B24: Interferencia de Película Delgada

Como el nombre y el contexto lo implican, la interferencia de película delgada es otro fenómeno de interferencia que involucra la luz. Aquí está la imagen, tal y como se ve desde arriba:

Se trata de tres medios transparentes: medio 1, medio 2 y medio 3, de índice de refracción\(n_1\)\(n_2\), y\(n_3\), respectivamente. (En general, un medio es una sustancia, pero, en este contexto, el vacío también se considera un medio. El índice de refracción n de un medio es la relación entre la velocidad de la luz en vacío y la velocidad de la luz en ese medio.) El fenómeno ocurre sea o no\(n_1 = n_3\), pero,\(n_2\) debe ser diferente de\(n_1\) y\(n_3\). Medium 2 es la “película delgada”. Para que ocurra una interferencia de película delgada, el grosor del medio 2 debe estar en el orden de la longitud de onda de la luz. (El grosor máximo real para el cual puede ocurrir la interferencia de película delgada depende de la coherencia de la luz).

Aquí está el trato: En la mayoría de las circunstancias, cuando la luz encuentra una interfaz suave entre dos medios transparentes, parte de la luz pasa (luz transmitida) y parte de la luz rebota (luz reflejada). En la disposición de película delgada de tres medios transparentes representados anteriormente, para ciertos espesores de la película delgada (medio 2) se puede reflejar toda la luz y, para ciertos otros espesores, se puede transmitir toda la luz. Se ve este fenómeno al mirar las pompas de jabón, y a veces al mirar charcos en la carretera (cuando hay una fina capa de aceite sobre el agua). Los humanos aprovechan el fenómeno poniendo una fina capa de una sustancia transparente en lentes como lentes de cámara y lentes binoculares, una capa del grosor justo para una transmisión máxima.

A partir de las situaciones en las que ocurre, debe quedar claro que no necesitamos luz monocromática para hacer que se produzcan interferencias de película delgada. No obstante, voy a discutirlo en términos de luz monocromática para que la idea se transmita. Una vez que la entiendas en términos de luz monocromática, puedes aplicarla a la luz blanca (una mezcla de todas las frecuencias visibles) para responder preguntas como, “¿Qué longitud de onda de la luz blanca entrante experimentará la máxima reflexión?” La respuesta ayuda a entender el arco iris de colores que podrías ver en la superficie de un charco a plena luz del día. Pones una capa clara de gasolina encima de un charco transparente de agua y la interferencia de película delgada da como resultado una interferencia constructiva máxima de la luz reflejada, a ciertas longitudes de onda.

Con base en su experiencia con las burbujas de jabón y las superficies de charcos, sabe que la luz no tiene que ser incidente normalmente sobre la interfaz entre los medios transparentes para que ocurra la interferencia de película delgada. No obstante, el análisis es más sencillo para el caso de incidencia normal, por lo que, en este capítulo, voy a limitar nuestro análisis al caso de incidencia normal.

Aquí está la idea grosera: Al pasar por una fina película transparente, la luz se encuentra con dos interfaces, la\(n_2\) interfaz\(n_1\) colindante y, la\(n_3\) interfaz\(n_2\) colindante. En cada interfaz, parte de la luz pasa y otra se refleja. Podemos decir todo lo que tenemos que decir sobre la interferencia de película delgada, con sólo hablar de la luz reflejada. El caso es que la luz reflejada en la segunda interfaz interfiere con la luz reflejada desde la primera interfaz. Se puede pensar que la luz reflejada proviene de dos fuentes en dos ubicaciones diferentes, una fuente es la\(n_2\) interfaz\(n_1\) colindante y la otra es la\(n_3\) interfaz\(n_2\) colindante. Pero, hay una diferencia de fase fija entre la luz de las dos fuentes porque la luz originalmente era parte de una y la misma fuente de luz entrante. La luz reflejada desde la segunda interfaz viaja más lejos, para volver a la misma posición hacia atrás, que la luz reflejada desde la primera interfaz lo hace. Si te imaginas, que, cuando esa distancia extra es de una longitud de onda, la interferencia de la luz reflejada es constructiva, y que, cuando esa distancia extra es de media longitud de onda, la interferencia de la luz reflejada es destructiva, entonces tienes la idea correcta, pero, hay dos “complicaciones” que necesitan ser tomados en cuenta.

La primera complicación tiene que ver con la inversión de fase tras la reflexión. Considera una sola interfaz (olvídate de la película delgada por un momento) entre dos medios transparentes. Supongamos que la luz incide sobre la interfaz. Llamar al índice de refracción del medio en el que la luz está viajando inicialmente,\(n_1\), y llamar al índice de refracción del medio en el que viaja la luz transmitida,\(n_2\). Experimentalmente encontramos que si\(n_2 > n_1\), entonces la luz reflejada se invierte en fase, pero, eso si\(n_2 < n_1\), la luz reflejada no experimenta ningún cambio de fase en absoluto.

