B8: Capacitores, dieléctricos y energía en capacitores
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La capacitancia es una característica de un objeto conductor. La capacitancia también es una característica de un par de objetos conductores.
Comencemos con la capacitancia de un solo objeto conductor, aislado de su entorno. Supongamos que el objeto es neutral. Ahora pon algo de carga positiva sobre el objeto. El potencial eléctrico del objeto ya no es cero. Ponle un poco más de carga al objeto y el objeto tendrá un mayor valor de potencial eléctrico. Lo interesante es que, no importa cuánto, o cuán poca carga le pongas al objeto, la relación entre la cantidad de carga\(q\) en el objeto y el potencial eléctrico resultante\(\varphi\) del objeto tiene uno y el mismo valor.
\[\dfrac{q}{\varphi} \, \mbox{have the same value for any value of} \, q\]
Dupliques la carga, y, el potencial eléctrico se duplica. Se reduce la cantidad de carga a una décima parte de lo que era, y, el potencial eléctrico se convierte en una décima parte de lo que era. El valor real de la relación invariable se llama la capacitancia\(C_{sc}\) del objeto (donde el subíndice “\(sc\)” significa “conductor único”).
\[C_{sc}=\dfrac{q}{\varphi} \label{8-1}\]
donde:
- \(C_{sc}\)es la capacitancia de un solo conductor, aislado (distante de) su entorno,
- \(q\)es la carga del conductor, y
- \(\varphi\)es el potencial eléctrico del conductor en relación con el potencial eléctrico en el infinito (la posición definida para que seamos nuestro nivel cero de potencial eléctrico).
La capacitancia de un objeto conductor es una propiedad que tiene un objeto aunque no tenga ningún cargo. Depende del tamaño y forma del objeto.
Cuanta más carga positiva necesite agregar a un objeto para elevar el potencial de ese objeto\(1\) voltio, mayor será la capacitancia del objeto. De hecho, si define\(q_1\) que es la cantidad de carga debe agregar a un objeto conductor en particular para aumentar el potencial eléctrico de ese objeto en un voltio, entonces la capacitancia del objeto es\(\dfrac{q_1}{1 \, \mbox{volt}}\).
La capacitancia de un conductor esférico
Considere una esfera (ya sea una cáscara esférica vacía o una esfera sólida) de radio R hecha de un material perfectamente conductor. Supongamos que la esfera tiene una carga positiva q y que está aislada de su entorno. Ya hemos cubierto el hecho de que el campo eléctrico de la esfera cargada, desde una distancia infinita, hasta la superficie de la esfera, es indistinguible del campo eléctrico debido a una carga puntual q en la posición del centro de la esfera; y; en todas partes dentro de la superficie del esfera, el campo eléctrico es cero. Así, fuera de la esfera, el potencial eléctrico debe ser idéntico al potencial eléctrico debido a una carga puntual en el centro de la esfera (en lugar de la esfera). Trabajando tu camino desde el infinito, sin embargo, al pasar por la superficie de la esfera, el potencial eléctrico ya no cambia. Cualquiera que sea el valor del potencial eléctrico en la superficie de la esfera, ese es el valor del potencial eléctrico en cada punto dentro de la esfera.
Esto significa que el potencial eléctrico de la esfera es igual al potencial eléctrico que sería causado por una carga puntual (todo por sí misma) en un punto en el espacio a una distancia R de la carga puntual (donde R es el radio de la esfera).
Así,\(\varphi=\dfrac{kq}{R}\) es el potencial eléctrico de una esfera conductora de radio\(R\) y carga\(q\).
Resolviendo esta expresión para\(\dfrac{q}{\varphi}\) rendimientos:
\[\dfrac{q}{\varphi}=\dfrac{R}{k}\]
Dado que, por definición, la capacitancia\(C_{sc}=\dfrac{q}{\varphi}\), tenemos:
\[C_{sc}=\dfrac{R}{k} \label{8-2}\]
La capacitancia de una esfera conductora es directamente proporcional al radio de la esfera. Cuanto más grande es la esfera, más carga tienes que ponerle para elevar su potencial un voltio (en otras palabras, cuanto mayor sea la capacitancia de la esfera). Esto es cierto para la conducción de objetos en general. Dado que toda la carga desequilibrada en un conductor reside en la superficie del conductor, realmente tiene que ver con la cantidad de área superficial del objeto. Cuanta más superficie, más espacio tiene que extenderse la carga y, por lo tanto, más carga hay que poner sobre el objeto para elevar su potencial un voltio (es decir, mayor es la capacitancia del objeto).
