B19: Inducción, Transformadores y Generadores

En este capítulo proporcionamos ejemplos elegidos para familiarizarte aún más con la Ley de Inducción de Faraday y la Ley de Lenz. El último ejemplo es el generador, el dispositivo utilizado en las centrales eléctricas del mundo para convertir la energía mecánica en energía eléctrica.

Un cable recto lleva una corriente hacia el norte. Debido al este del alambre recto, a la misma elevación que el alambre recto, hay un bucle horizontal de alambre. La corriente en el cable recto va en aumento. ¿De qué manera es la corriente, inducida en el bucle por el campo magnético cambiante del cable recto, dirigida alrededor del bucle?

Solución

Voy a dibujar la situación dada desde algunos puntos de vista diferentes, solo para ayudarte a acostumbrarte a visualizar este tipo de situaciones. Visto desde arriba y hacia el sureste, la configuración (aparte del hecho de que las líneas de campo magnético son invisibles) aparece como:

donde incluí una hoja de papel en el diagrama para ayudarte a visualizar las cosas.

Aquí hay una vista de la misma configuración desde el sur, mirando hacia el norte:

Ambos diagramas dejan claro que tenemos un número creciente de líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo a través del bucle. Es importante tener en cuenta que un diagrama de campo es una manera diagramática de transmitir información sobre un conjunto infinito de vectores. No existe tal cosa como un vector curvo. Un vector siempre se dirige a lo largo de una línea recta. El vector de campo magnético es tangente a las líneas de campo magnético que caracterizan ese vector. En la ubicación del bucle, cada vector de campo magnético representado en el diagrama anterior es recto hacia abajo. Si bien está bien decir que tenemos un número creciente de líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo a través del bucle, por favor tenga en cuenta que las líneas de campo caracterizan a los vectores.

Al presentar mi solución a la pregunta del ejemplo, “¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en un bucle horizontal que se debe al este de un alambre recto que lleva una corriente creciente debida al norte?” Yo no dibujaría ninguno de los diagramas anteriores. El primero tarda demasiado en dibujar y no hay una buena manera de mostrar la dirección de la corriente en el bucle en el segundo. La vista desde arriba es la más conveniente:

En esta vista (en la que la dirección descendente es hacia la página) es fácil ver que lo que tenemos es un número creciente de líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo a través del bucle (más específicamente, a través de la región encerrada por el bucle). En su inútil intento de mantener el número de líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo a través del bucle igual que lo que era,\(\vec{B}_{PIN}\) debe dirigirse hacia arriba para cancelar las líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo que aparecen recientemente. [Recordemos la secuencia: El número cambiante de líneas de campo magnético induce (según la Ley de Faraday) una corriente en el bucle. Esa corriente produce (por Ley de Ampere) un campo magnético (\(\vec{B}_{PIN}\)) propio. La Ley de Lenz relaciona el producto final (\(\vec{B}_{PIN}\)) con el cambio original (número creciente de líneas de campo magnético hacia abajo a través del bucle).]

Eso es interesante. Conocemos la dirección del campo magnético producido por la corriente inducida incluso antes de que conociéramos la dirección de la propia corriente inducida. Entonces, ¿cuál debe ser la dirección de la corriente inducida para producir un campo magnético dirigido hacia arriba (\(\vec{B}_{PIN}\))? Bueno, por la regla de la derecha para algo rizado algo recto, la corriente debe ser en sentido antihorario, como se ve desde arriba.

Oye. Esa es la respuesta a la pregunta. Ya terminamos con ese ejemplo. Aquí hay otro:

Una persona está moviendo un imán de barra, alineado con el polo norte hacia arriba, fuera de debajo de una bobina de alambre, como
se muestra a continuación. ¿Cuál es la dirección de la corriente en la resistencia?

El campo magnético de la barra magnética se extiende hacia arriba a través de la bobina.

A medida que el imán sale de debajo de la bobina, lleva consigo su campo magnético. Entonces, en lo que respecta a la bobina, lo que tenemos es un número decreciente de líneas de campo magnético dirigidas hacia arriba a través de la bobina. Por Ley de Faraday, esto induce una corriente en la bobina. Por Ley de Ampere, la corriente produce un campo magnético,\(\vec{B}_{PIN}\). Por Ley de Lenz\(\vec{B}_{PIN}\) es ascendente, para compensar las líneas de campo magnético dirigidas hacia arriba que salen a través de la bobina.

