11.8: Resumen

Claves para llevar

Podemos describir la cinemática del movimiento rotacional utilizando vectores para indicar tanto un eje de rotación como la dirección de rotación alrededor de ese eje. Si una partícula con vector de velocidad\(\vec v\),, está girando en círculo alrededor de un eje, entonces su vector de velocidad angular\(\vec\omega\),, relativo a ese eje se define como:\[\begin{aligned} \vec\omega = \frac{1}{r^2}\vec r \times \vec v\end{aligned}\] donde\(\vec r\) es un vector desde el eje de rotación a la partícula. La partícula gira en un círculo que se encuentra en el plano definido por\(\vec r\) y\(\vec v\), perpendicular al eje de rotación. La dirección del vector de velocidad angular es colineal con el eje de rotación y la dirección de rotación viene dada por la regla de la derecha para vectores axiales.

Se puede definir la velocidad angular de una partícula en relación con un punto de rotación, incluso si la partícula no se mueve en círculo. En ese caso, la velocidad angular corresponde a la velocidad angular de la partícula como si se estuviera moviendo instantáneamente alrededor de un círculo.

Si una partícula que se mueve alrededor de un círculo tiene una aceleración tangencial\(\vec a_s\), entonces su vector de aceleración angular se define como:\[\begin{aligned} \vec\alpha = \frac{1}{r^2}\vec r \times \vec a_s\end{aligned}\]

El par de una fuerza,\(\vec F\), ejercida en una posición\(\vec r\), con relación a un eje (o punto) de rotación se define como: El\[\begin{aligned} \vec\tau &= \vec r \times \vec F\\\end{aligned}\] par es análogo a la fuerza en que se utiliza para modelar las causas del movimiento. Los pares solo se definen en relación con un eje o punto de rotación. El vector de par será colineal con el eje alrededor del cual giraría el objeto sobre el que se ejerce la fuerza como resultado de esa fuerza.

La magnitud del par puede escribirse usando el componente de la fuerza,\(F_\perp\) perpendicular al vector\(\vec r\), o el brazo de palanca\(r_\perp\), de la fuerza relativa al eje de rotación:\[\begin{aligned} \tau &= rF\sin\phi\\ &=rF_\perp\\ &=r_\perp F\end{aligned}\] donde\(\phi\) esta el angulo entre los vectores\(\vec r\) y\(\vec F\) cuando estos se colocan “cola a cola”.

Usando cantidades rotacionales/angulares, podemos modificar la Segunda Ley de Newton para describir la dinámica rotacional alrededor de un eje (o punto) de rotación dado. Para una partícula puntual, esto da:\[\begin{aligned} \vec \tau^{net} = mr^2 \vec\alpha\end{aligned}\] dónde\(\vec \tau^{net}\) está el par neto sobre la partícula (la suma de los pares de cada fuerza ejercida sobre la partícula) alrededor del eje, y\(\vec\alpha\) es la aceleración angular resultante alrededor de ese eje.

Para un objeto (ya sea continuo o hecho de partículas puntuales), la versión rotacional de la Segunda Ley de Newton para la rotación alrededor de un eje específico viene dada por:\[\begin{aligned} \vec \tau^{net} = I\vec\alpha\end{aligned}\] dónde\(I\) está el momento de inercia del objeto alrededor de ese eje.

El momento de inercia de un objeto alrededor de un eje de rotación viene dado por\[\begin{aligned} I = \sum_i m_ir_i^2\end{aligned}\] si el objeto se modela como un sistema de partículas puntuales de masa\(m_i\) cada una a una\(r_i\) distancia del eje de rotación. Para un objeto continuo, el momento de inercia viene dado por:\[\begin{aligned} I = \int r^2 dm\end{aligned}\] donde\(dm\) está un elemento de masa pequeña a una\(r\) distancia del eje de rotación y la integral está sobre la dimensión del objeto. Generalmente, se puede configurar la integral expresándose\(dm\) en términos de\(r\) usar la densidad del objeto, y luego integrándose\(r\) sobre la dimensión del objeto.

Si el momento de inercia de un objeto de masa\(M\) alrededor de un eje que atraviesa el centro de masa viene dado por\(I_{CM}\), entonces el momento de inercia,\(I_h\), del objeto a través de un eje que es paralelo y una\(h\) distancia del centro de masa viene dada por el teorema del eje paralelo:\[\begin{aligned} I_h = I_{CM} + Mh^2 \quad \text{Parallel axis theorem}\end{aligned}\]

Los objetos están en equilibrio si no giran cuando se ven en su marco de referencia del centro de masa. Así, para que un objeto esté en equilibrio, la suma de los pares en el objeto, en el marco de referencia del centro de masa, debe ser cero.

Un objeto está en equilibrio estático si el centro de masa no se está acelerando, y así la suma de las fuerzas externas sobre el objeto es cero. Para modelar los pares de torsión en un objeto en equilibrio estático, se puede elegir el eje alrededor del cual calcular los pares. Una buena opción es elegir un eje que sea perpendicular al plano en el que se ejercen las fuerzas sobre el objeto (si existe tal plano), y elegir el eje para pasar por un punto donde se ejerce al menos una fuerza (para que los pares ejercidos en ese punto sean idénticamente cero).

Un objeto está en equilibrio dinámico si el centro de masa se está acelerando, pero el objeto no gira cuando se ve en el marco de referencia de su centro de masa. En equilibrio dinámico, si uno modela los pares ejercidos sobre el objeto alrededor de un eje que no pasa por el centro de masa, entonces hay que recordar incluir una fuerza inercial ejercida en el centro de masa.

Ecuaciones Importantes

Cantidades angulares:

\[\begin{aligned} \vec\omega &= \frac{1}{r^2}\vec r \times \vec v\\ \vec\alpha &= \frac{1}{r^2}\vec r \times \vec a_\perp\\ \vec v_s &= \vec \omega \times \vec r\nonumber\\ \vec a_s&= \vec \alpha \times \vec r\end{aligned}\]

Par de torsión a partir de una fuerza:

\[\begin{aligned} \vec\tau &= \vec r \times \vec F\\ \tau &= rF\sin\phi\\ &=rF_\perp\\ &=r_\perp F\end{aligned}\]

La Segunda Ley de Newton para una partícula puntual alrededor de un eje de rotación dado:

\[\begin{aligned} \vec \tau^{net} = mr^2 \vec\alpha\end{aligned}\]

Segunda Ley de Newton para rotación alrededor de un eje:

\[\begin{aligned} \vec \tau^{net} = I\vec\alpha\end{aligned}\]

Momento de inercia:

\[\begin{aligned} I = \sum_i m_ir_i^2\\ I = \int r^2 dm\\\end{aligned}\]

Teorema del Eje Paralelo:

\[\begin{aligned} I_h = I_{CM} + Mh^2\\\end{aligned}\]

Definiciones importantes

Definición

Torsión: Equivalente rotacional de la fuerza que ocurre cuando se aplica una fuerza a una\(r\) distancia del eje de rotación de un cuerpo rígido o partícula. Unidades SI:\([\text{J}]\). Variable (s) común (es):\(\tau\).

Definición

Momento de inercia: Propiedad de la materia que describe la resistencia de un objeto al movimiento rotacional. Unidades SI:\([\text{kgm}^{2}]\). Variable (s) común (es):\(I\).

Definición

Densidad de masa lineal: La masa por unidad de longitud de un objeto. Unidades SI:\([\text{kgm}^{-1}]\). Variable (s) común (es):\(\lambda\).