B16: Campo Magnético: Más Efectos

El campo eléctrico y el campo magnético no son lo mismo. Un dipolo eléctrico con carga positiva en un extremo y carga negativa en el otro no es lo mismo que un dipolo magnético que tiene un polo norte y un polo sur. Más específicamente: Un objeto puede tener carga positiva pero no puede tener “nortalidad”.

Por otro lado, la electricidad y el magnetismo no son ajenos. De hecho, bajo ciertas circunstancias, un campo magnético ejercerá una fuerza sobre una partícula cargada que no tiene momento dipolar magnético. Aquí consideramos el efecto de un campo magnético sobre dicha partícula cargada.

HECHO: Un campo magnético no ejerce fuerza sobre una partícula cargada que está en reposo en el campo magnético.

HECHO: Un campo magnético no ejerce ninguna fuerza sobre una partícula cargada que se mueve a lo largo de la línea a lo largo de la cual se encuentra el campo magnético, en la ubicación de la partícula.

HECHO: Un campo magnético sí ejerce una fuerza sobre una partícula cargada que se encuentra en el campo magnético, y, se mueve, siempre y cuando la velocidad de la partícula no esté a lo largo de la línea, a lo largo de la cual, se dirige el campo magnético. La fuerza en tal caso viene dada por:

\[\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\label{16-1}\]

Tenga en cuenta que el producto cruzado produce un vector que es perpendicular a cada uno de los multiplicandos. Así, la fuerza ejercida sobre una partícula cargada en movimiento por el campo magnético dentro del cual se encuentra, siempre es perpendicular tanto a su propia velocidad, como al vector de campo magnético en la ubicación de la partícula.

Considera una partícula cargada positivamente que se mueve con velocidad\(v\) en ángulo\(\theta\) en el\(x-y\) plano de un sistema de coordenadas cartesianas en el que hay un campo magnético uniforme en la\(+x\) dirección.

Para obtener la magnitud del producto cruzado\(\vec{v}\times \vec{B}\) que aparece en\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\) se supone que debemos establecer el ángulo que\(\vec{v}\) y\(\vec{B}\) hacer entre sí cuando se colocan cola con cola. Entonces la magnitud\(|\vec{v}\times \vec{B}|\) es solo el valor absoluto del producto de las magnitudes de los vectores multiplicado por el seno del ángulo entre ellos. Pongamos los dos vectores cola a cola y establezcamos ese ángulo. Tenga en cuenta que el campo magnético en su conjunto es un conjunto infinito de vectores en la\(+x\) dirección. Entonces, por supuesto, el vector de campo magnético\(\vec{B}\), en la ubicación de la partícula, está en la\(+x\) dirección.

Claramente el ángulo entre los dos vectores es solo el ángulo\(\theta\) que se especificó en el problema. Por lo tanto,

\[|\vec{v}\times \vec{B}|=|vB\sin \theta|,\]

entonces, comenzando con nuestra expresión dada para\(\vec{F}\), tenemos:

\[\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\]

\[|\vec{F}|=|q\vec{v} \times \vec{B}|\]

\[|\vec{F}|=|qvB\sin\theta|\]

Bien, ahora hablemos de la dirección de\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\). Obtenemos la dirección de\(\vec{v}\times \vec{B}\) y luego pensamos. La carga\(q\) es un escalar. Si\(q\) es positivo, entonces, cuando multiplicamos el vector\(\vec{v}\times \vec{B}\) por\(q\) (para obtener\(\vec{F}\)), obtenemos un vector en la misma dirección que el de\(\vec{v}\times \vec{B}\). Entonces, lo que sea que obtengamos (usando la regla de la derecha para el producto cruzado) para la dirección de\(\vec{v}\times \vec{B}\) es la dirección de\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\). Pero, si\(q\) es negativo, entonces, cuando multiplicamos el vector\(\vec{v}\times \vec{B}\) por\(q\) (para obtener\(\vec{F}\)), obtenemos un vector en dirección opuesta a la de\(\vec{v}\times \vec{B}\). Entonces, una vez que obtenemos la dirección de\(\vec{v}\times \vec{B}\) por medio de la regla de la derecha para el producto cruzado de dos vectores, tenemos que darnos cuenta de que (debido a que la carga es negativa) la dirección de\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\) es opuesta a la dirección que encontramos para\(\vec{v}\times \vec{B}\).

Vamos a hacerlo. Para obtener la dirección del vector de producto cruzado\(\vec{v}\times \vec{B}\) (que aparece en\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\), dibuja los vectores\(\vec{v}\) y\(\vec{B}\) cola a cola.