Entonces, ¿cuál es la dirección de la corriente que está causando\(\vec{B}_{PIN}\)? Eso nos dirá la regla de la derecha. Apunta el pulgar de tu mano derecha ahuecada en la dirección de\(\vec{B}_{PIN}\). Luego tus dedos se curvarán alrededor (en sentido contrario a las agujas del reloj como se ve desde arriba) en la dirección de la corriente.

Debido a la forma en que se enrolla la bobina, dicha corriente se dirigirá hacia fuera de la parte superior de la bobina hacia abajo a través de la resistencia.

Esa es la respuesta a la pregunta planteada en el ejemplo. (¿Cuál es la dirección de la corriente en la resistencia?)

Cuando pones dos bobinas de alambre cerca una de la otra, de tal manera que cuando creas un campo magnético usando un asiento de EMF para causar una corriente en una bobina, ese campo magnético se extiende a través de la región cercada por la otra bobina, creas un transformador. Llamemos a la bobina en la que inicialmente causa la corriente, la bobina primaria y la otra, la bobina secundaria.

Si hace que la corriente en la bobina primaria cambie, entonces el campo magnético producido por esa bobina está cambiando. Así, el flujo a través de la bobina secundaria está cambiando y, por la Ley de Inducción de Faraday, se inducirá una corriente en la bobina secundaria. Una forma de hacer que la corriente en la bobina primaria esté cambiando sería poner un interruptor en el circuito primario (el circuito en el que está cableada la bobina primaria) y abrirlo y cerrarlo repetidamente.

Bien, suficiente preámbulo, aquí está la pregunta: ¿Cuál es la dirección de la corriente transitoria inducida en el circuito anterior cuando el interruptor está cerrado?

Solución al Ejemplo 19-3:

Al cerrar el interruptor, la corriente en el circuito primario se acumula muy rápidamente hasta\(\varepsilon/r\). Si bien el tiempo que tarda la corriente en acumularse\(\varepsilon/r\) es muy corto, es durante este intervalo de tiempo que la corriente está cambiando. De ahí que sea en este intervalo de tiempo que debemos enfocar nuestra atención para responder a la pregunta sobre la dirección de la corriente transitoria en la resistencia\(R\) en el circuito secundario. La corriente en el primario provoca un campo magnético. Debido a que la corriente está aumentando, el vector de campo magnético en cada punto del espacio está aumentando en magnitud.

El aumento del campo magnético provoca líneas de campo magnético dirigidas hacia arriba en la región cercada por la bobina secundaria. No había líneas de campo magnético a través de esa bobina antes de que se cerrara el interruptor, así que claramente, lo que tenemos aquí es un número creciente de líneas de campo magnético dirigidas hacia arriba a través de la bobina secundaria. Por Ley de Faraday esto inducirá una corriente en la bobina. Por ley de Ampere, la corriente inducida en la secundaria producirá un campo magnético propio, uno al que me gusta llamar\(\vec{B}_{PIN}\) para “El campo magnético P roducido por la Corriente In duced”. Por la Ley de Lenz,\(\vec{B}_{PIN}\) debe estar a la baja para cancelar algunas de las líneas de campo magnético dirigidas hacia arriba que aparecen recientemente a través de la secundaria. (Espero que quede claro que lo que llamo las líneas de campo magnético a través de la secundaria, son las líneas de campo magnético que pasan por la región cercada por la bobina secundaria.)

Bien. Ahora la pregunta es, en qué dirección debe dirigirse la corriente alrededor de la bobina para crear el campo magnético dirigido hacia abajo\(\vec{B}_{PIN}\) que hemos deducido que sí crea. Como es habitual, la regla de la mano derecha para algo rizado algo recto revela la respuesta. Señalamos el pulgar de la mano derecha ahuecada en la dirección de\(\vec{B}_{PIN}\) y no podemos dejar de notar que los dedos se enrollan en una dirección que puede describirse mejor como “en el sentido de las agujas del reloj como se ve desde arriba”.

Debido a la forma en que se enrolla la bobina secundaria, dicha corriente se dirigirá fuera del secundario en la parte superior de la bobina y hacia abajo a través de la resistencia\(R\). Esta es la respuesta a la
pregunta planteada en el ejemplo.

