B18: Ley de Faraday y Ley de Lenz

¿Recuerdas el Principio de Arquímedes? Pudimos decir algo simple, específico y útil sobre un fenómeno complicado. La idea grosera era que un objeto sumergido que se presiona sobre cada elemento superficial en contacto con el fluido, por el fluido, experimenta una fuerza neta hacia arriba porque la presión en un fluido es mayor a mayor profundidad. La suma infinita, sobre todos los elementos de área superficial del objeto en contacto con el fluido, de la fuerza de magnitud presión-tiempo, el área, y la dirección normal hacia y hacia el elemento área, resultó en una fuerza ascendente que llamamos la fuerza de flotación. El caso es que pudimos demostrar que la fuerza de flotación es igual en magnitud al peso de esa cantidad de fluido que estaría donde está el objeto si el objeto no estuviera ahí. Así podemos llegar a un valor para la fuerza de flotación sin tener que pensar siquiera en la integración vectorial de la fuerza relacionada con la presión que la causa.

Estamos a punto de encontrarnos con otro fenómeno complicado que puede caracterizarse de manera fructífera por una regla relativamente simple. Voy a transmitirle la idea por medio de unos procesos específicos, para luego resumirla declarando la regla simple.

Considera un anillo de oro y un imán de barra en manos de una persona. La persona sostiene el anillo para que rodee el imán de la barra. Ella está sosteniendo el imán, extremo norte arriba.

Hay un campo magnético, debido al imán de barra, dentro del imán de barra, y en la región del espacio a su alrededor.

Es importante tener en cuenta que las líneas del campo magnético están más densamente empaquetadas dentro del imán de barra.

Ahora supongamos que la persona, sosteniendo el imán en reposo en una mano, mueve el lazo hacia arriba. Quiero centrarme en lo que está pasando mientras ella lo mueve hacia arriba. A medida que mueve el bucle hacia arriba, lo está moviendo aproximadamente a lo largo de la dirección de las líneas magnéticas del archivo, pero, y esta es en realidad la parte importante, ese bucle también estará “cortando” algunas líneas de campo magnético. Considere un instante en el tiempo cuando el bucle está por encima del imán, y moviéndose hacia arriba:

Desde arriba, la escena se ve así:

donde es importante darse cuenta de que ninguna de esas líneas de campo magnético comienza en el imán o termina en la punta de la flecha representada, más bien, se extienden fuera del imán hacia nosotros, florecen hacia afuera y otra vez, retroceden lejos de nosotros, y luego giran alrededor para entrar en el polo sur del imán desde el cual se extienden retroceder a través del imán hacia nosotros. De hecho, ninguna línea de campo magnético nunca comienza o termina en ningún lado. Todos forman bucles cerrados. Esto es una manifestación del hecho de que no existe tal cosa como la carga magnética. (No hay monopolos magnéticos).

Aquí vamos con esto: El movimiento del anillo con relación al imán va a provocar una corriente en el anillo. He aquí cómo: El anillo es neutro, pero, está repleto de partículas cargadas que son libres de moverse dentro del oro. [Lo voy a discutir en nuestro modelo de operador de carga positiva pero puedes verificar que obtienes el mismo resultado si los transportistas de carga son negativos (recordando que nuestra corriente está en la dirección opuesta a aquella en la que se mueven los transportistas de carga negativa).] Escoja cualquier segmento corto del anillo y obtenga la dirección de la fuerza ejercida sobre los portadores de carga de ese segmento usando\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\) y la regla de la derecha para el producto cruzado de dos vectores. En la vista desde arriba, todo lo que podemos ver es la componente horizontal de los vectores de campo magnético en las proximidades del anillo móvil pero eso es simplemente dandy; la componente vertical, al ser paralela a la velocidad del anillo (y por lo tanto paralela a la velocidad de la carga en el anillo), no contribuye a \(\vec{v}\times \vec{B}\). Ahora, elige tu segmento del anillo. Haz que tus dedos apunten lejos de tu codo, y, en la dirección del primer vector (el vector de velocidad) adentro\(\vec{v}\times \vec{B}\), es decir, “fuera de la página”. Ahora, manteniendo los dedos apuntando tanto lejos de su codo, como, fuera de la página, gire su antebrazo según sea necesario para que su palma esté orientada en la dirección de\(\vec{B}\) (en la ubicación del segmento en el que está trabajando), es decir, que si cerrara los dedos, ellos apuntarían en la dirección de \(\vec{B}\). Su pulgar extendido ahora apunta en la dirección de la fuerza ejercida sobre los portadores de carga positiva en el segmento de anillo que eligió. No importa qué segmento de anillo elijas, ¡la fuerza siempre está en esa dirección que tiende a empujar los portadores de carga positiva en sentido antihorario alrededor del anillo! El resultado es una corriente en sentido antihorario (como se ve desde arriba) en el anillo.