En cuanto a lo que entendemos por inversión de fase: Piense en una cresta de una ola golpeando la interfaz. Más específicamente, deje que el campo eléctrico oscile a lo largo de la vertical (dentro y fuera de la página en el diagrama) para que en el instante bajo consideración, tengamos un vector de campo eléctrico dirigido hacia arriba máximo hacia adelante en la ubicación de la interfaz. Un tiempo infinitesimal\(dt\) después, encontraremos un vector de campo eléctrico máximo-ascendente que avanza hacia adelante en un punto\(v_2 dt\) adelante de la interfaz. Si\(n_2 > n_1\) (se cumple la condición de inversión de fase), entonces, en el mismo instante en el tiempo (\(dt\)después de que el vector de campo eléctrico dirigido hacia arriba máximo que se mueve hacia adelante golpea la interfaz) tenemos un vector de campo eléctrico máximo dirigido hacia abajo, viajando hacia atrás, en un punto\(v_1\) dt detrás de la interfaz. Esto es lo que queremos decir con inversión de fase. Un vector de campo eléctrico entrante apuntando en una dirección, rebota en la interfaz como un vector de campo eléctrico apuntando en la dirección opuesta. Si no hay inversión de fase, entonces, en el instante especificado en el tiempo, tendríamos un vector de campo eléctrico máximo dirigido hacia arriba, viajando hacia atrás, en un punto\(v_1 dt\) detrás de la interfaz. Sin inversión de fase, un vector de campo eléctrico apuntando en una dirección, rebota en la interfaz como un vector de campo eléctrico apuntando en la misma dirección.

Ahora volvamos a la configuración de película delgada:

Recordemos que para volver a algún punto especificado en el espacio, la luz que se refleja en la segunda interfaz (entre el medio 2 y el medio 3) viaja más lejos que la luz que se refleja en la primera interfaz (entre el medio 1 y el medio 2). Antes, planteábamos la hipótesis de que si la diferencia de trayectoria era media longitud de onda, la luz de las dos “fuentes” interferiría destructivamente, pero, que si se tratara de una longitud de onda completa, la interferencia sería constructiva. Ahora bien, si no hay inversión de fase desde cualquiera de las superficies (porque\(n_2 < n_1\) y\(n_3 < n2\)), o, si hay inversión de fase desde ambas superficies (porque\(n_2 > n_1\) y\(n_3 > n_2\)) entonces nuestra hipótesis original sigue siendo viable. Pero, si tenemos inversión de fase en una de las interfaces pero no en la otra (\(n_2 > n_1\)pero\(n_3 < n_2\), o,\(n_3 > n_2\) pero\(n_2 < n_1\)), entonces la situación se invierte. Una diferencia de trayectoria de una longitud de onda resultaría en una cresta que interfiere con una “cresta que al reflexionar se convirtió en un canal”, lo que significa que una diferencia de trayectoria de una longitud de onda resultaría en interferencia destructiva. Y, una diferencia de trayectoria de media longitud de onda daría como resultado que una cresta interfiriera con un “canal que al reflexionar se convirtió en una cresta”, lo que significa que una diferencia de trayectoria de media longitud de onda resultaría en interferencia constructiva. Bien, hemos abordado el tema de la inversión de fase. Tenemos una complicación más con la que lidiar. El caso es, la luz que rebota en la segunda interfaz, no sólo recorre una mayor distancia, sino, viaja a una velocidad diferente mientras recorre esa distancia extra porque está en un medio diferente. Veamos cómo se desarrolla esta complicación.

El fenómeno es válido para cada parte de la ola. Concentro la atención en las crestas, solo porque me resulta más fácil hacer un seguimiento de ellas. Por ahora, también quiero centrar la atención en el caso de interferencia constructiva sin inversión de fase. Considera un instante cuando una cresta de la onda entrante que viaja hacia adelante golpea la primera interfaz. La cresta de la onda transmitida viaja a través de la interfaz, avanza por el segundo medio a velocidad\(v_2 = c/n_2\), rebota en la interfaz con el tercer medio, y viaja de regreso a través del segundo medio, completando su viaje de ida y vuelta (de distancia dos veces el grosor del segundo medio) a través del segundo medio en el tiempo:

\[t_2=\frac{2(\mbox{thickness})}{v_2}\]