Extiende los dedos de tu mano derecha para que estén apuntando directamente lejos de tu codo derecho. Extiende tu pulgar para que quede en ángulo recto con los dedos.

Ahora, manteniendo los dedos alineados con el antebrazo, alinea los dedos con el primer vector que aparece en el producto cruzado\(\vec{v}\times \vec{B}\), a saber\(\vec{v}\).

Ahora gira tu mano, según sea necesario, alrededor de un eje imaginario que se extiende a lo largo de tu antebrazo y a lo largo de tu dedo medio, hasta que tu mano esté orientada de tal manera que, si cerraras los dedos, apuntarían en la dirección del segundo vector.

La dirección en la que ahora apunta tu pulgar derecho es la dirección de\(\vec{v}\times \vec{B}\). Representamos un vector en esa dirección por medio de un\(\times\) círculo alrededor del mismo. Se supone que ese símbolo representa las plumas de la cola de una flecha que está apuntando lejos de ti.

No olvidemos eso\(q\) en la expresión\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\). En el caso que nos ocupa, la partícula cargada en consideración es positiva. En otras palabras,\(q\) es positivo. Entonces,\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\) está en la misma dirección que\(\vec{v}\times \vec{B}\).

Un campo magnético también interactuará con un conductor portador de corriente. Centramos nuestra atención en el caso de un segmento recto de cable portador de corriente en un campo magnético:

HECHO: Dado un conductor recto que transporta corriente en un campo magnético, el campo magnético no ejerce fuerza sobre el segmento de cable si el segmento de cable se encuentra a lo largo de la línea a lo largo de la cual se dirige el campo magnético. (Nota: El circuito utilizado para causar la corriente en el cable debe existir, pero, no se muestra en el siguiente diagrama).

HECHO: Un campo magnético ejerce una fuerza sobre un segmento de cable portador de corriente que se encuentra en el campo magnético, siempre y cuando el cable no sea colineal con el campo magnético.

La fuerza ejercida sobre un segmento recto de alambre portador de corriente, por el campo magnético (uniforme) en el que se encuentra el cable, viene dada por

\[\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}\label{16-2}\]

donde:

\(\vec{F}\)es la fuerza ejercida sobre el segmento de cable con corriente por el campo magnético en el que se encuentra el cable,

\(I\)es la corriente en el cable,

\(\vec{L}\)es un vector cuya magnitud es la longitud de ese segmento del cable que realmente está en el campo magnético, y, cuya dirección es la dirección de la corriente (que depende tanto de cómo se orienta el segmento de cable como de cómo se conecta en el circuito (no mostrado).)

\(\vec{B}\)es el vector de campo magnético. El campo magnético debe ser uniforme a lo largo de toda la longitud del cable para que esta fórmula se aplique, por lo tanto,\(\vec{B}\) es el vector de campo magnético en todos y cada uno de los puntos a lo largo de la longitud del cable.

Obsérvese que, en el diagrama anterior,\(\vec{F}\) se dirige a la página como se\(\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}\) determina a partir de la regla de la derecha para el producto cruzado de dos vectores.

Efecto de un Campo Magnético Uniforme sobre un Bucle de Corriente

Considera un bucle rectangular de alambre. Supongamos que el bucle está en un campo magnético uniforme como se representa en el siguiente diagrama:

Tenga en cuenta que, para mantener las cosas simples, no estamos mostrando los circuitos que provocan la corriente en el bucle y no estamos mostrando la causa del campo magnético. También, el campo magnético existe en toda la región del espacio en la que se encuentra el bucle. No hemos mostrado la extensión completa ni
de las líneas de campo magnético representadas, ni del campo magnético en sí.

Cada segmento del bucle tiene una fuerza ejercida sobre él por el campo magnético en el que se encuentra el bucle. Consideremos primero los segmentos frontal y posterior:

Debido a que ambos segmentos tienen la misma longitud, ambos segmentos forman el mismo ángulo con el mismo campo magnético, y ambos segmentos tienen la misma corriente; la fuerza\(\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}\) será de la misma magnitud en cada uno. (Si escribes la magnitud como\(F=ILB\sin\theta\), sabes que las magnitudes son las mismas siempre y cuando sepas que para cualquier ángulo\(\theta\),\(\sin (\theta)=\sin (180^{\circ}-\theta)\).) Usando la regla de la derecha para que el producto cruzado obtenga la dirección, encontramos que cada fuerza se dirige perpendicular al segmento sobre el que actúa, y, lejos del centro del rectángulo:

Las dos fuerzas,\(F_{\mbox{FRONT}}\) y\(F_{\mbox{BACK}}\) son iguales en magnitud, colineales y opuestas en dirección. Acerca del único efecto que podrían tener sería estirar el bucle. Suponiendo que el material del bucle es lo suficientemente rígido como para no estirarse, el efecto neto de las dos fuerzas no es ningún efecto en absoluto. Entonces, podemos olvidarnos de ellos y enfocar nuestra atención en los segmentos izquierdo y derecho en el diagrama.