Un generador eléctrico

Considera un imán que se hace girar en las proximidades de una bobina de alambre como se muestra a continuación.

Como resultado del imán giratorio, el número y la dirección de las líneas del campo magnético a través de
la bobina cambian continuamente. Esto induce una corriente en la bobina, que, como resulta, también está
cambiando. Compruébalo en el caso del imán es decir, desde nuestro punto de vista, girando en sentido horario. En
la orientación del imán giratorio representado aquí:

a medida que el imán gira, el número de sus líneas de campo magnético que se extienden hacia abajo a través de la bobina disminuye. De acuerdo con la Ley de Faraday, esto induce una corriente en la bobina que, de acuerdo con la Ley de Ampere, produce un campo magnético propio. Según la Ley de Lenz, el campo (\(\vec{B}_{PIN}\)) producido por la corriente inducida debe ser descendente para compensar la pérdida de líneas de campo magnético dirigidas hacia abajo a través de la bobina. Para producir a la\(\vec{B}_{PIN}\) baja, la corriente inducida debe ser en sentido horario, como se ve desde arriba. Con base en la forma en que se envuelve el cable y la bobina se conecta en el circuito, una corriente que se encuentra en el sentido de las agujas del reloj según se ve desde arriba, en la bobina, se dirige fuera de la bobina en la parte superior de la bobina y hacia abajo a través de la resistencia.

En los siguientes diagramas mostramos el imán en cada una de varias orientaciones sucesivas. Ten en cuenta que alguien o algo está haciendo girar el imán por medios mecánicos. Se puede suponer por ejemplo que una persona está girando el imán con su mano. A medida que el imán gira, el número de líneas de campo magnético cambia de manera específica para cada una de las orientaciones representadas. Se le pide al lector que aplique la Ley de Lenz y la Regla de la Mano Derecha para Algo Curley, Algo Directo para verificar que la corriente (causada por el imán giratorio) a través de la resistencia esté en la dirección representada:

A medida que el imán continúa girando en el sentido de las agujas del reloj, la siguiente orientación que logra es nuestro punto de partida y el proceso se repite una y otra vez.

Recapitulación y extrapolación, la corriente a través de la resistencia en la serie de diagramas anteriores, es:

descendente, descendente, ascendente, ascendente, descendente, descendente, ascendente, ascendente,...

Para la mitad de cada rotación, la corriente es descendente, y para la otra mitad de cada rotación, la corriente es ascendente. Al cuantificar este comportamiento, uno se enfoca en la EMF inducida en la bobina:

El EMF a través de la bobina varía sinusoidalmente con el tiempo como:

\[ \varepsilon=\varepsilon_{MAX}\sin(2\pi ft) \label{19-1}\]

donde:

• \(\varepsilon\)que significa EMF, es la diferencia de potencial eléctrico variable en el tiempo entre los terminales de una bobina en estrecha proximidad a un imán que está girando con relación a la bobina como se representa en los diagramas anteriores. Esta diferencia de potencial se hace que exista, y que varíe la forma en que lo hace, por el cambio de flujo magnético a través de la bobina.
• \(\varepsilon_{MAX}\)es el valor máximo de la EMF de la bobina.
• \(f\)es la frecuencia de oscilaciones de la EMF a través de la bobina. Es exactamente igual a la velocidad de rotación del imán expresada en rotaciones por segundo, una unidad que es equivalente a hercios.

El dispositivo que hemos estado discutiendo (bobina más-imán giratorio) se llama generador, o más específicamente, generador eléctrico. Un generador es un asiento de EMF que provoca que haya una diferencia de potencial entre sus terminales que varía sinusoidalmente con el tiempo. La representación esquemática de dicho asiento variable en el tiempo de EMF es:

Se necesita trabajo para hacer girar el imán. El campo magnético causado por la corriente inducida en la bobina ejerce un par sobre el imán que siempre tiende a ralentizarlo. Entonces, para mantener el imán girando, uno debe ejercer continuamente un par sobre el imán en la dirección en la que está girando. El generador es el componente principal de cualquier planta de energía eléctrica. Convierte la energía mecánica en energía eléctrica. El tipo de planta de energía con la que estás tratando está determinado por lo que usa tu compañía eléctrica para hacer girar el imán. Si se usa agua en movimiento para hacer girar el imán, llamamos a la central eléctrica una planta hidroeléctrica. Si se usa una turbina de vapor para hacer girar el imán, entonces la planta de energía se designa por su método de calentamiento y vaporización del agua. Por ejemplo, si uno calienta y vaporiza el agua por medio de la quema de carbón, se llama a la central eléctrica una central eléctrica de carbón. Si se calienta y vaporiza el agua por medio de un reactor nuclear, se llama a la central nuclear.

