B28: Lentes Delgadas - Rastreo de Rayos

Una lente es una pieza de material transparente cuyas superficies han sido conformadas de manera que, cuando la lente está en otro material transparente (llamarlo medio 0), la luz que viaja en el medio 0, al pasar por la lente, es redirigida para crear una imagen de la fuente de luz. El medio 0 es típicamente aire, y las lentes suelen estar hechas de vidrio o plástico. En este capítulo nos centramos en una clase particular de lentes, una clase conocida como lentes esféricas delgadas. Cada superficie de una lente esférica delgada es una pequeña fracción de una superficie esférica. Por ejemplo, consideremos las dos esferas:

Un trozo de vidrio en forma de intersección de estos dos volúmenes esféricos sería una lente esférica delgada. La intersección de dos superficies esféricas es un círculo. Ese círculo sería el borde de la lente. Visto de cara, el contorno de una lente esférica delgada es un círculo.

El plano en el que se encuentra ese círculo se llama el plano de la lente. Al ver el borde de la lente, el plano de la lente parece una línea.

Cada superficie de una lente esférica delgada tiene un radio de curvatura. El radio de curvatura de una superficie de una lente esférica delgada es el radio de la esfera de la cual esa superficie forma parte. Designar una superficie de la lente como la superficie frontal de la lente y una superficie como la superficie posterior, en el siguiente diagrama:

podemos identificar\(R_1\) como el radio de curvatura de la superficie frontal de la lente y\(R_2\) como el radio de curvatura de la superficie posterior de la lente.

La característica definitoria de una lente es una cantidad llamada distancia focal de la lente. En este punto, te voy a decir cómo puedes calcular un valor para la distancia focal de una lente, en base a las características físicas de la lente, incluso antes de que te diga qué significa la distancia focal. (No te preocupes, pronto llegaremos a la definición.) La ecuación del fabricante de lentes da el recíproco de la distancia focal en términos de las características físicas de la lente (y el medio en el que se encuentra la lente):

La ecuación del fabricante de lentes:

\[\frac{1}{f}=(n-n_0) \Big(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \Big) \label{28-1}\]

donde:

• \(f\)es la distancia focal de la lente,
• \(n\)es el índice de refracción del material del que está hecha la lente,
• \(n_o\)es el índice de refracción del medio que rodea la lente (\(n_o\)es típicamente 1.00 porque el medio que rodea la lente es típicamente aire),
• \(R_1\)es el radio de curvatura de una de las superficies de la lente, y
• \(R_2\)es el radio de curvatura de la otra superficie de la lente.

Antes de pasar de la ecuación del fabricante de lentes, necesito hablarles sobre una convención de signos algebraicos para los valores R. Hay dos tipos de superficies de lentes esféricas. Uno es el tipo “curvado” que posee cualquier lente que sea la intersección de dos esferas. (Este es el tipo de lente del que hemos estado hablando.) “Tal lente se conoce como una lente convexa (también conocida como una lente convergente) y cada superficie (“" curvada "”) se conoce como una superficie convexa.” El radio de curvatura\(R\) para una superficie convexa es, por convención, positivo.

El otro tipo de superficie de lente es parte de una esfera que no encierra la lente en sí. Tal superficie se dice que está “curvada hacia adentro” y se llama superficie cóncava.

Por convención, el valor absoluto de\(R\) para una superficie cóncava sigue siendo el radio de la esfera cuya superficie coincide con la de la lente. Pero, la cantidad\(R\) contiene información adicional en forma de signo menos utilizado para designar el hecho de que la superficie de la lente es cóncava. \(R\)todavía se llama el radio de curvatura de la superficie de la lente a pesar de que no existe tal cosa como una esfera cuyo radio es realmente negativo.

