B11: Resistividad y Potencia

En el capítulo 9 discutimos resistencias que se ajustan a la Ley de Ohm. De la discusión, se podría deducir que la resistencia de dicha resistencia depende de la naturaleza del material del que está hecha la resistencia y del tamaño y forma de la resistencia. De hecho, para resistencias hechas de un solo tipo de material, en forma de cable con un terminal en cada extremo,

la resistencia viene dada por:

\[R=\varrho \frac{L}{A}\label{11-1}\]

donde:

• \(R\)es la resistencia de la resistencia medida entre los extremos,
• \(\varrho\)es la resistividad de la sustancia de la que está hecha la resistencia,
• \(A\)es el área de la sección transversal de la resistencia en forma de alambre, y
• \(L\)es la longitud de la resistencia.

Los valores de resistividad para varios materiales comunes se proporcionan en la siguiente tabla:

Material	Resisitividad\(\varrho\)
Plata	\(1.6\times 10^{-8} \, \Omega \cdot m\)
Cobre	\(1.7\times 10^{-8} \space\Omega \cdot m\)
Oro	\(2.4\times 10^{-8} \space\Omega \cdot m\)
Aluminio	\(3\times 10^{-8} \space\Omega \cdot m\)
Tungsteno	\(5.6\times 10^{-8} \space\Omega \cdot m\)
Nichrome	\(1.0\times 10^{-6} \space\Omega \cdot m\)
Agua de mar	\(0.25 \space\Omega \cdot m\)
Caucho	\(1\times 10^{13} \space\Omega \cdot m\)
Vidrio	\(1\times 10^{10} \, \mbox{ to } 1\times 10^{14}\space\Omega \cdot m\)
Cuarzo	\(5\times 10^{15} \, \mbox{ to } 7.5\times 10^{17}\space\Omega \cdot m\)

En la expresión\(R=\varrho \frac{L}{A}\), la resistividad\(\varrho\) depende de la densidad del portador de carga, es decir, del número de portadores de carga por volumen. Cuantos más portadores de carga por volumen, menor será la resistencia ya que, para una velocidad dada de los portadores de carga, más de ellos pasarán cualquier punto a lo largo de la longitud de la resistencia cada segundo para un voltaje dado a través de la resistencia. La resistividad también depende del factor de fuerza retardante. Dijimos que la fuerza de retardo en cada portador de carga es proporcional a la velocidad de ese portador de carga.

\[\mbox{Retarding Force = -(factor) times (charge carrier velocity)}\]

(El signo menos está ahí porque la fuerza de retardo está en la dirección opuesta a la de la velocidad del portador de carga). Cuanto mayor sea el factor de fuerza retardante, mayor será la resistividad del material para el que se aplica el factor.

La densidad del portador de carga y el factor de fuerza retardante determinan el valor de\(\varrho\). El efecto de\(\varrho\) sobre la resistencia es evidente en la expresión\(R=\varrho \frac{L}{A}\). Cuanto más grande\(\varrho\) es, mayor es la resistencia.

¿Por qué el factor de\(L\) in\(R=\varrho \frac{L}{A}\)? Es decir que cuanto mayor es la longitud de la resistencia de una sola sustancia en forma de cable, mayor es la resistencia de la resistencia, todas las demás cosas son iguales (misma sustancia, misma área de sección transversal). Significa, por ejemplo, que si tienes dos resistencias, idénticas en todos los aspectos excepto que una es el doble de larga que la otra, y pones el mismo voltaje en cada una de las resistencias, obtendrás la mitad de la corriente en la resistencia más larga. ¿Por qué es eso?

