B23: Difracción de hendidura simple

La difracción de hendidura simple es otro fenómeno de interferencia. Si, en lugar de crear una máscara con dos hendiduras, creamos una máscara con una hendidura, y luego la iluminamos, encontramos, bajo ciertas condiciones, que nuevamente obtenemos un patrón de bandas claras y oscuras. No es el mismo patrón que obtienes para la interferencia de dos ranuras, pero, es bastante diferente de la única línea brillante en la dirección recta que podrías esperar. Así es como surge. En primer lugar, aquí está la configuración:

Nuevamente, obtenemos una franja brillante en la posición recta en la pantalla. A partir de ahí, haciendo ejercicio a cada lado, obtenemos bandas que alternan entre oscuro y brillante. El primer máximo a la derecha o a la izquierda del máximo central no es tan brillante como el máximo central. Y cada máximo después de eso es menos brillante que el máximo que lo precede. En lo que respecta al análisis, quiero comenzar con los mínimos. Considera una línea imaginaria que se extiende desde el punto medio de la hendidura hasta la pantalla.

Entonces ahora la pregunta es: “¿Bajo qué condiciones habrá interferencia completamente destructiva a lo largo de una línea como la que se representa para estar en ángulo\(\theta\) arriba?” Para llegar a la respuesta, primero dividimos la hendidura por la mitad. Voy a agrandar la máscara para que veas a lo que me refiero.

Ahora me imagino dividiendo el lado hacia\(A\) arriba en un número infinito de piezas y el lado\(B\) hacia arriba de la misma manera. Cuando la hendidura es iluminada por la luz, cada pieza se convierte en una fuente puntual. Considere la primera fuente puntual (contando desde la izquierda) en el lado\(A\) y la primera fuente de punto (nuevamente contando desde la izquierda) en el lado\(B\). Estas dos fuentes puntuales están a una\(w/2\) distancia de separación, donde\(w\) está el ancho de la hendidura. Si la luz de estas dos fuentes puntuales (que están en fase entre sí porque en realidad ambas son parte de la misma onda plana entrante), interfiere completamente destructivamente, en algún ángulo\(\theta\) con respecto a la dirección recta, entonces la luz de la segunda fuente puntual en lado \(A\)y la segunda fuente puntual de lado\(B\) también interferirá entre sí de manera completamente destructiva porque estas dos fuentes puntuales también están\(w/2\) separadas. Lo mismo ocurre con las fuentes puntuales tercera desde la izquierda de ambos lados, la cuarta, la quinta, y así sucesivamente, ad infinitum. Entonces, todo lo que necesitamos es establecer la condición que haga que la luz de la fuente del punto más a la izquierda en el lado\(A\) (en general, el punto más a la izquierda de la hendidura) interfiera completamente destructivamente con la fuente del punto más a la izquierda en el lado\(B\) (en general, esencialmente el punto medio de la hendidura). Entonces, considere cualquier punto\(P\) sobre una línea propuesta de mínimos.

La distancia entre las dos fuentes puntuales es\(w/2\). A partir del análisis realizado para el caso de interferencia de dos hendiduras, sabemos que esto da como resultado una diferencia de ruta\(\ell-r=\frac{w}{2}\sin\theta\). Y, como saben, la condición para una interferencia completamente destructiva es que la diferencia de ruta sea media longitud de onda, o, cualquier número entero de longitudes de onda más media longitud de onda. Entonces, tenemos un mínimo a lo largo de cualquier ángulo\(\theta\) (menor que\(90^{\circ}\)) tal que:

\[(m+\frac{1}{2})\lambda=\frac{w}{2} \sin\theta \quad (m=0,1,2,...)\]