Considera, por ejemplo, un clip típico. Solo se necesita una cantidad de carga del orden de un pC (picocoulomb,\(1\times 10^{-12}\) culombs) para elevar el potencial de un clip de papel\(10\) voltios.
La unidad de capacitancia es el culombio-por-voltio,\(\dfrac{C}{V}\). A esa unidad combinada se le da un nombre, el farad, abreviado\(F\).
\[1F=1\dfrac{C}{V}\]
La capacitancia de un par de objetos conductores
Hasta el momento, hemos estado hablando de la capacitancia de un objeto conductor que está aislado de su entorno. Le pones alguna carga a tal objeto y, como resultado, el objeto adquiere cierto valor de potencial eléctrico. La relación carga-potencial se llama la capacitancia del objeto. Pero consigue esto, si el conductor está cerca de otro conductor cuando le pones la carga, el conductor adquiere un valor diferente de potencial eléctrico (en comparación con el valor que adquiere cuando está lejos de todos los demás conductores) para exactamente la misma cantidad de carga. Esto significa que solo estar cerca de otro conductor cambia la capacitancia efectiva del conductor en cuestión. De hecho, si pones alguna carga en un conductor aislado, y luego llevas otro conductor a las proximidades del primer conductor, el potencial eléctrico del primer conductor cambiará, es decir, su capacitancia efectiva cambia. Investiguemos un caso particular para ver cómo se produce esto.
Considera una esfera conductora con cierta cantidad de carga,\(q\), sobre ella. Supongamos que, inicialmente, la esfera está lejos de su entorno y, como consecuencia de la carga sobre ella, se encuentra en un potencial\(\varphi\).
Tomemos un momento para revisar a qué nos referimos cuando decimos que la esfera está en un potencial\(\varphi\). Imagina que tomas una carga\(q_{T}\) de prueba desde una gran distancia de la esfera y la llevas a la superficie de la esfera. Entonces habrás cambiado la energía potencial de la carga de prueba de cero a\(q_{T}\varphi\). Para ello, hay que hacer una cantidad de trabajo\(q_{T}\varphi\) en el cargo de prueba. Estamos asumiendo que la carga de prueba estaba inicialmente en reposo y finalmente está en reposo. Hay que empujar la carga sobre la esfera. Se aplica una fuerza sobre una distancia para darle a esa partícula la energía potencial\(q_{T}\varphi\). Haces un trabajo positivo en ello. El campo eléctrico de la esfera ejerce una fuerza sobre la carga de prueba en la dirección opuesta a la dirección en la que se mueve la carga de prueba. El campo eléctrico hace una cantidad negativa de trabajo en la carga de prueba de tal manera que el trabajo total, el trabajo realizado por usted más el trabajo realizado por el campo eléctrico, es cero (como debe ser ya que la energía cinética de la carga de prueba no cambia). Pero quiero que enfoques tu atención en la cantidad de trabajo que debes hacer, empujando la carga de prueba en la misma dirección en la que va, para llevar la carga de prueba desde el infinito a la superficie de la esfera. Esa cantidad de trabajo se\(q_{T}\varphi\) debe a que\(q_{T}\varphi\) es la cantidad en la que se aumenta la energía potencial de la partícula cargada. Si tuvieras que repetir el experimento bajo diferentes circunstancias y encontraras que no tenías que hacer tanto trabajo para llevar la carga de prueba desde el infinito a la superficie de la esfera, entonces sabrías que la esfera está a un potencial menor que el que era la primera vez.