Para llegar a la respuesta, debemos considerar el campo eléctrico dentro de la resistencia en forma de cable cuando tenemos un voltaje\(V\) a través de la resistencia. El caso es que el campo eléctrico dentro de la resistencia se dirige a lo largo de la longitud de la resistencia, y, tiene la misma magnitud en todas partes a lo largo de la longitud de la resistencia. La evidencia de esto se puede obtener por medio de simples mediciones de voltaje. Use un voltímetro para medir la diferencia de potencial\(\Delta \varphi\) entre dos puntos en la resistencia que están separados por una cierta distancia\(\Delta x\), digamos\(2\) mm (medidos a lo largo de la longitud de la resistencia) por ejemplo. Resulta que no importa en qué parte de la longitud escojas el par de puntos (separados entre sí por el ∆x), siempre obtienes la misma lectura de voltaje. Imagínese (esta parte es un experimento mental) mover una carga de prueba positiva\(q_T\) esa distancia\(\Delta x\) a lo largo de la resistencia de alto potencial a bajo potencial. No importa en qué parte de la longitud de la resistencia hagas eso, el trabajo realizado (por el campo eléctrico caracterizado por el potencial)\(q_T \Delta \varphi\) (calculado como el negativo del cambio de la energía potencial de la carga de prueba) es el mismo. El trabajo, calculado como fuerza tiempos distancia, es\(q_TE\Delta x\). Para que eso sea lo mismo en cada punto a lo largo de la longitud de la resistencia, el campo eléctrico\(E\) tiene que tener el mismo valor en todas partes a lo largo de la longitud de la resistencia. Además, establecer las dos expresiones para el trabajo iguales entre sí produce:

\[q_T E\Delta x=q_T \Delta \varphi\]

\[E=\frac{\Delta \varphi}{\Delta x}\]

\(E\)ser constante significa así que\(\frac{\Delta \varphi}{\Delta x}\) es constante lo que significa que una gráfica de\(\varphi\) vs.\(x\) es una línea recta con pendiente\(\frac{\Delta V}{\Delta x}\). Pero, en el cálculo de esa pendiente, ya que es una línea recta, no tenemos que usar un poquito minúsculo\(\Delta x\). Podemos usar toda la longitud de la resistencia y la diferencia de potencial correspondiente, que es el voltaje\(V\) a través de la resistencia. Por lo tanto,

\[E=\frac{V}{L}\]

donde:

• \(E\)es la magnitud del campo eléctrico en todas partes en la resistencia en forma de cable de una sola sustancia,
• \(V\)es el voltaje a través de la resistencia, y
• \(L\)es la longitud de la resistencia.

Este resultado (\(E=\frac{V}{L}\)) es profundo en sí mismo, pero, si recuerda, estábamos trabajando en responder a la pregunta sobre por qué la resistencia\(R\), de una resistencia en forma de alambre de una sola sustancia, es proporcional a la longitud de la resistencia. Ya casi estamos ahí. La resistencia es la relación entre el voltaje a través de la resistencia y la corriente en ella. Según\(E=\frac{V}{L}\), cuanto más larga es la resistencia, más débil es el campo eléctrico en la resistencia para un voltaje dado a través de ella. Un más débil\(E\) da como resultado una velocidad terminal más pequeña para los portadores de carga en la resistencia, lo que resulta en una corriente más pequeña. Así, cuanto más larga es la resistencia, menor es la corriente; y; cuanto menor es la corriente, mayor es la relación voltaje-corriente; es decir, mayor es la resistencia.

La siguiente característica que afecta a la resistencia en la\(R=\varrho \frac{L}{A}\) que quiero discutir es el área\(A\). ¿Por qué eso debería afectar la resistencia de la manera en que lo hace? Su presencia en el denominador significa que cuanto mayor es el área de la sección transversal de la resistencia en forma de alambre, menor es la resistencia. ¿Por qué es eso?

