17.4: Interpretación de la Ley de Gauss y cálculo vectorial

En esta sección, brindamos un poco más de antecedentes teóricos e intuición sobre la Ley de Gauss, así como su conexión con el cálculo vectorial (que está más allá del alcance de este libro de texto, pero interesante de tener un sentimiento). Muy generalmente, la Ley de Gauss es una declaración que conecta una propiedad de un campo vectorial con la “fuente” de ese campo. Pensamos en la masa como la fuente del campo gravitacional, y pensamos en la carga como la fuente del campo eléctrico. La propiedad del campo que consideramos en este caso fue su “flujo fuera de una superficie cerrada”.

Recordemos que determinar el flujo de un campo fuera de una superficie cerrada equivale a contar el número neto de líneas de campo que salen de esa superficie cerrada. Las líneas de campo deben comenzar con una carga positiva y deben terminar con una carga negativa. Así, si hay un número neto de líneas de campo que salen de la superficie, debe haber una carga positiva en el volumen definido por la superficie (una “fuente” de líneas de campo). Si hay un número neto de líneas de campo entrando en la superficie, entonces el volumen definido por la superficie debe incluir una carga negativa (un “sumidero” de líneas de campo). La Ley de Gauss es simplemente una afirmación de que el número de líneas de campo que entran o salen de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga encerrada en ese volumen.

El flujo que sale de una superficie cerrada está estrechamente conectado al concepto de cálculo vectorial de “divergencia”, que describe si las líneas de campo están divergiendo (extendiéndose o acercándose). Cuando una carga puntual está presente, las líneas de campo emanarán radialmente de esa carga puntual; es decir, divergirán. Decimos que el campo eléctrico tiene divergencia distinta de cero si hay una fuente del campo eléctrico en esa posición del espacio. La diferencia clave entre el concepto de divergencia y el de “flujo fuera de una superficie cerrada”, es que la divergencia es una propiedad local del campo (es cierto en un punto), mientras que el flujo que sale de una superficie debe calcularse usando un volumen finito y hace que sea desafiante definir el campo en un posición. La ley de Gauss definida usando flujo no es tan útil para describir cómo cambia el campo en posiciones específicas, y generalmente se limita a situaciones con un alto grado de simetría.

La divergencia,\(\nabla \cdot \vec E\), de un campo vectorial,\(\vec E\), en alguna posición se define como:

\[\begin{aligned}\nabla\cdot\vec E =\frac{\partial E}{\partial x}+\frac{\partial E}{\partial y}+\frac{\partial E}{\partial z}\end{aligned}\]

y corresponde a la suma de tres derivadas parciales evaluadas en esa posición en el espacio. El Teorema de Gauss (también llamado Teorema de Divergencia) establece que:\[\begin{aligned} \int_V \nabla \cdot \vec E = \oint_S \vec E \cdot d\vec A\end{aligned}\] donde el\(V\) (\(S\)) en la integral indica si la suma (integral) debe llevarse a cabo sobre un volumen\(V\), o sobre una superficie cerrada\(S\),, como tenemos practicado en este capítulo. Si bien no es importante a este nivel entender el teorema en detalle, el punto es que se puede convertir un “flujo sobre una superficie cerrada” en una integral de la divergencia del campo. En otras palabras, podemos convertir una propiedad global (flujo) en una propiedad local (divergencia). La Ley de Gauss en términos de divergencia puede escribirse como:

\[\nabla\cdot\vec E =\frac{\rho}{\epsilon_0}\quad\text{(Local version of Gauss' Law)}\]

donde\(\rho\) está la carga por unidad de volumen en una posición específica en el espacio. Esta es la versión de la Ley de Gauss que suele verse en los libros de texto avanzados y en la teoría unificada del electromagnetismo de Maxwell. Esta versión de la Ley de Gauss relaciona una propiedad local del campo (su divergencia) con una propiedad local de carga en esa posición en el espacio (la carga por unidad de volumen en esa posición en el espacio). Si integramos ambos lados de la ecuación sobre el volumen, recuperamos la formulación original de la Ley de Gauss: el lado izquierdo, por el Teorema de la Divergencia, conduce al flujo cuando se integra sobre el volumen, mientras que en el lado derecho, la integral sobre volumen de carga por unidad de volumen\(\rho\),, dar la carga total encerrada en ese volumen,\(Q^{enc}\):\[\begin{aligned} \int_V \left(\nabla \cdot \vec E \right)dV&= \int_V \left(\frac{\rho}{\epsilon_0}\right) dV\\ \oint_S \vec E \cdot d\vec A &=\frac{Q^{enc}}{\epsilon_0}\end{aligned}\]