B10: Resistencias en Serie y Paralelo; Medición de I y V

El análisis de un circuito implica la determinación del voltaje a través y de la corriente a través de los elementos del circuito en ese circuito. Un método que llamo “el método de circuitos cada vez más simples” se puede utilizar para simplificar el análisis de muchos circuitos que tienen más de una resistencia. El método implica la sustitución de una combinación de resistencias por una sola resistencia, cuidadosamente escogida para que la sustitución no cambie el voltaje a través, ni la corriente a través de, los otros elementos del circuito en el circuito. El circuito resultante es más fácil de analizar, y, los resultados de su análisis se aplican al circuito original. Debido a que la única resistencia cuidadosamente elegida tiene el mismo efecto en el resto del circuito que la combinación original de resistencias, llamamos a la resistencia única la resistencia equivalente de la combinación, o, simplemente, la resistencia equivalente.

Resistencias en Serie

Una combinación de resistencias que se pueden reemplazar con una sola resistencia efectiva es una combinación en serie de resistencias. Dos elementos de circuito de dos terminales en un circuito están en serie entre sí cuando un extremo de uno está conectado con un extremo del otro sin nada más conectado a la conexión. Por ejemplo,\(R_1\) y\(R_2\) en el siguiente circuito están en serie entre sí.

Desde nuestro punto de vista, el extremo derecho de\(R_1\) está conectado al extremo izquierdo de\(R_2\) y nada más está conectado al punto en el circuito donde están conectados.

\(R_1\)y\(R_2\) en el siguiente circuito también están en serie entre sí:

Pero,\(R_1\) y\(R_2\) en el siguiente circuito no están en serie entre sí:

Si bien es cierto que el extremo derecho de\(R_1\) está conectado al extremo izquierdo de\(R_2\), no es cierto que “nada más esté conectado a la conexión”. En efecto, el extremo izquierdo de\(R_3\) está conectado al punto en el circuito en el que\(R_1\) y\(R_2\) están conectados entre sí.

Al implementar el método de circuitos cada vez más simples, el plan es reemplazar una combinación de resistencias que están en serie entre sí por una sola resistencia equivalente bien elegida. La pregunta es, ¿qué valor debe tener la resistencia de la resistencia única para que sea equivalente al conjunto de resistencias en serie que reemplaza? Por ahora, simplemente te damos el resultado. La derivación se proporcionará en el siguiente capítulo.

La resistencia equivalente de las resistencias en serie es simplemente la suma de las resistencias.

\[R_S=R_1+R_2+R_3+...\]

Resistencias en Paralelo

Los elementos del circuito están en paralelo entre sí si están conectados entre sí (por nada más que un conductor “perfecto”) en ambos extremos. Entonces, por ejemplo,\(R_2\) y\(R_3\) en el siguiente circuito están en paralelo entre sí.

Por otro lado,\(R_1\) y\(R_3\) en el siguiente circuito no están en paralelo entre sí.

Las resistencias\(R_2\) y\(R_3\) en el siguiente circuito están en paralelo entre sí:

Pero, ninguna de las resistencias en el siguiente circuito está en paralelo entre sí:

mientras que\(R_1\) y\(R_3\) en el siguiente circuito están en paralelo entre sí:

Entonces, ¿cuál es la resistencia equivalente para las resistencias en paralelo? Aquí te brindamos el resultado. Guardamos la derivación para el siguiente capítulo.

La resistencia equivalente de las resistencias en paralelo es la recíproca de la suma de los recíprocos de las resistencias de las resistencias que componen la combinación paralela:

\[R_P=\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+.....}\]

Ejemplo

Encuentre el voltaje a través y la corriente a través de cada uno de los elementos del circuito en el diagrama
a continuación.

Solución

Primero agregamos alguna notación al diagrama para definir nuestras variables (no omitas este paso):

\(–\)Los signos\(+\) y en las resistencias (que indican el lado de alto potencial y el lado de bajo potencial de cada resistencia), son una parte importante de la definición de los voltajes. Si se le dan valores, y el valor que calcula para V1 resulta ser positivo, por ejemplo\(+5.0\) voltios, entonces el lector de su solución sabe que el potencial del extremo izquierdo de\(R_1\) es\(5.0\) voltios mayor que el del extremo derecho. Pero, si el valor para el que calculas\(V_1\) es negativo, por ejemplo\(-5.0\) voltios, entonces el lector sabe que el potencial del extremo izquierdo de\(R_1\) es\(5.0\) voltios menor que el del extremo derecho.