Supongamos que, comenzando con el anillo que rodea el imán, la persona que sostenía el anillo y el imán movieron el imán hacia abajo en lugar de mover el anillo hacia arriba. Ella sostiene el anillo estacionario, y mueve el imán. Dije antes que una partícula cargada en reposo en un campo magnético no tiene fuerza ejercida sobre ella por el campo magnético. Pero estábamos hablando de campos magnéticos estacionarios en su momento. Ahora estamos hablando del campo magnético de un imán que se está moviendo. Dado que el imán responsable de ello se está moviendo, el propio campo magnético debe estar moviéndose. ¿Eso resultará en una fuerza sobre las cargas en el ring (y por lo tanto una corriente en el ring)? Esto nos lleva a una consideración de movimiento relativo. Para nosotros, los dos procesos (la persona mueve el anillo hacia arriba mientras sostiene el imán en reposo, vs. la persona mueve el imán hacia abajo mientras sostiene el anillo en reposo) son diferentes. Pero eso es sólo porque estamos tan acostumbrados a ver las cosas desde el marco de referencia de la tierra. ¿Alguna vez has estado montando por una autopista y has tenido la sensación de que estabas en reposo y las farolas al costado de la carretera se movían más allá de ti a gran velocidad? Ese es un punto de vista válido. En relación con su marco de referencia del automóvil, las farolas de hecho se mueven y el automóvil es un marco de referencia válido. Supongamos que vemos el imán moviéndose hacia abajo a través de una situación de anillo desde una plataforma que se mueve hacia abajo a la misma velocidad que el imán. En ese marco de referencia, el imán está en reposo. Si por ejemplo, como nosotros, estando sentados en la plataforma, vemos el imán a la altura de los ojos, permanece a la altura de los ojos. Pero el anillo, visto desde el marco de referencia de la plataforma, se mueve hacia arriba. Entonces en el marco de referencia de la plataforma, tenemos, en los nuevos procesos (que en el marco de referencia de la sala es un imán que se mueve hacia abajo a través y alejándose de un anillo) la misma situación que tuvimos en el marco de la habitación para el proceso original (que en el marco de referencia de la sala es un anillo, originalmente rodeando un estacionario imán, moviéndose hacia arriba). Así, en el marco de referencia de la plataforma, debemos tener el mismo resultado para el nuevo proceso que tuvimos para el proceso original en el marco de la habitación, es decir, una corriente en sentido antihorario (visto desde arriba) en el anillo. La corriente en el anillo no depende de qué marco de referencia veamos el anillo. De ahí que podamos concluir que el imán que se mueve hacia abajo a través del anillo estacionario a velocidad\(v\) da como resultado la misma corriente que tenemos cuando el anillo se mueve hacia arriba a la misma velocidad en\(v\) relación con el imán estacionario.

Cuando la persona que sostenía el imán y el anillo movió el anillo hacia arriba, había una corriente en el anillo. Ahora hemos establecido que si, en lugar de mover el anillo, mueve el imán hacia abajo a la misma velocidad, obtendrá la misma corriente en el ring. Con base en lo que causó esa corriente, la\(\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\) fuerza sobre las partículas cargadas en el anillo, se puede suponer que la corriente dependerá de cosas como la velocidad del anillo en relación con el imán, la fuerza del campo magnético y la orientación relativa del vector de velocidad y el campo magnético . Probablemente se te ha ocurrido que la corriente también depende de la resistencia del anillo.