Tanto el segmento izquierdo como el segmento derecho están en ángulo recto con respecto al campo magnético. También son de la misma longitud y llevan la misma corriente. Para cada uno, la magnitud de\(\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}\) es justo\(IwB\) donde\(w\) está el ancho del bucle y de ahí la longitud tanto del segmento izquierdo como del segmento derecho.

Usando la regla de la derecha para el producto cruzado de dos vectores, aplicada a la expresión\(\vec{F}=I\vec{L}\times \vec{B}\) de la fuerza ejercida sobre un segmento de alambre por un campo magnético, encontramos que la fuerza\(F=IwB\) sobre el segmento derecho es hacia arriba y la fuerza\(F=IwB\) en el segmento izquierdo es hacia abajo.

Las dos fuerzas son iguales (ambas tienen magnitud\(F=IwB\)) y opuestas en dirección, pero, no son colineales. Como tal, ejercerán un par neto en el bucle. Podemos calcular el par alrededor del eje central:

extendiendo las líneas de acción de las fuerzas e identificando los brazos del momento:

El par proporcionado por cada fuerza es\(r_{\perp}F\). Ambos pares están en sentido contrario a las agujas del reloj como se ve en el diagrama. Dado que ambos están en la misma dirección, la magnitud de la suma de los pares es solo la suma de las magnitudes de los dos pares, lo que significa que la magnitud del par total es justa\(\tau=2r_{\perp}F\). Podemos obtener una expresión para\(2r_{\perp}\) reconociendo, en el diagrama, que\(2r_{\perp}\) es solo la distancia a través de la parte inferior del triángulo en la parte frontal del diagrama:

y definiendo el ángulo\(\theta\), en el diagrama, para que sea el ángulo entre el plano del bucle y la vertical.

Del diagrama, queda claro que\(2r_{\perp}=l \sin \theta\).

Así el campo magnético ejerce un par de magnitud

\[\tau=r_{\perp} F\]

\[\tau=[l(\sin\theta)](IwB)\]

en el bucle de corriente.

La expresión para el par puede escribirse de manera más concisa reordenando primero los multiplicandos para que la expresión aparezca como

\[\tau=IlwB \sin \theta\]

y luego reconocer que el producto\(lw\) es solo el área\(A\) del bucle. Sustitución\(lw\) con\(A\) rendimientos:

\[\tau=I\space AB \sin\theta\]

El torque es algo que tiene dirección, y, podrías reconocer que\(\sin\theta\) aparece en la expresión anterior como algo que puede resultar de un producto cruzado. En efecto, si definimos un vector de área para que tenga una magnitud igual al área del bucle,

\[|\vec{A}|=lw\]

y, una dirección perpendicular al plano del bucle,

podemos escribir el par como un producto cruzado. Primero tenga en cuenta que el vector de área como lo he definido en palabras a este punto, podría apuntar en la dirección exacta opuesta a la representada en el diagrama. Si, sin embargo, además estipulamos que el vector de área se dirige de acuerdo con la regla de la derecha para algo rizado algo recto, siendo la corriente de bucle el algo rizado y el vector de área el algo recto (y lo hacemos estipulamos), entonces la dirección del vector de área es únicamente determinado que es la dirección representada en el diagrama.

Ahora bien, si deslizamos ese vector de área sobre la esquina delantera derecha del bucle,

se hace más evidente (es posible que ya lo hayas notado) que el ángulo entre el vector de área\(\vec{A}\) y el vector de campo magnético\(\vec{B}\), es el mismo\(\theta\) definido anteriormente y representado en el diagrama justo arriba.

Esto nos permite escribir nuestra expresión para el par en sentido contrario a\(\tau=IAB \sin\theta\) las agujas del reloj como se ve en el diagrama, como:

\[\vec{\tau}=I\vec{A}\times \vec{B}\]

Compruébalo. La magnitud del producto cruzado\(|\vec{A}\times \vec{B}|\) es justa\(AB\sin \theta\), lo que significa que nuestra nueva expresión produce la misma magnitud\(\tau=I AB\sin \theta\) para el par que teníamos antes. Además, la regla de la derecha para el producto cruzado de dos vectores produce la dirección del par representada en el siguiente diagrama.