Considere un “dispositivo que causa una diferencia de potencial entre sus terminales que varía sinusoidalmente con el tiempo” en un circuito simple:

El asiento variable en el tiempo de EMF causa una diferencia de potencial a través de la resistencia, en este circuito simple, igual, en cualquier instante en el tiempo, al voltaje a través del asiento variable en el tiempo de EMF. Como resultado, hay una corriente en la resistencia. La corriente viene dada por\(I=\frac{V}{R}\), nuestra ecuación definitoria para la resistencia, resuelta para la corriente\(I\). Debido a que el signo algebraico de la diferencia de potencial a través de la resistencia se alterna continuamente, la dirección de la corriente en la resistencia se alterna continuamente. Tal corriente se llama corriente alterna (\(AC\)). Se ha vuelto tradicional usar la abreviatura\(AC\)) en la medida en que lo hacemos de manera redundante, a menudo refiriéndose a una corriente alterna como\(AC\) corriente. (Cuando necesitamos distinguirlo\(AC\), llamamos al tipo de corriente “oneway” que, digamos, causa una batería en un circuito, corriente continua, abreviada)\(DC\).

Un dispositivo que causa corriente en una resistencia, ya sea que esa corriente sea alterna o no, está entregando energía a la resistencia a una velocidad que llamamos potencia. La potencia entregada a una resistencia se puede expresar como\(P=IV\) dónde\(I\) está la corriente a través de la resistencia y\(V\) es el voltaje a través de la resistencia. Usando la ecuación definitoria de resistencia\(V=IR\),, el poder se puede expresar como\(P=I^2R\). Un “dispositivo que causa una diferencia de potencial entre sus terminales que varía sinusoidalmente con el tiempo”, a lo que me he referido como un “asiento variable en el tiempo de EMF” se suele denominar fuente de\(AC\) energía. Una fuente de\(AC\) alimentación se refiere típicamente en términos de la frecuencia de las oscilaciones, y, el voltaje que una fuente de\(DC\) alimentación, un asiento ordinario de EMF, tendría que mantener a través de sus terminales para causar la misma potencia promedio en cualquier resistencia que pudiera estar conectada a través de los terminales del \(AC\)fuente de alimentación. El voltaje en cuestión generalmente se conoce como\(\varepsilon_{RMS}\) o\(V_{RMS}\) donde el razonamiento detrás del nombre del subíndice se hará evidente en breve.

Dado que la potencia entregada por un asiento ordinario de EMF es una constante, su potencia promedio es el valor que siempre tiene.

Aquí está el circuito ficticio

eso provocaría la misma potencia de resistencia que la fuente\(AC\) de alimentación en cuestión. La potencia promedio (que es solo la potencia en el caso de un\(DC\) circuito) viene dada por\(P_{AVG}=I \varepsilon_{RMS}\), que, por medio de nuestra ecuación definitoria de resistencia resuelta para\(I\),\(I=V/R\), (donde el voltaje a través de la resistencia es, por inspección,\(\varepsilon_{RMS}\)) se puede escribir\(P_{AVG}=\frac{\varepsilon^2_{RMS}}{R}\). Hasta el momento, esto es algo viejo, con un nombre inexplicable para el voltaje EMF. Ahora consideremos el\(AC\) circuito:

El poder es\(P=\frac{\varepsilon^2}{R}=\frac{[\varepsilon_{MAX} \sin(2\pi ft)]^2}{R}=\frac{\varepsilon^2_{MAX}[\sin(2\pi ft)]^2}{R}\). El valor promedio del cuadrado de la función sinusoidal es\(\frac{1}{2}\). Entonces el poder promedio es\(P_{AVG}=\frac{1}{2} \frac{\varepsilon^2_{MAX}}{R}\). Combinando esto con nuestra expresión\(P_{AVG}=\frac{\varepsilon^2_{RMS}}{R}\) desde arriba rinde:

\[\frac{\varepsilon^2_{RMS}}{R}=\frac{1}{2} \frac{\varepsilon^2_{MAX}}{R}\]

\[\varepsilon_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{2}} \varepsilon_{MAX}\label{19-2}\]