Resumiendo, nuestra convención para el radio de curvatura de la superficie de una lente es:

Superficie de la lente	Signo algebraico de Radio de Curvatura R
Convexo
Cóncava

Entonces, ¿qué hace una lente? Refracciona la luz en ambas superficies. Lo especial de una lente es el efecto que tiene sobre un conjunto infinito de rayos, colectivamente. Podemos caracterizar el efecto operativo de una lente en términos del efecto que tiene sobre los rayos entrantes que son todos paralelos al eje principal de la lente. (El eje principal de una lente es una línea imaginaria que es perpendicular al plano de la lente y pasa a través del centro de la lente). Una lente convergente hace que todos
esos rayos pasen a través de un solo punto en el otro lado de la lente. Ese punto es el punto focal\(F\) de la lente. Su distancia a la lente se llama la distancia focal\(f\) de la lente.

Obsérvese que en el diagrama, mostramos los rayos de luz sometidos a un cambio brusco de dirección en el plano de la lente. A esto se le llama aproximación de lente delgada y la usaremos en todos nuestros tratos con lentes. Ya sabes que la luz se refracta dos veces al pasar a través de una lente, una vez en la interfaz donde ingresa al medio de lente, y nuevamente donde sale del medio de lente. Las dos refracciones juntas hacen que los rayos entrantes viajen en las direcciones en las que sí viajan. La aproximación de lente delgada trata el par de refracciones como un cambio de trayectoria único que ocurre en el plano de la lente. La aproximación de lente delgada es buena siempre que el grosor de la lente sea pequeño en comparación con la distancia focal, la distancia del objeto y la distancia de la imagen.

También se hará que los rayos paralelos al eje principal de la lente que ingresen a la lente desde la dirección opuesta (opuesta a la dirección de los rayos discutidos anteriormente) converjan a un punto focal en el otro lado de la lente. Los dos puntos focales están a una y la misma\(f\) distancia del plano de la lente.

Los dos fenómenos discutidos anteriormente son reversibles en el sentido de que los rayos de luz provenientes de una fuente puntual, en cualquiera de los puntos focales, darán como resultado rayos paralelos en el otro lado de la lente. Aquí mostramos esa situación para el caso de una fuente puntual en uno de los puntos focales:

y aquí lo mostramos para el caso de una fuente puntual en el otro punto focal.

Lo importante de esto es que, cualquier rayo que pase por el punto focal en su camino hacia la lente es, después de pasar por la lente, va a ser paralelo al eje principal de la lente.

En el caso de una lente divergente, se hace que los rayos paralelos entrantes diverjan:

para que viajen a lo largo de líneas que se remontan a espectáculos,

todos pasan por un mismo punto. Es decir, al pasar por la lente, los rayos que alguna vez fueron paralelos divergen como si se originaran a partir de un punto. Ese punto se conoce como el punto focal de la lente divergente. La distancia desde el plano de la lente hasta el punto focal es la magnitud de la distancia focal de la lente. Pero, por convención, la distancia focal de una lente divergente es negativa. En otras palabras, la distancia focal de una lente divergente es la negativa de la distancia desde el plano de la lente hasta el punto focal.

Al igual que en el caso de la lente convergente, hay otro punto focal en el otro lado de la lente, a la misma distancia del plano de la lente que el punto focal discutido anteriormente:

Este efecto es reversible en que cualquier rayo que esté viajando a través del espacio en un lado de la lente, y que se dirija directamente hacia el punto focal en el otro lado de la lente, se convertirá, al pasar a través de la lente, paralelo al eje principal de la lente.

