B34: Ejemplo de Ley de Gauss

Terminamos el último capítulo usando la Ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico debido a una carga puntual. Fue un ejemplo de una distribución de carga con simetría esférica. En este capítulo brindamos otro ejemplo que involucra la simetría esférica.

Encuentra el campo eléctrico debido a una bola uniforme de carga de radio\(R\) y carga total\(Q\). Expresar el campo eléctrico en función de\(r\), la distancia desde el centro de la pelota.

Solución

Nuevamente tenemos una distribución de carga para la cual una rotación a través de cualquier ángulo alrededor de cualquier eje que pasa por el centro de la distribución de carga da como resultado exactamente la misma distribución de carga. Así, los mismos argumentos de simetría utilizados para el caso de la carga puntual se aplican aquí con el resultado de que, el campo eléctrico debido a la bola de carga tiene que ser dirigido estrictamente radialmente, y, el campo eléctrico tiene un valor y el mismo en cada punto en cualquier caparazón esférico dado centrado en el centro de la bola de carga. Nuevamente, asumimos que el campo eléctrico está dirigido hacia afuera. Si resulta ser dirigido hacia adentro, simplemente obtendremos un valor negativo para la magnitud del campo eléctrico dirigido hacia afuera.

La superficie gaussiana apropiada para cualquier distribución de carga esférica es una cubierta esférica centrada en el centro de la distribución de carga.

Bien, sigamos adelante y apliquemos la Ley de Gauss.

\[\oint \vec{E} \cdot \vec{dA}=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

Dado que el campo eléctrico es radial, es, en todos los puntos, perpendicular a la Superficie Gaussiana. En otras palabras, es paralelo al vector del elemento area\(\vec{dA}\). Esto significa que el producto punto\(\vec{E}\cdot \vec{dA}\) es igual al producto de las magnitudes,\(EdA\). Esto produce:

\[\oint E dA=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

Nuevamente, ya que\(E\) tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana de radio\(r\), cada uno\(dA\) en la suma infinita que es la integral de la izquierda, se multiplica por el mismo valor de\(E\). De ahí que podamos\(E\) facturar la salida de la suma (integral). Esto rinde

\[E\oint dA=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

La integral de la izquierda es solo la suma infinita de todos los elementos de área infinitesimal que componen la superficie gaussiana, nuestra concha esférica de radio\(r\). La suma de todos los elementos de área es, por supuesto, el área de la concha esférica. El área de una esfera es\(4\pi r^2\). Entonces,

\[E4\pi r^2=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

Ahora la pregunta es, ¿cuánta carga está encerrada por nuestra superficie gaussiana de radio\(r\)?

Hay dos formas en las que podemos obtener el valor de la carga encerrada. Intentémoslo en ambos sentidos y asegurémonos de obtener uno y el mismo resultado.

La primera forma: Debido a que la carga se distribuye uniformemente por todo el volumen, la cantidad de carga encerrada es directamente proporcional al volumen encerrado. Entonces, la relación entre la cantidad de carga encerrada y la carga total, es igual a la relación del volumen encerrado por la superficie gaussiana al volumen total de la bola de carga:

\[\frac{Q_{\mbox{Enclosed}}}{Q}=\frac{\mbox{Volume of Gaussian Surface}}{\mbox{Volume of the Entire Ball of Charge}}\]

\[\frac{Q_{\mbox{Enclosed}}}{Q}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi R^3}\]

\[Q_{\mbox{Enclosed}}=\frac{r^3}{R^3}Q\]

La segunda forma: La otra forma que podemos verlo es reconocer que para una distribución uniforme de la carga, la cantidad de carga encerrada por la superficie gaussiana es solo la densidad de carga volumétrica, es decir, la carga por volumen\(\rho\), multiplicada por el volumen encerrado.

\[Q_{\mbox{Enclosed}}=\rho \, \mbox{(Volume of the Gaussian surface)}\]

\[Q_{\mbox{enclosed}}=\rho \frac{4}{3} \pi r^3\]

En este segundo método, nuevamente aprovechamos el hecho de que estamos ante una distribución uniforme de cargas. En una distribución de carga uniforme, la densidad de carga es solo la carga total dividida por el volumen total. Así:

\[\rho=\frac{Q}{\mbox{Volume of Ball of Charge}}\]

\[\rho=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}\]

Sustituyendo esto en nuestra expresión\(Q_{\mbox{enclosed}}=\rho \, 4\pi r^2\) por la carga encerrada por la superficie gaussiana produce:

\[Q_{\mbox{enclosed}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}\frac{4}{3} \pi r^3\]

\[Q_{\mbox{enclosed}}=\frac{r^3}{R^3}Q\]

que es efectivamente la misma expresión a la que llegamos para resolver por el cargo encerrado de la primera forma de la que hablamos.

Hace un par de páginas usamos la Ley de Gauss para llegar a la relación\(E4\pi r^2=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\) y ahora tenemos algo para enchufar\(Q_{\mbox{enclosed}}\). Hacerlo rinde:

\[E 4\pi r^2=\frac{\left( \frac{r^3}{R^3} \right) Q}{\epsilon_o}\]

\[E=\frac{Q}{4\pi \epsilon_o R^3}r\]

Este es nuestro resultado por la magnitud del campo eléctrico debido a una bola de carga uniforme en puntos dentro de la bola de carga\( (r\le R) \). \(E\)es directamente proporcional a la distancia desde el centro de la distribución de carga. E aumenta al aumentar la distancia porque, cuanto más lejos está un punto del centro de la distribución de carga, más carga hay dentro de la concha esférica que está centrada en la distribución de carga y sobre la cual se sitúa el punto en cuestión. ¿Qué tal los puntos por los cuales\(r\ge R\)?

Si\(r\ge R\),

el análisis es idéntico al anterior hasta e incluyendo el punto en el que determinamos que:

\[E4\pi r^2=\frac{Q_{\mbox{enclosed}}}{\epsilon_o}\]

Pero siempre y cuando\(r\ge R\), por mucho que\(r\) supere\(R\), toda la carga en la distribución esférica de carga esté encerrada por la superficie gaussiana. “Toda la carga” es apenas\(Q\) la cantidad total de carga en la bola de carga uniforme. Entonces,

\[E 4\pi r^2=\frac{Q}{\epsilon_o}\]

\[E=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\frac{Q}{r^2}\]

La constante\(\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\) es solo la constante de Coulomb\(k\) para que podamos escribir nuestro resultado como:

\[E=\frac{kQ}{r^2}\]

Este resultado se parece a la Ley de Coulomb para un cargo puntual. Lo que aquí hemos probado es que, en puntos fuera de una distribución de carga esféricamente simétrica, el campo eléctrico es el mismo que el debido a una carga puntual en el centro de la distribución de carga.