Las etiquetas “\(+\)” y “\(–\)” en las resistencias deben ser consistentes con la dirección actual. De hecho, uno primero dibuja y etiqueta las flechas actuales, y luego pone el “\(+\)” en el extremo de la resistencia al que entra la corriente (y el “\(–\)” en el otro extremo).

A continuación dibujamos una secuencia de circuitos. Cada nuevo diagrama incluye una resistencia equivalente en lugar de una combinación en serie o una combinación paralela. (No omita ningún diagrama y, no reemplace nada más que una combinación de una sola serie o una sola combinación paralela de resistencias en un solo paso). A medida que dibuja cada circuito, calcule el valor de la resistencia equivalente.

Primero, copiamos el diagrama de la página anterior.

A continuación, reemplazamos la combinación en serie de\(R_1\) y\(R_2\) con la resistencia equivalente\(R_{12}\).

\[R_{12}=R_1+R_2\]

\[R_{12}=25 \Omega+42 \Omega\]

\[R_{12}=67 \Omega\]

Finalmente, reemplazamos la combinación paralela de\(R_{12}\) y\(R_3\) con la resistencia equivalente\(R_{123}\).

\[R_{123}=\frac{1}{\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_3}}\]

\[R_{123}=\frac{1}{\frac{1}{67 \Omega}+\frac{1}{58 \Omega}}\]

\[R_{123}=31.1 \Omega\]

Ahora analizamos el circuito más simple, el que he etiquetado como “3” arriba.

Uno de los errores más comunes que cometen las personas al analizar circuitos es usar cualquier voltaje antiguo en\(V =IR\). Tienes que usar el voltaje a través de la resistencia. Al analizar el circuito 3, sin embargo, podemos usar el voltaje único en el diagrama porque el voltaje a través del asiento de EMF es el voltaje a través de la resistencia. Los terminales de la resistencia están conectados a los mismos dos conductores a los que están conectados los terminales del asiento de EMF. Por lo tanto,

\[V=IR_{123}\]

\[I=\frac{V}{R_{123}}\]

\[I=\frac{12 \mbox{volts}}{31.1 \Omega}\]

\[I=0.386A\]

En este punto, tenemos dos de las respuestas. Se pidió el voltaje a través del asiento de EMF, pero también se da, así que no tenemos que mostrar ningún trabajo para ello. Y ahora tenemos la corriente a través de la sede de EMF.

\[V=12 \space\mbox{volts}\]

\[I=0.39 \, \mbox{amperes}\]

Tenga en cuenta que la flecha etiquetada\(I\) en nuestro diagrama es parte de nuestra respuesta. Le dice al lector lo que\(I\) significa, incluyendo la dirección del flujo de carga para un valor positivo de\(I\).

Nuestro siguiente paso es llevar la información que hemos aprendido aquí, a nuestro siguiente circuito más complicado. Ese sería el\(I\) etiquetado “2” arriba.

Solo hay dos cables (conductores) en este circuito. Voy a destacarlos para poder hacer mi siguiente punto:

Destacar los conductores hace obvio que el voltaje transversal\(R_{12}\) es el mismo que el voltaje a través del asiento de EMF porque, en ambos casos, el voltaje es la diferencia de potencial entre uno y el mismo par de conductores. Del mismo modo, el voltaje\(R_3\) transversal es el mismo que el voltaje a través del asiento de EMF. Por lo tanto, tenemos,

\[V_{12}=V\]

\[V_{12}=12 \, \mbox{volts}\]

y,

\[V_3=V\]

\[V_3=12 \, \mbox{volts}\]

El último valor es una de nuestras respuestas. Se suponía que íbamos a encontrar\(V_3\). Ahora que conocemos el voltaje a través\(R_3\), podemos usarlo\(V =IR\) para obtener\(I_3\).

Para resistor\(R_3\), tenemos:

\[V_3=I_3R_3\]

\[I_3=\frac{V_3}{R_3}\]

\[I_3=\frac{12\space \mbox{volts}}{58\Omega}\]

\[I_3=0.207 \, A\]

El voltaje y la corriente a través de la resistencia\(R_3\) son respuestas al problema:

\[V_3=12 \mbox{volts}\]

\[I_3=0.21 \, \mbox{amperes}\]

Ahora vamos a pasar la corriente\(R_{12}\). He etiquetado esa corriente\(I_1\) en el diagrama 2.

