14.8: Resumen

Claves para llevar

Una onda viajera es la propagación de una perturbación con una velocidad,\(v\), a través de un medio. Las partículas en el medio oscilan de un lado a otro, alrededor de una posición de equilibrio, a medida que una onda pasa por el medio, pero no son transportadas con la onda. Sólo la energía es transmitida por una ola.

En una onda transversal, las partículas en el medio oscilan en una dirección que es perpendicular a la velocidad de la onda. En una onda longitudinal, las partículas del medio oscilan en una dirección que es colineal con la velocidad de la onda.

Una onda sinusoidal se describe por su frecuencia\(f\),, su longitud de onda\(\lambda\), su amplitud\(A\), y su velocidad,\(v\). También podemos utilizar el periodo de la onda,\(T\), en lugar de la frecuencia. La frecuencia y la longitud de onda de una onda están relacionadas entre sí por la velocidad de la onda:\[\begin{aligned} v = \lambda f\end{aligned}\]

Matemáticamente, una onda sinusoidal viajera unidimensional que se mueve en la\(x\) dirección positiva se puede describir por:\[\begin{aligned} D(x,t) = A \sin(kx-\omega t + \phi)\end{aligned}\] dónde\(D(x,t)\) está el desplazamiento de la partícula en el medio en posición\(x\) en el momento\(t\). \(\phi\)es la fase de la ola y depende de nuestra elección de cuándo\(t=0\). \(k\)es el número de onda de la onda, y\(\omega\) su frecuencia angular. Éstas están relacionadas con la longitud de onda y frecuencia, respectivamente:\[\begin{aligned} k &= \frac{2\pi}{\lambda}\\ \omega &= 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\end{aligned}\] Si un modelo dinámico (por ejemplo, la Segunda Ley de Newton) de un sistema/medio conduce a una ecuación con la siguiente forma:\[\begin{aligned} \frac{\partial ^{2}D}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^{2}D}{\partial t^{2}}\end{aligned}\] entonces las ondas con una velocidad de\(v\) pueden propagarse a través del sistema/medio.

La velocidad de una ola sobre una cuerda de densidad de masa lineal\(\mu\), bajo tensión\(F_T\), viene dada por:\[\begin{aligned} v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}\end{aligned}\]

Generalmente, la velocidad de una onda en un medio depende de la elasticidad del medio cuando se deforma y de la inercia de las partículas en el medio. Para que una onda se propague a través de un medio, las partículas en el medio deben poder desplazarse de su posición de equilibrio.

Un pulso que viaja a través de una cuerda se reflejará al final de la cuerda y retrocederá en la dirección opuesta. Si el extremo de la cuerda está fijo, el pulso reflejado se invertirá. Si el extremo de la cuerda puede moverse, el pulso reflejado estará en la misma orientación que el pulso entrante.

Una onda unidimensional en una cuerda de densidad de masa lineal,\(\mu\), transferirá energía a una velocidad promedio:\[\begin{aligned} P = \frac{1}{2}\omega^2\mu A^2 v \end{aligned}\] Una onda esférica tridimensional a través de un medio con densidad\(\rho\) transferirá energía a una velocidad promedio:\[\begin{aligned} P = 2\pi\rho\omega^2r^2 v\end{aligned}\] a una distancia\(r\) de la fuente de la ola. La amplitud de una onda esférica disminuirá a medida que aumente la distancia alejada de la fuente:\[\begin{aligned} A =\frac{1}{r}\sqrt{\frac{P}{2\pi\rho \omega^2 v}}\end{aligned}\] La intensidad de una onda esférica se define como la potencia por unidad de área transferida por la onda, y viene dada por:\[\begin{aligned} I=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2v\end{aligned}\] El principio de superposición establece que si\(D_1(x,t)\), \(D_2(x,t)\),\(\dots\), son funciones que satisfacen la ecuación de onda, entonces cualquier combinación lineal de estas funciones,\(D(x,t)\): también\[\begin{aligned} D(x,t) = a_1D_1(x,t)+a_2D_2(x,t)+a_3D_3(x,t)+\dots\end{aligned}\] satisfará la ecuación de onda.