A Michael Faraday se le ocurrió una manera muy fructífera de ver el fenómeno que estamos discutiendo y les transmitiré su idea por medio del ejemplo con el que hemos estado trabajando.

Mirando los diagramas de ese anillo moviéndose de nuevo en relación con el imán,

podemos describir lo que está sucediendo diciendo que el anillo está “cortando” líneas de campo magnético (o, equivalentemente, diciendo que las líneas del campo magnético están “cortando” el anillo). Lo que Faraday reconoció fue que, en términos conceptuales, al cortar el anillo a través de líneas de campo magnético (o viceversa dependiendo de su punto de vista), lo que estaba sucediendo era, que el número de líneas de campo magnético rodeadas por el bucle estaba cambiando. En los diagramas anteriores, cada vez que el anillo “corta” una línea de campo más, el número de líneas de campo rodeadas por el bucle disminuye en una. La velocidad a la que el anillo “corta” las líneas del campo magnético (o las líneas del campo magnético cortan a través del anillo) está determinada por las mismas cosas que determinan la fuerza sobre las partículas cargadas que componen el anillo (velocidad relativa entre el anillo y el campo magnético, intensidad del campo magnético, orientación relativa de velocidad de anillo y campo magnético) de tal manera que, cuanto mayor sea la velocidad a la que el anillo “corta” las líneas de campo magnético (o cuanto mayor sea la velocidad a la que las líneas de campo magnético cortan a través del anillo), mayor es la fuerza sobre las partículas cargadas y por lo tanto mayor es la corriente. Faraday lo expresó de una manera que es más fácil de analizar. Dijo que la corriente está determinada por la velocidad a la que está cambiando el número de líneas de campo magnético rodeadas por el bucle. De hecho, Faraday pudo escribir esta afirmación en forma de ecuación. Antes de mostrarte eso, tengo que ser mucho más específico sobre lo que quiero decir con “el número de líneas de campo magnético”.

Voy a llamar a la declaración que acabo de atribuir a Faraday, la forma conceptual de la Ley de Faraday. En otras palabras, la Ley Faradays, en forma conceptual es: Un número cambiante de líneas de campo magnético a través de un bucle cerrado o bobina provoca una corriente en ese bucle o bobina, y, cuanto más rápido cambie el número, mayor será la corriente.

Nuestro concepto de línea de campo es esencialmente un esquema esquemático utilizado para transmitir cierta información sobre la dirección y la fuerza relativa de un campo. Lo hemos utilizado tanto para el campo eléctrico como para el campo magnético. Lo que digo aquí sobre el número de líneas de campo se puede aplicar a ambas, pero, como actualmente nos preocupa el campo magnético, voy a hablar de ello en términos del campo magnético. Conceptualmente, el número de líneas de campo rodeadas por un bucle va a depender de cuán apretadas estén las líneas de campo, qué tan grande sea el bucle y en qué grado el bucle esté orientado “cara a cara” a las líneas de campo. (Claramente, si el bucle está orientado de borde a las líneas de campo, no rodeará ninguna de ellas). Ahora, diagramáticamente, cuán apretadas están las líneas de campo es representativo de cuán fuerte es el campo magnético. Cuanto más apretadas sean las líneas de campo, mayor será el valor de B. Imagínese que alguien ha creado un diagrama de campo magnético hermoso, tridimensional. Ahora bien, si ve las líneas de campo terminadas, por ejemplo, de tal manera que las líneas del campo magnético se dirigen directamente hacia usted, y representan una sección transversal de “lo que ve” en un diagrama bidimensional, obtendrá algo como esto.

Esta es una representación gráfica de la magnitud de ese componente del campo magnético que se dirige directamente hacia usted.