Nuestro plan aquí es usar los hechos sobre lo que hace una lente a los rayos de luz entrantes que son paralelos al eje principal de una lente o se dirigen directamente hacia o lejos de un punto focal, para determinar dónde una lente formará una imagen de un objeto. Antes de hacer eso, necesito decirte una cosa más sobre ambos tipos de lentes esféricas delgadas. Este último dato es un recordatorio de que toda nuestra discusión es una aproximación que depende de que las lentes con las que estamos tratando son, efectivamente, delgadas. Aquí está el nuevo hecho: Cualquier rayo que se dirija directamente hacia el centro de una lente pasa directamente a través. La justificación es que en el centro de la lente, las dos superficies de la lente son paralelas. Entonces, en la medida en que son paralelos en una pequeña región alrededor del centro de la lente, es como si la luz estuviera pasando a través de una delgada pieza de placa de vidrio (o cualquier medio transparente con forma de vidrio de placa). Cuando la luz en el aire, incide en algún ángulo de incidencia que no sea 0°, sobre la placa de vidrio, después de que pasa a través de ambas interfaces aire/vidrio, el rayo es paralelo al rayo entrante. La cantidad en la que el rayo saliente se desplaza lateralmente, en relación con el rayo entrante, depende de qué tan gruesa sea la placa, cuanto más delgada sea la placa, más cerca esté el rayo saliente de ser colineal con el rayo entrante. En la aproximación de lente delgada, tratamos el rayo saliente como exactamente colineal con el rayo entrante.

Uso de diagramas de trazado de rayos

Dado un objeto de altura\(h\), la posición\(o\) del objeto y la distancia focal\(f\) de la lente con respecto al cual se le da la posición del objeto, es necesario poder determinar diagramáticamente: dónde la imagen de ese objeto estará formada por la lente, qué tan grande es la imagen, si el imagen es erecta (lado derecho arriba) o invertida (boca abajo), y si la imagen es real o virtual (estos términos se definirán pronto). Así es como se hace eso para el caso de una lente divergente de distancia focal especificada para la cual la distancia del objeto\(o > |f |\):

Dibuja el plano de la lente y el eje principal de la lente. Dibuja la lente, pero piénsalo como un ícono, solo diciéndote con qué tipo de lente estás tratando. A medida que continúe con el diagrama, tenga cuidado de no mostrar los rayos cambiando de dirección en la superficie de su icono. Además, asegúrate de dibujar una lente divergente si la distancia focal es negativa. Mida la distancia |f | a ambos lados del plano de la lente y dibuje los puntos focales. Mida la distancia del objeto o desde el plano de la lente, y, la altura h del objeto. Dibuja en el objeto.

Determinamos la posición de la imagen de la punta de la flecha por medio de tres rayos principales. Los tres rayos principales son los rayos sobre los cuales el efecto de la lente es fácil de determinar con base en nuestra comprensión de lo que hace una lente a los rayos entrantes que viajan hacia el centro de la lente, los rayos entrantes que viajan hacia o lejos de un punto focal, y los rayos entrantes que viajan directamente hacia el centro de la lente. Empecemos por el sencillo, Principal Ray I. Deja la punta de la flecha y se dirige directamente hacia el centro de la lente. Va directo a través.

A continuación viene el director Ray II. Viene en paralelo al eje principal de la lente, y, en el plano de la lente, salta sobre una línea divergente, que, si se traza hacia atrás, pasa a través del punto focal en el mismo lado de la lente que el objeto. Tenga en cuenta la necesidad de rastrear.

En el caso de una lente divergente, Principal Ray III es el rayo que, a medida que se acerca a la lente, se dirige recto hacia el punto focal en el otro lado de la lente. En el plano de la lente, el Rayo Principal III salta sobre una trayectoria que es paralela al eje principal de la lente.

Tenga en cuenta que, después de pasar por la lente, los tres rayos divergen entre sí. Traze-back produce el punto aparente de origen de los rayos, la imagen de la punta de la flecha. Es en el lugar donde se cruzan las tres líneas. (En la práctica, utilizando una regla y un lápiz, debido al error humano, las líneas se cruzarán en tres puntos diferentes. Considera que estos son los vértices de un triángulo y dibuja la punta de la flecha en lo que juzgas que es el centro geométrico del triángulo.) Habiendo localizado la imagen de la punta de la flecha, dibuja el eje de la imagen de la flecha, mostrando que se extiende desde el punto de intersección, hasta el eje principal de la lente, y, que es perpendicular al eje principal de la lente.