Diferentes ondas pueden interferir constructiva o destructivamente en un medio, y la onda resultante viene dada por la suma de las funciones que describen las ondas interferentes.

Las ondas estacionarias se forman cuando interfieren ondas de la misma frecuencia y amplitud que viajan en direcciones opuestas. Para las ondas estacionarias en una cuerda, el desplazamiento de una partícula en la cuerda viene dado por:\[\begin{aligned} D(x,t)=2A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\cos(\omega t)\end{aligned}\] donde\(n\) está el número del armónico y\(L\) es la longitud de la cuerda. En particular, una partícula en posición\(x\) se moverá hacia arriba y hacia abajo como un simple oscilador armónico con amplitud:\[\begin{aligned} A(x) = 2A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\end{aligned}\] La condición para que una onda estacionaria exista en una cuerda es que la longitud de la cuerda debe ser igual a un múltiplo de la mitad de la longitud de onda de la onda estacionaria: \[\begin{aligned} L &= n\frac{\lambda}{2}\quad\quad n=1,2,3,\dots\\ \lambda &= \frac{2L}{n}\\ f &= \frac{nv}{2L}\end{aligned}\]

Ecuaciones Importantes

Viajando 1d olas:

\[\begin{aligned} D(x,t) &= A \sin(kx-\omega t + \phi)\\ k &= \frac{2\pi}{\lambda}\\ \omega &= 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\\ v &= \lambda f\end{aligned}\]

Ecuación de onda:

\[\begin{aligned} \frac{\partial ^{2}D}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^{2}D}{\partial t^{2}}\end{aligned}\]

Velocidad de onda:

\[\begin{aligned} v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu}} \quad v=\sqrt{\frac{E}{\rho}} \quad v=\sqrt{\frac{B}{\rho}}\end{aligned}\]

Potencia (onda 1d en una cuerda):

\[\begin{aligned} P = \frac{1}{2}\omega^2\mu A^2 v \end{aligned}\]

Ondas esféricas:

\[\begin{aligned} P &= 2\pi\rho\omega^2r^2 v\\ A &=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{P}{2\pi\rho \omega^2 v}}\\ I&=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2v\end{aligned}\]

Ondas estacionarias:

\[\begin{aligned} D(x,t)&=2A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\cos(\omega t)\\ A(x) &= 2A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\end{aligned}\]

Ondas estacionarias en una cuerda (ambos extremos fijos):

\[\begin{aligned} L &= n\frac{\lambda}{2}\quad\quad n=1,2,3,\dots\\ \lambda &= \frac{2L}{n}\\ f &= \frac{nv}{2L}\end{aligned}\]

Definiciones importantes

Definición

Longitud de onda: La distancia entre dos máximos sucesivos (“picos”) o mínimos (valles) en una onda. Unidades SI:\([\text{m}]\). Variable (s) común (es):\(\lambda\).

Definición

Amplitud: La distancia máxima a la que una partícula en un medio se desplaza de su posición de equilibrio cuando pasa una onda. Unidades SI:\([\text{m}]\). Variable (s) común (es):\(A\).

Definición

Frecuencia: El número de oscilaciones completas en un segundo de una partícula en un medio a medida que pasa una onda. Unidades SI:\([\text{s}^{-1}]\). Variable (s) común (es):\(f\).

Definición

Módulo aparente: Una medida de la resistencia a la compresión de un objeto o sustancia. Unidades SI:\([\text{Pa}]\). Variable (s) común (es):\(B\).

Definición

Densidad de masa volumétrica: La masa por unidad de volumen de un objeto. Unidades SI:\([\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}]\). Variable (s) común (es):\(\rho\).

Definición

Intensidad: La potencia por unidad de área transmitida por una ola. Unidades SI:\([\text{W}\cdot\text{m}^{-2}]\). Variable (s) común (es):\(I\).