Para resistor\(R_{12}\), tenemos:

\[V_{12}=I_1 R_{12}\]

\[I_1=\frac{V_{12}}{R_{12}}\]

\[I_1=\frac{12\space \mbox{volts}}{67\space \Omega}\]

\[I_1=0.179\space A\]

Ahora es el momento de llevar lo aprendido aquí hasta el siguiente circuito más complicado (que es el circuito original).

Lo copio aquí con los valores de la corriente incluidos:

De este diagrama queda claro que la corriente\(I_1\) que acabamos de encontrar (la corriente a través\(R_{12}\)) es la corriente a través\(R_1\), y, es la corriente a través\(R_2\).

\[I_2=I_1\]

\[I_2=0.179\space A\]

Estas son respuestas al problema.

Con la corriente a través\(R_1\) conocida, ahora podemos resolver para\(V_1\):

\[V_1=I_1R_1\]

\[V_1=0.179\space (25\Omega)\]

\[V_1=4.5 \, \mbox{volts}\]

Por lo tanto, nuestras respuestas para resistencia\(R_1\) son:

\[V_1=4.5\space \mbox{volts}\]

\[I_1=0.18\space \mbox{amperes}\]

Y, con la corriente a través\(R_2\) conocida, podemos resolver para\(V_2\):

\[V_2=I_2R_2\]

\[V_2=0.179\space A(42\Omega)\]

\[V_2=7.5\space \mbox{volts}\]

Por lo tanto, nuestras respuestas para resistencia\(R_2\) son:

\[V_2=7.5\space \mbox{volts}\]

\[I_2=0.18\space \mbox{amperes}\]

Cómo conectar un voltímetro en un circuito

Como se discutió anteriormente en este libro, un voltímetro es un dispositivo utilizado para medir la diferencia de potencial entre dos puntos diferentes en el espacio. En un circuito, lo usamos para medir la diferencia de potencial entre dos conductores (cables) en el circuito. Al hacer eso, el voltímetro se convierte en un elemento de circuito de dos terminales del circuito. El voltímetro ideal, como elemento de circuito, puede considerarse como una resistencia con resistencia infinita. Como tal, no tiene efecto en el circuito. Esto es bueno. No queremos que el dispositivo de medición cambie el valor de lo que está tratando de medir.

Un voltímetro consiste en una caja con dos cables que salen de él. Por lo general, cada cable termina en una varita con punta de metal (llamada sonda) o algún tipo de clip de metal. La caja tiene un calibre que muestra la diferencia de potencial entre los dos cables. Toque la punta de un cable a un punto del circuito y la punta del otro cable a otro punto del circuito (asegurándose de establecer un buen contacto metal-metal en ambos puntos) y el voltímetro mostrará la diferencia de potencial (el voltaje) entre esos dos puntos en el circuito.

Una manera típica de representar un voltímetro en un circuito es dibujarlo como

Para conectar un voltímetro para medir el voltaje\(R_1\) en el siguiente circuito:

engancharlo como se indica en el siguiente diagrama.

En cuanto a su papel como elemento de circuito (un efecto secundario), el voltímetro ideal tiene tanto efecto en el circuito en el que se utiliza, como lo tiene el aire alrededor del circuito.

Cómo conectar un amperímetro en un circuito

El amperímetro, un dispositivo utilizado para medir la corriente, es una bestia totalmente diferente. El amperímetro ideal actúa como una pieza de cable perfectamente conductora que monitorea el flujo de carga a través de sí mismo. Conectándolo en un circuito como lo harías con un voltímetro (¡no lo hagas!) cambiará drásticamente el circuito (y podría causar daños en el medidor).

Una manera típica de representar un amperímetro en un circuito es dibujarlo como

Para conectar un amperímetro para medir la corriente\(R_1\) en el siguiente circuito:

Primero hay que romper el circuito,

y luego conectar el amperímetro en serie con el elemento de circuito cuya corriente desea medir.

Recuerda, para medir la corriente con un amperímetro, ¡se requiere algún desmontaje!