciones se aplican a cualquier objeto: un objeto que se mueve en círculo tiene aceleración centrípeta (dirigida al centro).

Tenemos un par de formas de caracterizar el movimiento de una partícula que se mueve en círculo. Primero, lo caracterizamos en términos de hasta dónde ha viajado la partícula a lo largo del círculo. Si necesitamos una variable de posición, establecemos un punto de inicio en el círculo y una dirección positiva. Por ejemplo, para un círculo centrado en el origen de un plano x-y podemos definir el punto donde el círculo cruza el eje x positivo como punto de inicio, y definir la dirección en la que la partícula debe moverse para ir en sentido antihorario alrededor del círculo como la dirección positiva. El nombre dado a esta variable de posición es s. La posición s es la distancia total, medida a lo largo del círculo, que la partícula ha recorrido. La velocidad de la partícula es entonces la velocidad de cambio de s,\(\dfrac{ds}{dt}\) y la dirección de la velocidad es tangente al círculo. El círculo en sí está definido por su radio. El segundo método para caracterizar el movimiento de una partícula es describirlo en términos de un segmento lineal imaginario que se extiende desde el centro de un círculo hasta la partícula. Para utilizar este método, también se necesita definir un segmento de línea de referencia; el eje x positivo es la opción convencional para el caso de un círculo centrado en el origen de un sistema de coordenadas x-y. Entonces, siempre y cuando conozcas el radio r del círculo, el ángulo\(theta\) que la línea a la partícula hace con la línea de referencia especifica completamente la ubicación de la partícula.

En geometría, la variable de posición s, define una longitud de arco en el círculo. Recordemos que, por definición, el ángulo\(\theta\) en radianes es la relación entre la longitud del arco y el radio:

\[\theta=\dfrac{s}{r} \]

Resolviendo para s tenemos:

\[s=r\theta \label{18-1}\]

en el que interpretamos la s como la posición sobre el círculo de la partícula y la\(\theta\) como el ángulo que un segmento lineal imaginario, desde el centro del círculo hasta la partícula, hace con un segmento de línea de referencia, como el eje x positivo. Claramente, cuanto más rápido se mueve la partícula, más rápido cambia el ángulo theta, y de hecho podemos obtener una relación entre la velocidad de la partícula y la tasa de cambio de\(\theta\) solo tomando la derivada del tiempo de ambos lados de la Ecuación\(\ref{18-1}\). Hagámoslo.

Comenzamos tomando la derivada de ambos lados de la Ecuación\(\ref{18-1}\) con respecto al tiempo:

\[\dfrac{ds}{dt}=r\dfrac{d\theta}{dt} \]

y luego reescribir el resultado como:

\[\dot{s} =r\dot{\theta}\]

solo para acostumbrar al lector a la idea de que representamos la derivada temporal de una variable, es decir, la tasa de cambio de esa variable, escribiendo el símbolo para la variable con un punto sobre ella. Luego reescribimos el resultado como

\[v=r \dot{\theta}\label{18-2}\]

para enfatizar el hecho de que la tasa de cambio de la posición en el círculo es la velocidad de la partícula (la magnitud de la velocidad de la partícula). Finalmente, definimos la variable\(\omega\) (“omega”) como la tasa de cambio del ángulo, es decir, que\(\omega\) es\(\dfrac{d\theta}{dt}\) y\(\omega\) es\(\dot{\theta}\). Debe quedar claro que\(\omega\) es la velocidad de giro para la línea imaginaria desde el centro del círculo hasta la partícula. Llamamos a esa tasa de giro la magnitud de la velocidad angular del segmento lineal. (La expresión velocidad angular,\(\omega\), se usa más comúnmente para caracterizar qué tan rápido y en qué dirección gira un cuerpo rígido, en lugar de una línea imaginaria). Reescritura\(v=r\dot{\theta}\) con\(\dot{\theta}\) reemplazado por\(\omega\) rendimientos:

\[v=r\omega \label{18-3}\]

Cómo depende la aceleración centrípeta de la velocidad de la partícula y del tamaño del círculo

Ahora estamos en condiciones de derivar una expresión para esa aceleración dirigida al centro (centrípeta) de la que estábamos hablando al inicio de este capítulo. Considera un intervalo de tiempo corto\(\Delta t\). (Tomaremos el límite como\(\Delta t\) va a cero antes del final de este capítulo.) Durante ese corto intervalo de tiempo, la partícula recorre una distancia\(\Delta s\) a lo largo del círculo y el ángulo que la línea, desde el centro del círculo hasta la partícula, realiza con la línea de referencia cambia en una cantidad\(\Delta \theta\).

Además, en ese tiempo\(\Delta t\), la velocidad de la partícula cambia de\(\vec{v}\) a\(\vec{v}'\), un cambio\(\Delta \vec{v}\) definido por\(vec{v}'=\vec{v}+\Delta\vec{v}\) representado en el siguiente diagrama vectorial (en el que las flechas que representan los vectores\(\vec{v}\) y se\(\vec{v}'\) han copiado desde arriba sin cambio en orientación o longitud). Tenga en cuenta que el ángulo pequeño\(\Delta \theta\) que aparece en el diagrama de adición vectorial es el mismo\(\Delta \theta\) que aparece en el diagrama anterior.