Ahora estamos en condiciones de explicar por qué llamamos al EMF equivalente,\(\varepsilon_{RMS}\). En nuestra expresión\(P_{AVG}=\frac{1}{2} \frac{\varepsilon^2_{MAX}}{R}\), podemos\(\frac{\varepsilon^2_{MAX}}{2}\) considerar como el valor promedio del cuadrado de nuestro EMF variable en el tiempo\(\varepsilon=\varepsilon_{MAX}=\sin (2\pi ft)\). Otro nombre para “promedio” es “media” por lo que podemos\(\frac{\varepsilon^2_{MAX}}{2}\) considerar como el valor medio de\(\varepsilon^2\). En el lado derecho de nuestra expresión para nuestro EMF equivalente\(\varepsilon_{RMS}=\frac{1}{\sqrt{2}} \varepsilon_{MAX}\),, tenemos la raíz cuadrada de\(\frac{\varepsilon^2_{MAX}}{2}\), es decir, tenemos la raíz cuadrada de la media del cuadrado de la EMF\(\varepsilon\). Y de hecho el subíndice “RMS” significa “raíz media cuadrada”. Los valores RMS son convenientes para circuitos que consisten en resistencias y fuentes de alimentación de CA, ya que se pueden analizar dichos circuitos usando valores RMS de la misma manera que se analizan los circuitos de CC.

Más sobre el Transformador

Cuando la bobina primaria de un transformador es accionada por una fuente de alimentación de CA, crea un campo magnético que varía sinusoidalmente de tal manera que provoca que un EMF sinusoidal, de la misma frecuencia que la fuente, sea inducido en la bobina secundaria. El valor RMS de la EMF inducida en la bobina secundaria es directamente proporcional al valor RMS de la diferencia de potencial sinusoidal impuesta a través del primario. La constante de proporcionalidad es la relación entre el número de giros en el secundario y el número de giros en el primario.

\[ \varepsilon_{SECONDARY}=\frac{N_{SECONDARY}}{N_{PRIMARY}} V_{PRIMARY} \label{19-3}\]

Cuando el número de devanados en la bobina secundaria es mayor que el número de devanados en la bobina primaria, se dice que el transformador es un transformador elevador y el voltaje secundario es mayor que el voltaje primario. Cuando el número de devanados en la bobina secundaria es menor que el número de devanados en la bobina primaria, se dice que el transformador es un transformador reductor y el voltaje secundario es menor que el voltaje primario.

La Energía Eléctrica en Tu Casa

Cuando conecta su tostadora a un tomacorriente de pared, pone las puntas del enchufe en contacto con dos conductores entre los cuales hay una diferencia de potencial variable en el tiempo caracterizada como\(115\) voltios\(60\) Hz CA. El\(60\) Hz es la frecuencia de oscilaciones de la diferencia de potencial resultante de un imán que completa 60 rotaciones por segundo, de vuelta en la planta de energía. Un transformador elevador se utiliza cerca de la planta de energía para aumentar la salida de la planta de energía hasta un alto voltaje. Las líneas de transmisión a un potencial muy alto, con respecto a la otra, proporcionan un camino conductor a un transformador cerca de su casa donde se reduce el voltaje. Las líneas eléctricas a un potencial mucho menor proporcionan la ruta de conducción a los cables en su hogar. \(115\)voltios es el valor RMS de la diferencia de potencial entre los dos conductores en cada par de ranuras en sus enchufes de pared. Ya que\(\varepsilon_{RMS}=\frac{1}{\sqrt{2}}\varepsilon_{MAX}\), tenemos\(\varepsilon_{MAX}=\sqrt{2}\space \varepsilon_{RMS}\), así\(\varepsilon_{MAX}=\sqrt{2} (115 \, \mbox{volts})\), o\(\varepsilon_{MAX}=163 \, \mbox{volts}\). Por lo tanto,

\[\varepsilon=(163\space \mbox{volts})\sin[2\pi(60Hz)t]\]

que puede escribirse como,

\[\varepsilon=(163\space \mbox{volts})\sin[(377 \, \frac{\mbox{rad}}{s}t]\]