Supongamos que la escala del diagrama está dada por (\(1\mu T\cdot m^2\)) n donde n es la densidad de líneas de campo magnético, el número de líneas de campo magnético por área, dirigidas a través del plano representado por la página, directamente hacia usted. Usemos un cuadrado, un centímetro en un lado, para muestrear el campo en una posición cercana al centro,

Cuento líneas de\(19\) campo que claramente están en el centímetro cuadrado y cuatro que lo están tocando, voy a contar dos de esas cuatro para un\(21\) campo estimado líneas en un centímetro cuadrado. Así, en esa región,

\[n=\frac{21 \, \mbox{lines}}{(1\times 10^{-2}m)^2}\]

\[n=2100\frac{\mbox{lines}}{\mbox{m}^2}\]

Usando el factor de escala dado,

\[B=(1.0\mu T\cdot m^2)n\]

\[B=(1.0\mu T\cdot m^2) 2100\frac{\mbox{lines}}{\mbox{m}^2}\]

\[B=2.1 mT\]

Dejemos más claro qué representa el número de líneas\(n\) reemplazando por\(\frac{\mbox{Number of Lines}}{A}\) y resolviendo la expresión\(V=(1.0\mu T)n\) para el número de líneas.

\[B=(1.0\mu T\cdot m^2)\frac{\mbox{Number of Lines}}{A}\]

\[\mbox{Number of Lines}=\frac{BA}{1.0\mu T\cdot m^2}\]

Entonces el número de líneas a través de un bucle que rodea una región plana de área\(A\) es proporcional a\(BA\), siendo la constante de proporcionalidad el recíproco de nuestro factor de escala para el diagrama de campo. El producto simple\(BA\) es realmente solo bueno si las líneas del campo magnético están “golpeando” el área rodeada por el bucle “head on”, y, si el campo magnético es de un solo valor en toda el área. Podemos ocuparnos del problema de “a qué manera se enfrenta el bucle” reemplazando\(BA\) con\(\vec{B}\cdot \vec{A}\) dónde\(\vec{A}\), el vector de área, es un vector cuya magnitud es el área de la región plana rodeada por el bucle y cuya dirección es perpendicular al plano del bucle. En realidad hay dos direcciones que son perpendiculares al bucle. Una es la opuesta a la otra. En la práctica, uno elige una de las dos direcciones arbitrariamente, pero, elegir una dirección para el vector de área establece una dirección positiva para la corriente alrededor del bucle. La dirección positiva para la corriente es la dirección alrededor del bucle que hace que la dirección de la corriente y la dirección del vector de área, juntas, se ajusten a la regla de la derecha para algo rizado algo recto. Nos ocupamos de la posible variación del campo magnético sobre la región encerrada por el bucle, cortando esa región plana en un número infinito de elementos de área infinitesimal\(dA\), calculando\(\vec{B}\cdot \vec{dA}\) para cada elemento de área y sumando todos los resultados. El resultado final es el integral\(\int \vec{B}\cdot \vec{dA}\). No serás responsable de usar los algoritmos de cálculo para analizar tal integral, pero, eres responsable de saber qué\(\int \vec{B}\cdot \vec{dA}\) significa. Es la suma infinita que obtiene cuando subdivide el área encerrada por el bucle en un número infinito de elementos de área infinitesimal y, para cada elemento de área, puntea el vector de campo magnético en la ubicación de ese elemento de área en el vector de área de ese elemento de área, y suma todo el punto resultante productos. También es necesario saber que, en el caso especial de un campo magnético que es constante tanto en magnitud como en dirección sobre toda el área encerrada por el bucle,\(\int \vec{B}\cdot \vec{dA}\) es justo\(\vec{B}\cdot \vec{A}\).

Usando una “constante” genérica para el recíproco de los rendimientos del factor de escala del diagrama de campo

\[\mbox{Number of Lines}=(constant) \int \vec{B}\cdot \vec{dA}\]

para el número de líneas de campo rodeadas por el bucle o bobina. La cantidad\(\int \vec{B}\cdot \vec{dA}\) se denomina flujo magnético a través de la región plana encerrada por el bucle. Tenga en cuenta que el flujo es directamente proporcional al número de líneas de campo magnético a través del bucle.

Al flujo magnético se le da el nombre\(\Phi_B\) (la letra griega phi mayúscula).

\[\Phi_B=\int \vec{B}\cdot \vec{dA}\]

La expresión rinde\(T\cdot m^2\) como las unidades de flujo magnético. A esta combinación de unidades se le da un nombre, el Weber, abreviado Wb.

\[1Wb=T\cdot m^2\]

La Ley de Faraday, la que dice que la corriente inducida en un bucle o bobina es proporcional a la velocidad de cambio en el número de líneas de campo magnético rodeadas por el bucle o bobina, puede escribirse en términos del flujo como:

\[I=-\frac{N}{R} \frac{d\Phi_B}{dt}\]

donde:

\(N\)es el número de devanados o vueltas que componen la bobina cerrada de alambre. \(N =1\)para un solo bucle.