Ahora volvemos nuestra atención a la cuestión de los máximos de difracción. Debo advertirle que este análisis da un giro inesperado. Hacemos exactamente lo mismo que hicimos para localizar los mínimos, excepto que establecemos la diferencia de ruta\(\ell-r\) igual a un número entero de longitudes de onda (en lugar de media longitud de onda más un número entero de longitudes de onda). Esto significa que la trayectoria a punto\(P\) desde el punto más a la izquierda en el lado\(A\) (posición\(A_1\)) de la hendidura, difiere en un número entero de longitudes de onda, de la trayectoria a punto\(P\) desde el punto más a la izquierda en el lado\(B\) (posición\(B_1\)). Esto también se mantendrá cierto para el camino desde\(A_2\) vs. el camino desde\(B_2\). Se mantendrá cierto para el camino desde\(A_3\) vs. el camino desde\(B_3\) también. En efecto, se mantendrá cierto para cualquier par de puntos correspondientes, uno de lado\(A\) y otro de lado\(B\). Entonces, en el punto\(P\), tenemos una interferencia constructiva máxima por cada par de puntos correspondientes a lo largo del ancho de la hendidura. Hay, sin embargo, un problema. Mientras que, para cualquier par de puntos, las oscilaciones a\(P\) serán máximas; eso solo significa que\(P\) está en un ángulo que hará máxima la amplitud de las oscilaciones del campo eléctrico debido al par de puntos. Pero el campo eléctrico debido al par de puntos seguirá oscilando, por ejemplo, de max up, to\(0\), max down, to\(0\), y back to max up. Y, estas oscilaciones no estarán sincronizadas con las oscilaciones máximas debido a otros pares de puntos. Entonces, el gran total no corresponderá necesariamente a un máximo de intensidad. La gran diferencia entre este caso y el caso de mínimos es que, en contraste con las oscilaciones máximas variables en el tiempo que se acaban de discutir, cuando un par de contribuciones da como resultado una amplitud de campo eléctrico de cero, el campo eléctrico debido al par es siempre cero. Es constante a cero. Y, cuando cada par en una suma infinita de pares aporta cero a la suma, en cada instante en el tiempo, el resultado es cero. De hecho, en nuestro intento de localizar los ángulos en los que ocurrirán los máximos, en realidad hemos encontrado algunos mínimos más. Esto lo podemos ver si sumamos las contribuciones en un orden diferente.

Considere el siguiente diagrama en el que cada mitad de la hendidura se ha dividido en dos partes:

Si la diferencia de ruta entre “\(A_1\)a\(P\)” y “\(B_1\)a\(P\)”, es una longitud de onda, entonces la diferencia de ruta entre “\(A_1\)a\(P\)” y “\(A_1\)′to\(P\)” debe ser de media longitud de onda. Esto produce una interferencia completamente destructiva. De igual manera para la diferencia de camino entre “\(B_1\)a\(P\)” y “\(B_1\)′to\(P\)”. Entonces, por cada mitad de la hendidura (con cada mitad misma dividida por la mitad) podemos hacer el mismo tipo de suma por pares que hicimos para toda la raja antes. Y, obtenemos el mismo resultado, un número infinito de contribuciones cero al campo eléctrico en\(P\). Todo lo que realmente hemos hecho es tratar cada mitad de la hendidura de la manera en que tratamos la hendidura original. Para toda la hendidura que encontramos

\[(m+\frac{1}{2}) \lambda=\frac{w}{2} \sin \theta \quad (m=0,1,2,...)\]

Aquí obtenemos el mismo resultado pero\(w\) consigo mismo reemplazado por\(w/2\) (ya que estamos tratando con la mitad de la hendidura a la vez.) Entonces ahora tenemos:

\[(m+\frac{1}{2}) \lambda=\frac{w}{4} \sin \theta \quad (m=0,1,2,...)\]

Abandonemos nuestra búsqueda de máximos, al menos por ahora, y veamos dónde estamos en términos de nuestra búsqueda de mínimos. De nuestra consideración de toda la hendidura dividida en dos partes, tenemos la\((m+\frac{1}{2})\lambda=\frac{w}{2} \sin \theta\) cual se puede escribir como\((2m+1)\lambda=w\sin\theta\) significando que tenemos un mínimo cuando:

\[w\sin\theta=1\lambda,3\lambda,5\lambda,...\]

De nuestra consideración de cada mitad dividida en dos partes (para un total de cuatro partes) tenemos las\((m+\frac{1}{2})\lambda=\frac{w}{4} \sin \theta\) cuales se pueden escribir\((4m+2)\lambda=w\sin\theta\) significando que tenemos un mínimo cuando:

\[w\sin\theta=2\lambda,6\lambda,10\lambda,14\lambda,...\]

Si cortamos cada una de las cuatro partes de la hendidura por la mitad así tenemos cuatro pares de dos partes, cada\(\frac{w}{8}\) una de ancho, encontramos mínimos en los\((m+\frac{1}{2})\lambda=\frac{w}{8}\sin\theta\) que se pueden escribir\((8m+4)\lambda=w\sin\theta\) lo que significa que tenemos un mínimo cuando:

\[w\sin\theta=4\lambda,12\lambda,20\lambda,28\lambda,...\]

Si continuamos este proceso de dividir cada parte de la hendidura en dos y encontrar los mínimos para cada par adyacente, ad infinitum, finalmente encontramos que obtenemos un mínimo cuando\(w\sin\theta\) es igual a cualquier número entero de longitudes de onda.

\[w\sin\theta=1\lambda,2\lambda,3\lambda,4\lambda,...\]

un resultado que escribe como

\[m\lambda=w\sin\theta \quad (m=1,2,3,...) \label{23-1}\]

Todavía no hemos encontrado ningún máximo. La única forma analítica de determinar los ángulos en los que ocurren los máximos es hacer una derivación completa de la intensidad de la luz en función de la posición, y luego resolver matemáticamente los máximos. Si bien, esto no es realmente tan difícil como suena, vamos a guardarlo para un curso de óptica y basta con decir que, experimentalmente, encontramos máximos aproximadamente a medio camino entre los mínimos. Esto incluye la dirección recta (\(0^{\circ}\)) excepto que el máximo recto, también conocido como el máximo central, está exactamente a medio camino entre sus mínimos vecinos.