Recordando que el sentido de rotación asociado a un vector axial está determinado por la regla de la derecha para algo rizado, algo recto; apuntamos el pulgar de nuestra mano derecha ahuecada en la dirección del vector de par y notamos que nuestros dedos se curvan alrededor en sentido contrario a las agujas del reloj, como se ve en el diagrama.

Bien, ya casi estamos ahí. Hasta el momento, tenemos el hecho de que si pones un bucle de alambre que lleva una corriente\(I\) en él, en un campo magnético uniforme\(\vec{B}\), con el bucle orientado de tal manera que el vector\(\vec{A}\) de área del bucle de corriente hace un ángulo\(\theta\) con el vector de campo magnético, entonces, el campo magnético ejerce un par

\[\vec{\tau}=I\vec{A}\times \vec{B}\]

en el bucle.

Esto es idéntico a lo que le sucede a un dipolo magnético cuando lo pones en un campo magnético uniforme. Se experimenta un torque\(\vec{\tau}=\vec{\mu}\times \vec{B}\). De hecho, si identificamos el producto\(I\vec{A}\) como el momento dipolo magnético del bucle de corriente, entonces las expresiones para el par son completamente idénticas:

\[\vec{\tau}=\vec{\mu}\times \vec{B}\label{16-3}\]

donde:

\(\vec{\tau}\)es el par que se ejerce sobre la víctima. La víctima puede ser o bien una partícula que tiene un momento dipolo magnético inherente, o bien, un bucle de corriente.

\(\vec{\mu}\)es el momento dipolo magnético de la víctima. Si la víctima es una partícula,\(\vec{\mu}\) es simplemente la magnitud y dirección del momento dipolo magnético inherente de la partícula. Si la víctima es un bucle de corriente, entonces\(\vec{\mu}=I\vec{A}\) dónde\(I\) está la corriente en el bucle y\(\vec{A}\) es el vector de área del bucle, un vector cuya magnitud es el área del bucle y cuya dirección es la dirección en la que apunta tu pulgar derecho cuando rizas los dedos de tu mano derecha alrededor el bucle en la dirección de la corriente. (Consulte la discusión a continuación para conocer el caso en el que la víctima es en realidad una bobina de alambre en lugar de un solo bucle.)

\(\vec{B}\)es el vector de campo magnético en la ubicación de la víctima.

Un solo bucle de alambre se puede considerar como una bobina de alambre que se envuelve una vez. Si el cable se envuelve alrededor de\(N\) veces, en lugar de una vez, entonces se dice que la bobina tiene\(N\) vueltas o\(N\) devanados. Cada devanado hace una contribución\(I\vec{A}\) al momento dipolar magnético del bucle de corriente. La contribución de todos los bucles es en una y la misma dirección. Entonces, el momento magnético de una bobina de cable que transporta corriente es:

\[\vec{\mu}=NI\vec{A}\label{16-4}\]

donde:

\(\vec{\mu}\)es el momento magnético de la bobina de alambre.

\(N\)es el número de veces que se envolvió el cable para formar la bobina. \(N\)se llama el número de devanados. \(N\)también se conoce como el número de vueltas.

\(I\)es la corriente en la bobina. La bobina consiste en un cable largo envuelto muchas veces, por lo que, solo hay una corriente en el cable. A eso le llamamos corriente la corriente en la bobina.

\(\vec{A}\)es el vector de área del bucle o bobina. Su magnitud es el área de la forma plana cuyo perímetro es el bucle o bobina. Su dirección es la dirección que señalaría tu pulgar derecho extendido si enrollaras los dedos de tu mano derecha alrededor del bucle en la dirección de la corriente.

Algunas generalizaciones sobre el efecto de un campo magnético uniforme en un bucle de corriente

Se investigó el efecto de un campo magnético uniforme en un bucle de corriente. Un campo magnético ejercerá un par en un bucle de corriente independientemente de que el campo magnético sea uniforme o no. Dado que un bucle de corriente tiene cierta extensión espacial (no es una partícula puntual), el uso de un solo valor más dirección para\(\vec{B}\) in\(\vec{\tau}=\vec{\mu} \times \vec{B}\) dará lugar a una aproximación al par. Es una buena aproximación siempre y cuando el campo magnético esté cerca de ser uniforme en la región del espacio ocupado por la bobina.

Se investigó el caso de un bucle rectangular. El resultado para el par ejercido sobre el bucle o bobina portadora de corriente es válido para cualquier bucle plano o bobina, ya sea circular, oval o rectangular.