Ahora, mientras eso sucede, la siguiente cresta de la ola entrante está viajando hacia adelante a velocidad\(v_1=c/n_1\). Llega a la misma interfaz (entre medio 1 y medio 2) a la vez

\[t_1=\frac{\lambda_1}{v_1}\]

donde\(\lambda_1\) esta la longitud de onda de la luz mientras esta viajando en medio 1. (Recuerde, la fuente establece la frecuencia de la luz y eso nunca cambia, pero, a partir de\(v=\lambda f\), la longitud de onda depende de la velocidad de la onda en el medio en el que la luz está viajando.) Para la interferencia constructiva (sin condiciones de inversión de fase), debemos tener

\[t_1=t_2\]

que, a partir de las expresiones para\(t_1\) y\(t_2\) anteriores, puede escribirse como:

\[\frac{\lambda_1}{v_1}=\frac{2(\mbox{thickness})}{v_2}\]

Sustitución\(v_1= \lambda_1 f\) y\(v_2 = \lambda_2 f\) rendimientos:

\[\frac{\lambda_1}{\lambda_1 f}=\frac{2(\mbox{thickness})}{\lambda_2 f}\]

\[\lambda_2 =2(\mbox{thickness})\]

Voy a dejar el resultado en esta forma porque el doble del grosor de la película delgada es la diferencia de trayectoria. Entonces la ecuación está diciendo que, bajo condiciones de no inversión de fase, habrá interferencia constructiva de la luz reflejada desde las dos interfaces, cuando la longitud de onda que tiene la luz en el material del que consiste la película delgada, es igual a la diferencia de trayectoria. Por supuesto, si la diferencia de camino es\(2\lambda_2, 3\lambda_2, 4\lambda_2\), etc. también obtendremos interferencias constructivas. Podemos escribir esto como:

\[m\lambda_2=2(\mbox{thickness}) \quad (m=1,2,3,...) \label{24-1}\]

donde:

\(m\)es un número entero,

\(\lambda_2\)es la longitud de onda de la luz en la película delgada, y

\(thickness\)es el grosor de la película delgada.

Esta condición también es apropiada para el caso de interferencia constructiva máxima cuando se produce inversión de fase en ambas interfaces. Pero, esta condición produce una interferencia completamente destructiva de la luz reflejada cuando hay inversión de fase en una interfaz pero no en la otra.

La longitud de onda en la película\(\lambda_2\) de la luz se puede expresar de manera más simple en términos\(\lambda_1\) de la longitud de onda de la luz en el medio en el que se desplaza originalmente, estableciendo las dos expresiones para la frecuencia iguales entre sí. De\(v_1 = \lambda_1 f\) nosotros tenemos\(f =v_1/\lambda_1\). pero de\(n_1 = c/v_1\) nosotros tenemos\(v_1 = c/n_1\). Reemplazando\(v_1\)\(f =v_1/\lambda_1\) con\(c/n_1\) rendimientos\(f=\frac{c}{n_1 \lambda_1}\). De manera similar, encontramos que se\(f\) puede expresar como\(f=\frac{c}{n_2 \lambda_2}\). Al establecer las dos expresiones\(f\) iguales entre sí, se obtiene:

\[\frac{c}{n_1 \lambda_1}=\frac{c}{n_2 \lambda_2}\]

que se puede escribir como:

\[\lambda_2=\frac{n_1}{n_2} \lambda_1 \label{24-2}\]

Para obtener un máximo cuando tenemos inversión de fase en una, y solo una, interfaz, necesitamos que la diferencia de trayectoria (dos veces el grosor) sea la mitad de una longitud de onda en la película,

\[\frac{1}{2} \lambda_2=2(\mbox{thickness})\]

o que, más, un número entero de longitudes de onda completas en la película:

\[(m+\frac{1}{2})\lambda_2=2(\mbox{thickness}) \quad (m=1,2,3,...) \label{24-3}\]

Esta es también la condición para la interferencia completamente destructiva para el caso de no inversión de fase, o inversión de fase en ambas interfaces. Esto es exactamente lo que queremos para una lente de cámara que se va a usar en air (\(n_1 = 1.00\)). Considera un medio plástico transparente de índice de refracción\(n_2 = 1.3\). Ahora considere la longitud de onda que tendría la luz de la mitad del espectro visible (luz verde) en ese medio. Poner un recubrimiento del plástico, un cuarto de grueso como esa longitud de onda es larga, sobre una lente hecha de vidrio que tenga un índice de refracción\(n_3 = 1.5\). (Tenga en cuenta que tenemos inversión de fase en ambas interfaces.) Con ese recubrimiento, la lente no refleja ninguna luz de la longitud de onda especificada que normalmente incide en la lente (y una cantidad reducida de luz de longitudes de onda cercanas). Es decir, transmite más luz de lo que lo haría sin el recubrimiento. Este es el efecto deseado.