Condiciones bajo las cuales ocurre la difracción de una sola hendidura y la interferencia de dos

Para ver los tipos de patrones de interferencia de los que hemos estado hablando en este y en el capítulo anterior, es necesario que se cumplan ciertas condiciones. Por ejemplo, para ver un conjunto de franjas brillantes en el experimento de interferencia de dos hendiduras necesitamos luz monocromática. Traducido literalmente, del latín, monocromático significa un solo color. La luz monocromática es luz de frecuencia única. La luz estrictamente monocromática es una idealización. En la práctica, la luz que se clasifica como esencialmente monocromática, en realidad consiste en un conjunto infinito de frecuencias que están todas muy cercanas a la frecuencia nominal de la luz. Nos referimos al conjunto de frecuencias como una banda de frecuencias. Si todas las frecuencias en el conjunto son realmente muy cercanas a la frecuencia nominal de la luz, nos referimos a la luz como radiación de banda estrecha.

Si iluminas una hendidura simple o doble con luz que consiste en varias longitudes de onda discretas (individuales) de luz, obtienes una mezcla de varios patrones de interferencia/difracción. Si iluminas una hendidura simple o doble con un continuo de diferentes frecuencias, encuentras que los mínimos de la luz de una longitud de onda son “llenados” por máximos y/o oscilaciones de amplitud intermedia de luz de otras longitudes de onda. Dependiendo del ancho de la hendidura y (en el caso de interferencia de dos hendiduras) la separación de la hendidura, y las longitudes de onda de la luz, es posible que vea un espectro de colores en la pantalla.

Para que ocurra el tipo de interferencia de la que hemos estado hablando, la luz debe ser coherente. La luz debe ser temporalmente coherente (coherente con respecto al tiempo). Si bien aplica a cualquier parte de una ola, voy a hablar de ello en términos de crestas. En la luz temporalmente coherente, una cresta de onda es parte de la misma onda de la que forma parte la cresta de onda anterior. A la luz que tiene una gran coherencia temporal esto es válido para miles de crestas seguidas. A la luz con muy poca coherencia temporal esto puede ser cierto solo para una o dos crestas seguidas. Otra forma de afirmarlo es decir que la luz que consiste en un manojo de pequeños pulsos de onda es temporalmente incoherente y la luz que consiste en ondas continuas largas es temporalmente coherente. La onda larga continua se puede llamar un “tren de olas”. En términos de trenes de olas, la luz que es temporalmente incoherente consiste en muchos trenes de onda corta, mientras que la luz que es temporalmente coherente consiste en un número relativamente pequeño de trenes de onda larga. Los tipos de interferencia de los que hemos estado hablando involucran una parte de una onda que pasa por una hendidura o hendiduras en una máscara, interfiriendo con otra parte de la misma onda que pasa por la misma máscara en un momento posterior. Para que esta última efectivamente sea parte de la misma onda, la luz debe consistir en trenes de onda larga, es decir, debe ser temporalmente coherente. Ahora bien, si la cresta de ola que sigue a una cresta de ola dada no es parte de la misma ola, la distancia de una cresta de ola a la siguiente será diferente para diferentes crestas. Esto significa que las longitudes de onda son diferentes y por lo tanto las frecuencias son diferentes. Así la luz no es monocromática. Bajo las circunstancias opuestas, la luz es monocromática. Entonces, la luz monocromática es temporalmente coherente.

La otra condición es que la luz debe ser espacialmente coherente. En el contexto de la luz que normalmente incide sobre las máscaras planas, esto significa que los frentes de onda deben ser planos y deben tener extensión transversal a la dirección en la que la luz está viajando. En el caso de interferencia de dos ranuras, por ejemplo, la coherencia espacial significa que la luz en una hendidura realmente está en fase con la luz en la otra hendidura. En el caso de la difracción de una sola hendidura, la coherencia espacial significa que la luz que pasa por la mitad derecha de la hendidura está en fase con la luz que pasa por la mitad izquierda de la hendidura.