Ahora, estamos listos para explorar el caso que ilustrará que la relación carga-voltaje del objeto conductor depende de si hay o no otro conductor en las cercanías. Llevemos una esfera conductora idéntica cerca de un lado de la primera esfera. La primera esfera todavía tiene la misma cantidad de carga\(q\) sobre ella que siempre tuvo, y, la segunda esfera es neutral. La pregunta es: “¿Sigue siendo el potencial de la esfera original el mismo que lo que era cuando estaba sola?” Vamos a probarlo trayendo una carga desde una distancia infinita en el lado opuesto de la primera esfera (a diferencia del lado en el que ahora reside la segunda esfera). Experimentalmente encontramos que se necesita menos trabajo para llevar la carga de prueba a la esfera original que antes, lo que significa que la esfera original ahora tiene un menor valor de potencial eléctrico. ¿Cómo puede ser eso? Bueno, cuando acercamos la segunda esfera a la esfera original, la segunda esfera se polarizó. (A pesar de que es neutral, es un conductor por lo que la carga balanceada en él es libre de moverse.) La esfera original, que tiene carga positiva\(q\), atrae la carga negativa en la segunda esfera y repele la carga positiva. El lado cercano de la segunda esfera termina con una carga negativa y el lado lejano, con la misma cantidad de carga positiva. (La segunda esfera se mantiene neutral en general.) Ahora la carga negativa en el lado cercano de la segunda esfera atrae hacia ella la carga positiva (desequilibrada) sobre la esfera original. Entonces, la carga sobre la esfera original, en lugar de extenderse uniformemente sobre la superficie como era antes de que se introdujera la segunda esfera, se agolpa en el lado de la esfera original que está más cerca de la segunda esfera. Esto deja el otro lado de la esfera original, si no neutral, al menos menos cargado de lo que estaba antes. Como resultado, se necesita menos trabajo para llevar la carga de prueba positiva desde el infinito a ese lado de la esfera original. Como se mencionó, esto significa que el potencial eléctrico de la esfera original debe ser menor de lo que era antes de que la segunda esfera fuera traída a la imagen. Dado que todavía tiene la misma carga que siempre tuvo, el nuevo, menor potencial, significa que la esfera original tiene una mayor relación carga-potencial, y de ahí una mayor capacitancia efectiva.
En la práctica, en lugar de llamar a la relación carga-potencial de un conductor que está cerca de otro conductor, la “capacitancia efectiva” del primer conductor, definimos una capacitancia para el par de conductores. Considera un par de conductores, separados por vacío o material aislante, con una posición dada relativa entre sí. Llamamos a tal configuración condensador. Comience con ambos conductores siendo neutros. Toma algo de carga de un conductor y ponlo en el otro. La cantidad de carga movida de un conductor a otro se llama la carga del condensador. (Contraste esto con la carga total real del dispositivo que sigue siendo cero). Como resultado del reposicionamiento de la carga, existe una diferencia de potencial entre los dos conductores. Esta diferencia de potencial\(\Delta \varphi\) se llama el voltaje del condensador o, más a menudo, el voltaje a través del condensador. Usamos el símbolo\(V\) para representar el voltaje a través del condensador. En otras palabras,\(V \equiv \Delta \varphi\). La relación de la cantidad de carga movida de un conductor a otro, a, la diferencia de potencial resultante del condensador, es la capacitancia del condensador (el par de conductores separados por vacío o aislante).
\[C=\dfrac{q}{V}\label{8-3}\]
donde:
- \(C\)es la capacitancia de un condensador, un par de conductores separados por vacío o un material aislante,
- \(q\)es la “carga en el condensador”, la cantidad de carga que se ha movido de un conductor inicialmente neutro al otro. Un conductor del condensador en realidad tiene una cantidad de carga\(q\) en él y el otro en realidad tiene una cantidad de carga\(–q\) en él.
- \(V\)es la diferencia de potencial eléctrico\(\Delta \varphi\) entre los conductores. Se conoce como el voltaje del condensador. También se conoce como el voltaje a través del condensador.
Un condensador de dos conductores juega un papel importante como componente en los circuitos eléctricos. El tipo de condensador más simple es el condensador de placa paralela. Consta de dos láminas idénticas de material conductor (llamadas placas), dispuestas de tal manera que las dos láminas son paralelas entre sí. En la versión más simple del condensador de placa paralela, las dos placas están separadas por vacío.
La capacitancia de dicho condensador viene dada por
\[C=\epsilon_o \dfrac{A}{d}\]
donde:
- \(C\)es la capacitancia del condensador de placa paralela cuyas placas están separadas por vacío,
- \(d\)es la distancia entre las placas,
- \(A\)es el área de una cara de una de las placas,
- \(\epsilon_o\)es una constante universal llamada permitividad del espacio libre. \(\epsilon_o\)está estrechamente relacionado con la constante de Coulomb\(k\). De hecho,\(k=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_o}\).
Así,\(\epsilon=8.85\times 10^{-12} \dfrac{\mbox{C}^2}{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}\). Nuestra ecuación para la capacitancia se puede expresar en términos de la constante de Coulomb\(k\) como\(C=\dfrac{1}{4\pi k} \dfrac{A}{d}\), pero, es más convencional expresar la capacitancia en términos de\(\epsilon_o\).