Las mediciones con una regla producen la altura de la imagen\(h′\) y la magnitud de la distancia de la imagen\(|i|\). Se dice que la imagen es una imagen virtual. Una imagen virtual de un punto, es un punto del que los rayos parecen venir, según lo determinado por el rastreo, pero, a través del cual no todos los rayos, en realidad pasan. Por convención, la distancia de imagen es negativa cuando la imagen está en el mismo lado de la lente que el objeto. Una distancia de imagen negativa también significa una imagen virtual. Tenga en cuenta que la imagen es erecta. Por convención, una imagen erecta tiene una altura de imagen positiva\(h′\). El aumento M viene dado por:

\[M=\frac{h'}{h}\]

Por convención, un valor positivo de\(M\) significa que la imagen es erecta (lado derecho hacia arriba).

Para el caso de una lente convergente, el rayo principal I es idéntico al rayo correspondiente para la lente divergente. Comienza con dirección recta hacia el centro de la lente, y, pasa recto a través. El rayo principal II comienza de la misma manera que lo hizo el Rayo Principal II para la lente divergente, viene en paralelo al eje principal de la lente, pero, comenzando en el plano de la lente, en lugar de divergir, se hace que converja en la medida en que pasa por el punto focal del otro lado de la lente.

El rayo principal III, para una lente convergente (con el objeto más alejado de la lente que el punto focal), pasa a través del punto focal en el mismo lado de la lente (el lado de la lente en el que está el objeto) y luego, cuando llega al plano de la lente, sale paralelo al eje principal de la lente.

Si te posicionas de manera que los rayos, habiendo pasado por la lente, te lleguen, y, estés lo suficientemente lejos de la lente, volverás a ver los rayos divergiendo de un punto. Pero esta vez, todos los rayos realmente pasan por ese punto. Es decir, la lente converge los rayos a un punto, y no empiezan a divergir de nuevo hasta después de pasar por ese punto. Ese punto es la imagen de la punta de la flecha. Es una imagen real. Se nota porque si trazas hacia atrás las líneas por las que viajan los rayos, llegas a un punto por el que realmente viajan todos los rayos. Identificando el punto de cruce como la punta de la flecha, dibujamos el eje y la cabeza de la flecha.

Esta vez, la imagen se invierte. Podemos medir la longitud de la imagen y la distancia de la imagen desde el plano del espejo. Por convención, la altura de la imagen es negativa cuando la imagen se invierte, y, la distancia de la imagen es positiva cuando la imagen está en el lado de la lente opuesto al del objeto. El aumento M viene de nuevo dado por

\[M=\frac{h'}{h}\label{28-2}\]

que, al\(h′\) ser negativo, resulta ser negativo en sí mismo. Esto es consistente con la convención de que un aumento negativo significa que la imagen está invertida.

Principal Ray III es diferente para la lente convergente cuando el objeto está más cerca del plano de la lente que el punto focal es:

Rayo Principal III, como todo rayo principal, comienza en la punta del objeto y viaja hacia el plano de la lente. En el caso que nos ocupa, en su camino hacia el plano de lente, el Rayo Principal III viaja a lo largo de una línea que, si se traza hacia atrás, pasa por el punto focal en el mismo lado de la lente que el objeto.

Esto concluye nuestra discusión sobre la determinación de las características y la posición de la imagen mediante el trazado de rayos. Al cerrar este capítulo, resumo las convenciones de signos algebraicos, en forma de tabla:

Cantidad Física	Símbolo	Convención de Firmar
distancia focal	f	+ para lente convergente - para lentes divergentes
distancia de imagen	i	+ para imagen real (en el lado opuesto de la lente como objeto) - para imagen virtual (en el mismo lado de la lente que el objeto)
altura de imagen	h'	+ para imagen erecta - para imagen invertida
aumento	M	+ para imagen erecta - para imagen invertida