B14: Capacitores en serie y paralelo
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El método de circuitos cada vez más simples que usamos para circuitos con más de una resistencia también se puede usar para circuitos que tienen más de un condensador. La idea es reemplazar un elemento de circuito combinado que consiste en más de un condensador por un solo condensador equivalente. El condensador equivalente debe ser equivalente en el sentido de que, con el mismo potencial a través de él, tendrá la misma carga que el elemento de circuito combinado.
Capacitores en serie
Comencemos con un caso en el que el elemento de circuito combinado consta de dos condensadores en serie entre sí:
Consideramos que los dos condensadores son un elemento de circuito combinado de dos terminales:
El voltaje a través del elemento de circuito combinado es claramente el voltaje EMF V ya que, tanto para el asiento de EMF como para el elemento de circuito combinado, estamos hablando de la diferencia de potencial entre los mismos dos conductores:
Sin embargo, no se conoce el voltaje a través de cada condensador individual.
Pero considera esto: Después de que ese último cable esté conectado en el circuito, el proceso de carga (que esencialmente no toma tiempo alguno) puede entenderse para proceder de la siguiente manera (donde, para facilitar la comprensión, describimos cosas que ocurren simultáneamente como si ocurrieran secuencialmente):
El asiento de EMF extrae algo de carga positiva de la placa inferior del condensador inferior y la empuja hacia la placa superior del condensador superior.
El punto clave de este movimiento de carga es que la cantidad de carga positiva en la placa superior del condensador superior es exactamente igual a la cantidad de carga negativa en la placa inferior del condensador inferior (¡porque de ahí vino la carga positiva!)
Ahora, la carga positiva en la placa superior del condensador superior repele la carga positiva (recuerde, cada objeto neutro consiste en enormes cantidades de ambos tipos de carga y, en nuestra convención de portadores de carga positiva, las cargas positivas son libres de moverse) en la placa inferior del condensador superior y eso carga tiene una trayectoria conductora a la placa superior del condensador inferior, a la cual (la carga positiva) es atraída por la carga negativa en la placa inferior del condensador inferior.
El resultado final es que ambos condensadores tienen una y la misma carga\(q\):
lo que a su vez hace que\(C_1\) el condensador tenga voltaje\(V_1=\frac{q}{C_1}\) y\(C_2\) el condensador tenga voltaje\(V_2=\frac{q}{C_2}\).
Por la regla del bucle,
KVL
\[V-V_1-V_2=0\]
\[V=V_1+V_2\]
\[V=\frac{q}{C_1}+\frac{q}{C_2}\]
\[V=q(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2})\]
\[q=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}V\]
Entonces, lo que estamos diciendo es, que cuando pones un voltaje\(V\) a través del elemento de circuito de dos terminales
una cantidad de carga\(q=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}V\) se mueve desde el terminal inferior del elemento de circuito combinado, alrededor del circuito, hasta el terminal superior. Entonces la carga deja de moverse. Recordemos que definimos la capacitancia de un condensador para ser la relación\(\frac{q}{V}\) de la carga en el condensador a la tensión correspondiente a través del condensador. \(\frac{q}{V}\)para nuestro elemento de circuito combinado de dos terminales es, por lo tanto, la capacitancia equivalente del elemento de circuito de dos terminales. Resolviendo\(q=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}V\) los\(\frac{q}{V}\) rendimientos de la relación\(\frac{q}{V}=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}\), por lo que nuestra capacitancia equivalente para dos capacitores en serie es\(C_s=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}}\)
Por inducción lógica, podemos extender este argumento para cubrir cualquier número de capacitores en serie entre sí, obteniendo:
\[C_s=\frac{1}{\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}+...}\label{14-1}\]
En cuanto a hacer que las cosas sean fáciles de recordar, es una lástima la forma en que las cosas funcionan a veces. Esta expresión es matemáticamente idéntica a la expresión para resistencias en paralelo. Pero, esta expresión es para capacitores en serie.
Capacitores en paralelo
Supongamos que ponemos un voltaje\(V\) a través de un elemento de circuito combinado que consiste en un par de condensadores en paralelo entre sí:
Es claro del diagrama que el voltaje a través de cada condensador es solo el EMF\(V\) ya que el voltaje a través de cada componente en el circuito es la diferencia de potencial entre los mismos dos conductores.
Entonces, ¿qué sucede (casi instantáneamente) cuando hacemos esa conexión final? Respuesta: El asiento de EMF extrae la carga de las placas inferiores de los dos condensadores y la empuja sobre las placas superiores hasta que la carga\(C_1\) está encendida\(q_1 = C_1V\) y la carga encendida\(C_2\) es\(q_2 = C_2V\).
Para ello, la sede de EMF tiene que mover una carga total de
\[q=q_1+q_2\]
\[q=C_1V+C_2V\]
\[q=(C_1+C_2)V\]
Resolviendo la última ecuación\(q=(C_1+C_2)V\),, para la capacitancia equivalente\(C_P\), definida como\(q/V\), rinde:
\[\frac{q}{V}=C_1+C_2\]
\[C_p=C_1+C_2\]
En otras palabras:
Entonces, la capacitancia equivalente de los condensadores en paralelo es simplemente la suma de las capacitancias individuales. (Esta es la forma en que se combinan las resistencias en serie). Por medio de razonamiento inductivo, el resultado se puede extender a cualquier número de capacitores, dando como resultado:
\[C_P=C_1+C_2+C_3+...\label{14-2}\]
Observaciones Finales
Los hechos de que el voltaje es el mismo para los condensadores en paralelo y la carga es la misma para los condensadores en serie son importantes, pero, si miras estas como dos cosas más que tienes que comprometer con la memoria entonces no vas a hacer tu estudio de física de la manera correcta. Es necesario poder “ver” que la carga en los condensadores en serie tiene que ser la misma porque la carga en un condensador proviene de su vecino (originalmente neutro). Es necesario poder “ver” que el voltaje a través de los condensadores en paralelo tiene que ser el mismo porque, para cada condensador, el voltaje es la diferencia de potencial entre los mismos dos conductores.