Esta ecuación para la capacitancia es una fórmula aproximada. Es una buena aproximación siempre que la separación de placas\(d\) sea pequeña en comparación con una dimensión representativa de la placa (el diámetro en el caso de las placas circulares, la menor longitud del borde en el caso de las placas rectangulares). La derivación de la fórmula se basa en el supuesto de que el campo eléctrico, en la región entre las placas es uniforme, y el campo eléctrico fuera de esa región es cero. De hecho, el campo eléctrico no es uniforme en las proximidades de los bordes de las placas. Siempre y cuando la región en la que el campo eléctrico no esté bien aproximado por un campo eléctrico uniforme sea pequeña en comparación con la región en la que se encuentra, nuestra fórmula para la capacitancia es buena.
El efecto del material aislante entre las placas de un condensador
Para llegar al efecto de material aislante, en lugar de vacío, entre las placas de un condensador, necesito al menos delinear la derivación de la fórmula\(C=\epsilon_o \dfrac{A}{d}\). Tenga en cuenta que la capacitancia es la carga por voltaje del condensador. Supongamos que movemos\(q\) la carga de una placa inicialmente neutra a la otra. Suponemos que el campo eléctrico es uniforme entre las placas del condensador y cero en otra parte.
Por medios que conocerás más adelante en este libro establecemos que el valor del campo eléctrico (válido en todas partes entre las placas) viene dado por:
\[E=\dfrac{q}{A \epsilon_o} \label{8-4}\]
Además, sabemos que el trabajo realizado en una carga de prueba\(q_T\) por el campo eléctrico cuando la carga de prueba se mueve de la placa de mayor potencial a la placa de menor potencial es el mismo ya sea que la calculemos como fuerza-a lo largo de la trayectoria multiplicada por la longitud de la trayectoria, o, como el negativo del cambio en el energía potencial. Esto da como resultado una relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico de la siguiente manera:
\[\mbox{W calcualted as force times distance =W calculated as minus change in potential energy}\]
\[F\Delta x=-\Delta U\]
\[q_TEd=-q_T \Delta \varphi\]
\[Ed=-(-V)\]
\[V=Ed\]
El uso de Equation\(\ref{8-4}\) (\(E=\dfrac{q}{A\epsilon_o}\)) para reemplazar el\(E\) in\(V=Ed\) con nos\(\dfrac{q}{A\epsilon_o}\) da:
\[V=\dfrac{q}{A\epsilon_o}d\]
Resolviendo esto para\(q/V\) rendimientos
\[\dfrac{q}{V}=\epsilon_o \dfrac{A}{d}\]
para la relación carga-voltaje. Dado que la capacitancia es la relación carga-voltaje, esto significa
\[C=\epsilon_o \dfrac{A}{d}\]
que es lo que nos propusimos derivar.
Bien ahora, aquí está el trato de tener un aislante entre las placas: Considera un condensador que sea idéntico en todos los aspectos al que acabamos de tratar, excepto que hay un material aislante entre las placas, en lugar de vacío. Supongamos además que el condensador tiene la misma cantidad de carga q en él que el condensador de vacío entre placas tenía en él. La presencia del aislante entre las placas da como resultado un campo eléctrico más débil entre las placas. Esto significa que una carga de prueba movida de una placa a otra tendría menos trabajo realizado en ella por el campo eléctrico, lo que significa que experimentaría un cambio menor en la energía potencial, lo que significa que la diferencia de potencial eléctrico entre las placas es menor. Entonces, con la misma carga, pero una diferencia de potencial menor, la relación carga-voltaje (es decir, la capacitancia del condensador) debe ser mayor.