Si comparamos dos resistencias diferentes hechas del mismo material y que tienen la misma longitud (pero diferentes áreas de sección transversal) teniendo ambas el mismo voltaje a través de ellas, tendrán el mismo campo eléctrico\(E=\frac{V}{L}\) en ellas. Como resultado, los portadores de carga tendrán la misma velocidad\(v\). En una cantidad de tiempo\(\Delta t\),

\[L=v\Delta t\]

\[\Delta t=\frac{L}{v}\]

todos los portadores de carga de movimiento libre en cualquiera de las resistencias fluirán hacia fuera del extremo de potencial inferior de la resistencia (mientras que la misma cantidad de carga fluye en el extremo de potencial más alto). Esta vez\(\Delta t\) es la misma para las dos resistencias diferentes porque ambas resistencias tienen la misma longitud, y los portadores de carga en ellas tienen la misma\(v\). El número de portadores de carga en cualquiera de las resistencias es proporcional al volumen de la resistencia. Dado que el volumen viene dado por volume =\(LA\), el número de portadores de carga en cualquiera de las resistencias es proporcional al área de sección transversal A de la resistencia. Dado que el número de portadores de carga en cualquiera de las resistencias, dividido por el tiempo\(\Delta t\) es la corriente en esa resistencia, esto significa que la corriente es proporcional al área.

Si la corriente es proporcional al área, entonces la resistencia, siendo la relación entre el voltaje y la corriente, debe ser inversamente proporcional al área. Y así termina nuestra explicación respecto a la presencia del\(A\) en el denominador en la expresión

\[R=\varrho \frac{L}{A}\]

Poder

Te introdujeron al poder en el Volumen I de este libro. Es la velocidad a la que se realizan los trabajos. Es la velocidad a la que se transfiere la energía. Y, es la velocidad a la que la energía se transforma de una forma de energía a otra forma de energía. La unidad de potencia es el vatio,\(W\).

\[1W=1 \frac{\mbox{J}}{\mbox {s}}\]

En un caso en el que la potencia es la velocidad a la que la energía se transforma de una forma a otra, la cantidad de energía que se transforma de vez\(0\) en cuando\(t\):

• si la potencia es constante, es simplemente la potencia multiplicada por la duración del intervalo de tiempo:\[\mbox{Energy = Pt}\]
• si la potencia es una función del tiempo, dejar que t′ sea la variable de tiempo que cambia de\(0\) a\(t\), es:\[\mbox{Energy =}\space \int_{0}^{t} P(t') dt'\]

La potencia de una resistencia

En una resistencia a través de la cual hay una tensión\(V\), la energía se transforma de energía potencial eléctrica en energía térmica. Una partícula de carga q, que pasa a través de la resistencia, pierde una cantidad de energía potencial\(qV\) pero no gana ninguna energía cinética. A medida que pasa a través de la resistencia, el campo eléctrico en la resistencia realiza una cantidad de trabajo\(qV\) sobre la partícula cargada, pero, al mismo tiempo, la fuerza de retardo ejercida sobre la partícula cargada por el material de fondo de la resistencia, hace lo negativo de esa misma cantidad de trabajo. La fuerza retardante, al igual que la fricción, es una fuerza no conservadora. Se ejerce sobre el portador de carga cuando el portador de carga choca con impurezas e iones (especialmente en sitios de defectos e imperfecciones en la estructura del material). Durante esas colisiones, los portadores de carga imparten energía a los iones con los que chocan. Esto le da a los iones energía vibratoria que se manifiesta, a escala macroscópica, (temprano en el proceso) como un aumento de la temperatura. Parte de la energía térmica se transfiere continuamente a los alrededores. En condiciones de estado estacionario, llegadas después de que la resistencia se haya calentado, la energía térmica se transfiere a los alrededores a la misma velocidad que se está transformando a partir de la energía potencial eléctrica en la resistencia.