Si bien\(\vec{v}'\) es un vector nuevo, diferente de\(\vec{v}\), hemos estipulado que la velocidad de la partícula es una constante, por lo que el vector\(\vec{v}'\) tiene la misma magnitud que el vector\(\vec{v}\). Es decir,\(\vec{v}'=\vec{v}\). Redibujamos el diagrama de adición vectorial etiquetando ambos vectores de velocidad con el mismo símbolo v.

La magnitud de la aceleración centrípeta, por definición, puede expresarse como

\[a_c=\underset{\Delta t \rightarrow 0}{lim} \dfrac{\Delta V}{\Delta t}\]

Mira el triángulo en el diagrama de adición vectorial anterior. Se trata de un triángulo isósceles. Los dos ángulos no etiquetados en el triángulo son iguales entre sí. Además, en el límite a medida que\(\Delta t\) se\(\Delta \theta\) acerca a 0,\(\Delta \theta\) se acerca a 0, y como se acerca a 0, los otros dos ángulos deben\(90 ^\circ\) acercarse cada uno para que la suma de los ángulos permanezca\(180 ^\circ\), como debe, porque la suma de los ángulos interiores para cualquier triángulo es\(180 ^\circ\). Así en el límite como\(\Delta t\) se acerca a 0, el triángulo es un triángulo rectángulo y en ese límite podemos escribir:

\[\dfrac{\Delta v}{v}=tan(\Delta \theta)\]

\[\Delta v=v \tan(\Delta \theta)\]

Sustituyendo esto en nuestra expresión\(a_c\) porque tenemos:

\[a_c=\underset{\Delta t \rightarrow 0}{lim} \dfrac{vtan(\Delta\theta)}{\Delta t} \label{18-4}\]

Ahora invocamos la aproximación de ángulo pequeño a partir de las matemáticas de la geometría plana, una aproximación que se convierte en una ecuación real en el límite a medida que se\(\Delta \theta\) acerca a cero.

La aproximación de ángulo pequeño

Para cualquier ángulo que sea muy pequeño en comparación con\(\pi\) los radianes (cuanto menor sea el ángulo, mejor será la aproximación), la tangente del ángulo es aproximadamente igual al ángulo mismo, expresado en radianes; y el seno del ángulo es aproximadamente igual al ángulo mismo, expresado en radianes. De hecho,

\[tan(\Delta \theta) \underset{\Delta \theta \rightarrow 0}{\rightarrow} \Delta\theta\]

y

\[sin(\Delta \theta) \underset{\Delta \theta \rightarrow 0}{\rightarrow} \Delta\theta\]

donde\(\Delta\theta\) está en radianes.

La aproximación de ángulo pequeño nos permite escribir

\[a_c=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{lim} \dfrac{v \Delta \theta}{\Delta t}\]

[donde hemos reemplazado el de\(tan(\Delta\theta)\) la Ecuación\(\ref{18-4}\) anterior por\(\Delta \theta\)].

La v constante se puede tomar fuera del límite de rendimiento\(a_c=\underset{\Delta t\rightarrow 0}{lim} \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}\). Pero el\(\underset{\Delta t\rightarrow 0}{lim} \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\) es la velocidad de cambio del ángulo\(\theta\), que es, por definición, la velocidad angular\(\omega\). Así

\[a_c=v\omega\]

De acuerdo con la Ecuación\(\ref{18-3}\),\(v = r\omega\). Resolviendo eso\(\omega\) porque nos encontramos con eso\(\omega=\dfrac{v}{r}\). Sustituyendo esto en nuestra expresión por\(a_c\) rendimientos

\[a_c=\dfrac{v^2}{r} \label{18-5}\]

¡Por favor, haga sonar el rollo de tambor Este es el resultado que hemos estado buscando. Tenga en cuenta que sustituyendo\(r \omega\) por v, también podemos escribir nuestro resultado como

\[a_c=r\omega^2\label{18-6}\]

Cabe señalar que, a pesar de que hemos estado centrando nuestra atención en el caso en el que la partícula que se mueve alrededor del círculo se mueve a velocidad constante, la partícula tiene aceleración centrípeta ya sea que la velocidad esté cambiando o no. Si la velocidad de la partícula está cambiando, la aceleración centrípeta en cualquier instante es (todavía) dada por la ecuación\(\ref{18-5}\) con el\(v\) ser la velocidad de la partícula en ese instante (y además de la aceleración centrípeta, la partícula también tiene alguna aceleración a lo largo de la trayectoria circular conocida como aceleración tangencial). El caso que hemos investigado es, sin embargo, el caso notable. Incluso si la velocidad de la partícula es constante, la partícula tiene cierta aceleración solo porque la dirección de su velocidad cambia continuamente. Además, la aceleración centrípeta no es una aceleración constante porque su dirección cambia continuamente. Visualízalo. Si estás conduciendo en sentido antihorario (como se ve desde arriba) alrededor de una pista circular, la dirección en la que ves el centro del círculo cambia continuamente (y esa dirección es la dirección de la aceleración centrípeta). Cuando estás en el punto más oriental del círculo el centro está al oeste de ti. Cuando estás en el punto más septentrional del círculo el centro está al sur de ti. Cuando estás en el punto más occidental del círculo, el centro está al este de ti. Y cuando estás en el punto más meridional del círculo, el centro está al norte de ti.