\(R\)es la resistencia del bucle o bobina.

\(\frac{d\Phi_B}{dt}\)es la tasa de cambio en el flujo a través del bucle.

La derivada de una función con respecto al tiempo a menudo se abrevia como la función misma con un punto sobre ella. En otras palabras,

\[\dot{\Phi_B}=\frac{d\Phi_B}{dt}\]

Usando esta notación en nuestra expresión para la corriente en Faradays Ley de inducción tenemos:

\[I=-\frac{N}{R} \dot{\Phi_B}\]

La Ley de Faraday suele expresarse en términos de un CEM más que de una corriente. Voy a utilizar un estudio de caso específico para desarrollar la idea que es de aplicabilidad general. Considere una bobina de cable conductor ideal en serie con una resistencia. Para el cierre del bucle, la resistencia debe considerarse parte del bucle (y de ahí es la resistencia del bucle), pero, tenemos un número insignificante de líneas de campo magnético que cortan a través de la propia resistencia. Supongamos que hay un flujo magnético creciente dirigido hacia arriba a través de la bobina.

Por Ley de Inducción de Faraday, habrá una corriente\(I=-\frac{N}{R} \dot{\Phi_B}\) inducida en la bobina. La carga fluirá alrededor y alrededor de la bobina, saliendo por la parte superior de la bobina y hacia abajo a través de la resistencia.

Pero, para que una resistencia tenga una corriente en ella, debe haber una diferencia de potencial\(V=IR\) entre los terminales de la resistencia.

Reconociendo que, en el caso que nos ocupa, el\(I \) in\(V = IR\) es el\(I=-\frac{N}{R} \dot{\Phi}_B\) resultado del cambio de flujo magnético a través de la bobina, tenemos

\[V=\Big( -\frac{N}{R}\dot{\Phi}_B \Big) R\]

que podemos escribir como

\[V=-N\dot{\phi}_B\]

Donde hay un voltaje a través de una resistencia, hay un campo eléctrico en la resistencia. ¿Qué causa exactamente ese campo eléctrico? La respuesta es, el flujo cambiante a través de la bobina. Más específicamente, son las líneas de campo magnético que cortan a través de la bobina como deben estar haciendo para provocar un cambio en el número de líneas de campo a través de la bobina. Las líneas de campo a través de la bobina provocan una fuerza sobre los portadores de carga en la bobina. En nuestro modelo de portador de carga positiva, esto hace que los portadores de carga positiva en la bobina surjan hacia la parte superior de la resistencia, dejando una ausencia de los mismos en la parte inferior de la resistencia. Solo se necesita una minúscula cantidad de carga para provocar un campo eléctrico apreciable en la resistencia. Se alcanza un equilibrio dinámico en el que la fuerza de campo magnético cambiante sobre la partícula cargada se vuelve incapaz de empujar más carga al terminal superior de la resistencia que la fuerza a través de la resistencia por el campo eléctrico en la resistencia. El campo magnético cambiante no puede empujar más carga ahí debido a la repulsión de la carga que ya está ahí. La fuerza cambiante del campo magnético en la bobina mantiene la diferencia de potencial a través de la resistencia a pesar de que los portadores de carga siguen “cayendo” a través de la resistencia. Esto debería sonar familiar. Un asiento de EMF hace lo mismo. Mantiene una diferencia de potencial constante entre dos conductores (como los terminales de la resistencia en la caja en cuestión). La bobina con el flujo cambiante a través de ella está actuando como un asiento de EMF. Se dice que el flujo cambiante induce un EMF en la bobina, lo llama Ley de Inducción de Faraday, y escribe:

\[\varepsilon=-N \dot {\Phi}_B\]

donde:

• \(\varepsilon\)es la EMF inducida en el bucle.
• \(N\)es el número de devanados o vueltas que componen la bobina de alambre.
• \(\dot{\Phi}_B\)es la tasa de cambio en el flujo a través del bucle.