La velocidad a la que la energía potencial eléctrica se convierte en energía térmica en la resistencia es la potencia de la resistencia (también conocida como la potencia disipada por la resistencia). Es la velocidad a la que se está entregando la energía a la resistencia. La conversión de energía que se produce en la resistencia a veces se conoce como la disipación de energía. Se dice que la potencia de la resistencia es la velocidad a la que se disipa la energía en la resistencia. Es bastante fácil llegar a una expresión de la potencia de una resistencia en términos de cantidades de circuito. Cada vez que un culombo de carga pasa a través de una resistencia que tiene un voltaje\(V\) a través de ella, una cantidad de energía igual a un culombio veces\(V\) se convierte en energía térmica. La corriente I es el número de culombios por segundo que pasan a través de la resistencia. De ahí\(I\) que los\(V\) tiempos sean el número de Julios por segundo convertidos a energía térmica. Esa es la potencia de la resistencia. En definitiva,

\[P=IV \label{powerresit}\]

donde:

• \(P\)es la potencia de la resistencia. Es la velocidad a la que la resistencia está convirtiendo la energía potencial eléctrica en energía térmica. La unidad de potencia es el vatio. \(1W=1\frac{J}{s}\).
• \(I\)es la corriente en la resistencia. Es la velocidad a la que la carga fluye a través de la resistencia. La unidad de corriente es el amperio. \(1A=1\frac{C}{s}\).
• \(V\)es el voltaje a través de la resistencia. Es la cantidad en la que el valor del potencial eléctrico (la energía potencial eléctrica por carga) en un terminal de la resistencia supera al del otro terminal. La unidad de voltaje es el voltio. \(1\space \mbox{volt}=1\frac{J}{C}\).

El poder de un asiento de EMF

En un circuito típico, un asiento de EMF hace que los portadores de carga positiva (en nuestro modelo de portador de carga positiva) pasen de un conductor de menor potencial, a través de sí mismo, a un conductor de mayor potencial. El campo eléctrico de los conductores ejerce una fuerza sobre los portadores de carga dentro del asiento de EMF en la dirección opuesta a la dirección en la que van los portadores de carga. Las partículas cargadas ganan energía de potencial eléctrico al moverse desde el terminal de menor potencial del asiento de EMF al terminal de mayor potencial. ¿De dónde viene esa energía?

En el caso de una batería, la energía proviene de la energía potencial química almacenada en la batería y liberada en reacciones químicas que ocurren a medida que la batería mueve la carga de un terminal a otro. En el caso de una fuente de alimentación, la fuente de alimentación, cuando se conecta a una toma de corriente y se enciende, se convierte en parte de un enorme circuito que incluye cables de transmisión que se extienden hasta una planta de energía. En la planta de energía, dependiendo del tipo de planta de energía, la energía cinética del agua en movimiento, o la energía térmica utilizada para hacer que el vapor gire las turbinas, o la energía potencial química almacenada en la madera, el carbón o el petróleo; se convierte en energía potencial eléctrica. Ya sea que sea parte de una batería, o una parte de una fuente de alimentación, el asiento de EMF convierte la energía en energía potencial eléctrica. Mantiene uno de sus terminales a un potencial\(\varepsilon\) más alto que el otro terminal. Cada vez que mueve un culombo de carga desde el terminal de potencial inferior al terminal de potencial superior, aumenta la energía potencial de esa carga en un culombio veces\(\varepsilon\). Dado que la corriente\(\) I es el número de culombios por segundo que el asiento de EMF mueve de un terminal a otro, la potencia, la velocidad a la que el asiento de EMF entrega energía al circuito, viene dada por:

\[P=I\varepsilon\]

Recordemos que es común usar el símbolo\(V\) (así como\(\varepsilon\)) para representar el voltaje a través de un asiento de EMF. Si usa\(V\), entonces el poder del asiento de EMF viene dado por:

\[P=IV\]

donde:

• \(P\)es la velocidad a la que un asiento de EMF entrega energía a un circuito,
• \(I\)es la corriente en el asiento de EMF (la tasa a la que fluye la carga a través del asiento de EMF), y
• \(V\)es el voltaje a través del asiento de EMF.

Esta es la misma expresión que la expresión para la potencia de una resistencia (Ecuación\(\ref{powerresit}\)).