9.5: Resumen

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Principales conclusiones

Kepler fue el primero en sintetizar una gran cantidad de datos para describir cuantitativamente la gravedad con sus tres leyes:

El camino de un planeta alrededor del Sol es descrito por una elipse con el Sol a la vez de sus focos.
Los planetas se mueven de tal manera que el área barrida por una línea que conecta el planeta y el Sol en un periodo de tiempo determinado es constante, independiente de la ubicación del planeta.
La relación entre los períodos orbitales\(T\),, al cuadrado de dos planetas es igual a la relación de los ejes semi-mayores,\(s\), de sus órbitas cúbicas:

\(\left(\frac{T_{1}}{T_{2}} \right)^{2}=\left(\frac{s_{1}}{s_{2}} \right)^{3}\)

Newton describió la fuerza atractiva de la gravedad ejercida entre dos cuerpos de masa\(M_{1}\) y\(M_{2}\) (que deben ser masas puntuales) como:

\(\vec F_{12}=-G\frac{M_{1}M_{2}}{r^{2}}\hat r_{21}\)

donde\(\vec F_{12}\) esta la fuerza sobre cuerpo\(1\) desde cuerpo\(2\),\(r\) es la distancia entre los dos cuerpos, y\(\vec r_{21}\) es el vector de cuerpo\(2\) a cuerpo\(1\). El movimiento de un cuerpo bajo la influencia de solo esta fuerza satisfará todas las Leyes de Kepler, si el cuerpo está ligado gravitacionalmente.

El campo gravitacional\(\vec g(\vec r)\), a partir de un cuerpo de masa\(M\), se define como la fuerza gravitacional que otro cuerpo experimentaría por unidad de masa:

\(\vec g(\vec r)=\frac{\vec F(\vec r)}{m}=-G\frac{M}{r^{2}}\hat r\)

El campo puede ser utilizado para determinar la fuerza gravitacional correspondiente,\(\vec F_{g}\), que\(m\) experimentaría un cuerpo de masa si se ubica en una posición\(\vec r\) relativa al cuerpo de masa\(M\):

\(F_{g}=m\vec g(\vec r)\)

Al describir el movimiento de objetos cercanos a la superficie de la Tierra, es así más preciso referirse\(g = 9.8\text{N/kg}\) como la magnitud del campo gravitacional de la Tierra en la superficie de la Tierra, para luego referirse\(g = 9.8 \text{m/s}^{2}\) como la aceleración debida a la gravedad de la Tierra. Los dos solo son iguales si la masa gravitacional (la m en la ecuación anterior) y la masa inercial (la m en la Segunda Ley de Newton) son las mismas.

La Ley de Gauss, que se aplica a todas las leyes de fuerza del cuadrado inverso, puede ser utilizada para determinar la magnitud del campo gravitacional a partir de un cuerpo de masa M, incluso si no es una masa puntual:

\(\oint \vec g(\vec r)\cdot d\vec A=4\pi GM^{enc} \)

Dado que la fuerza descrita por la teoría de Newton es conservadora, podemos definir una función energética potencial. La energía potencial gravitacional de una masa\(m\) ubicada a una\(r\) distancia de una masa\(M\) es:

\(U(r)=-G\frac{Mm}{r}+C\)

Una elección conveniente de la constante es\(C = 0\), ya que esto corresponde a que la energía potencial gravitacional sea igual a cero cuando m está infinitamente lejos de\(M\).

La energía mecánica,\(E\), de un objeto de masa\(m\) que se ubica a una\(r\) distancia de un objeto de masa\(M\), si la gravedad es la única fuerza conservadora ejercida sobre\(m\), viene dada por:

\(E=K+u=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{Mm}{r}\)

donde hemos elegido explícitamente\(C = 0\), y\(v\) es la velocidad de\(m\) relativo\(M\) (considerado como en reposo). Además, si ninguna fuerza no conservadora trabaja sobre el cuerpo de masa\(m\), la energía mecánica,\(E\), es constante.

Si la energía mecánica de\(m\) es negativa, está gravitacionalmente ligada a\(M\). Dependiendo de la energía mecánica de\(m\) y su velocidad en el punto de aproximación más cercano a\(M\), la órbita de\(m\) será descrita por una de las cuatro secciones cónicas (círculo, elipse, parábola, hipérbola).

La Teoría de la Relatividad General de Einstein describe la gravitación como la flexión del espacio y el tiempo causada por la presencia de masa y energía. En la teoría de Einstein, los objetos siguen caminos rectos (inerciales) y no sienten una fuerza de gravedad. La curvatura del espacio es lo que resulta en que su aparente movimiento no sea una línea recta. La teoría de Einstein se basa en el Principio de Equivalencia (la masa inercial y gravitacional son exactamente iguales) y las propiedades de cómo se propaga la luz según la Teoría de la Relatividad Especial.

Ecuaciones Importantes

Tercera Ley de Kepler:

\(\left(\frac{T_{1}}{T_{2}} \right)^{2}=\left(\frac{s_{1}}{s_{2}} \right)^{3}\)

Fuerza gravitacional y campo gravitacional:

\(\begin{aligned} \vec F_{12}&=-G\frac{M_{1}M_{2}}{r^{2}}\vec r_{21} \\ \vec g(\vec r)&=-G\frac{M}{r^{2}}\hat r \\ F_{g}&=m\vec (\vec r) \end{aligned}\)

Ley de Gauss:

\(\oint \vec g(\vec r)\cdot d\vec A=4\pi GM^{enc}\)

Energía potencial gravitacional y energía mecánica:

\(\begin{aligned} U(r)&=-G\frac{Mm}{r}+C \\ E=K+U&=\frac{1}{2}mv^{2}-G\frac{Mm}{r}\end{aligned}\)