La presencia del material aislante hace que la capacitancia sea más grande. La parte del argumento anterior que aún necesita explicar es aquella parte sobre el material aislante que debilita el campo eléctrico. ¿Por qué el material aislante debilita el campo? Aquí está la respuesta:
Comenzando con el vacío entre las placas,
insertamos algún material aislante:
El campo eléctrico original polariza el material aislante:
La carga desplazada crea un campo eléctrico propio, en dirección opuesta a la del campo eléctrico original:
El campo eléctrico neto, estando en cada punto del espacio, la suma vectorial de las dos contribuciones al mismo, está en la misma dirección que el campo eléctrico original, pero más débil que el campo eléctrico original:
Esto es lo que queríamos mostrar. La presencia del material aislante genera un campo eléctrico más débil (para la misma carga en el condensador), lo que significa una diferencia de potencial menor, lo que significa una mayor relación carga-voltaje, lo que significa una mayor capacitancia. Cuanto más grande depende de cuánto esté polarizado el aislador que depende del tipo de material en el que se compone el aislador. Un material aislante, cuando se coloca entre las placas de un condensador se denomina dieléctrico. El efecto neto de usar un dieléctrico en lugar de vacío entre las placas es multiplicar la capacitancia por un factor conocido como la constante dieléctrica. Cada dieléctrico se caracteriza por una constante dieléctrica sin unidades específica del material del que está hecho el dieléctrico. La capacitancia de un condensador de placa paralela que tiene un dieléctrico entre las placas, en lugar de vacío, es solo la constante dieléctrica\(\kappa\) multiplicada por la capacitancia del mismo condensador con vacío entre las placas.
\[C=\kappa \epsilon_o \dfrac{A}{d}\label{8-5}\]
donde:
- \(C\)es la capacitancia del condensador de placa paralela cuyas placas están separadas por un material aislante,
- \(\kappa\)es la constante dieléctrica que caracteriza el material aislante entre las placas,
- \(d\)es la distancia entre las placas,
- \(A\)es el área de una cara de una de las placas, y
- \(\epsilon_o\)es una constante universal llamada permitividad del espacio libre.
Al llamar a la constante dieléctrica para el vacío 1 (exactamente una), podemos considerar que esta ecuación se aplica a todos los condensadores de placa paralela. Algunas constantes dieléctricas de los materiales utilizados en los condensadores fabricados se proporcionan en la siguiente tabla:
| Sustancia | Constante dieléctrica |
|---|---|
| Aire | 1.00 |
| Óxido de aluminio (un producto de corrosión que se encuentra en muchos capacitores electrolíticos) | 7 |
| Mica | 3-8 |
| Dióxido de Titanio | 114 |
| Vacío | 1 (exactamente) |
| Papel Encerado | 2.5-3.5 |
Energía almacenada en un condensador
Mover la carga de una placa de condensador inicialmente neutra a la otra se llama cargar el condensador. Cuando carga un condensador, está almacenando energía en ese condensador. Proporcionar una ruta de conducción para que la carga regrese a la placa de la que proviene se llama descargar el condensador. Si descargas el condensador a través de un motor eléctrico, definitivamente puedes hacer que esa carga haga algún trabajo en los alrededores. Entonces, ¿cuánta energía se almacena en un condensador cargado? Imagina el proceso de carga. Usas algo de fuerza para mover alguna carga a una distancia de una placa a otra. Al principio, no toma mucha fuerza porque ambas placas son neutras. Pero cuanto más carga haya reubicado ya, más difícil es mover más carga. Piénsalo. Si está moviendo carga positiva, está tirando carga positiva de una placa cargada negativamente y empujándola sobre una placa cargada positivamente. La cantidad total de trabajo que realiza al mover la carga es la cantidad de energía que almacena en el condensador. Calculemos esa cantidad de trabajo.
En esta derivación, una minúscula\(q\) representa la cantidad variable de carga en la placa del condensador (aumenta a medida que cargamos el condensador), y una\(Q\) mayúscula representa la cantidad final de carga. De manera similar, una minúscula\(v\) representa la cantidad variable de voltaje a través del condensador (también aumenta a medida que cargamos el condensador), y la mayúscula\(V\) representa el voltaje final a través del condensador. Let\(U\) representa la energía almacenada en el condensador:
\[dU=vdp\]
pero el voltaje a través del condensador está relacionado con la carga del condensador por\(C = q/v\) (Ecuación\ ref {8-3}), que, resuelto para\(v\) es\(v = q/C\), entonces:
\[\begin{align} dU&=\dfrac{q}{C}dq \\[5pt] \int dU&=\dfrac{1}{C} \int_{0}^{Q} q dq \\[5pt] U&=\dfrac{1}{C} \dfrac{q^2}{2} \Big |_{0}^{Q} \\[5pt] U&=\dfrac{1}{C} \left( \dfrac{Q^2}{2}-\dfrac{0^2}{2} \right) \\[5pt] U&=\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{C} Q^2 \end{align}\]
Usando\(C = Q/V\), también podemos expresar la energía almacenada en el condensador como\(U=\dfrac{1}{2} QV\), o
\[U=\dfrac{1}{2} CV^2 \label{8-6}\]