24.7: Impulso relativista y energía

En esta sección, mostramos cómo definir el impulso y la energía de una manera consistente con los postulados de la Relatividad Especial. Esperamos que, dado que el tiempo y el espacio dependen del marco de referencia del observador, también lo hará el impulso y la energía de un objeto. Considerar un objeto de masa\(m_0\), moviéndose en un marco de referencia\(S\),, con velocidad,\(\vec u\) (nos reservamos\(\vec v\) para representar la velocidad entre dos marcos inerciales de referencia), en la\(x\) dirección. En algún momento,\(t\), el objeto estará en posición,\(x\), a lo largo del\(x\) eje. Definimos el impulso relativista como:\[\begin{aligned} p = m_0\frac{dx}{dt'}\end{aligned}\] dónde\(t'\) está el tiempo medido en el resto del fotograma del objeto. Al definir el ímpetu en términos del tiempo adecuado del objeto, todos los observadores coincidirán en el valor de\(t'\). En el marco de referencia,\(S\), (con el tiempo\(t\)) esto corresponde a:\[\begin{aligned} p = m_0\frac{dx}{dt'}=m_0\frac{dt}{dt'}\frac{dx}{dt}=m_0\frac{dt}{dt'}u\end{aligned}\] donde\(u\) esta la velocidad de la particula en marco,\(S\). Podemos usar la dilatación temporal para reexpresar la derivada:\[\begin{aligned} \Delta t &= \gamma \Delta t'\\ \frac{\Delta t}{\Delta t'}&=\gamma\\ \therefore \frac{dt}{dt'}&=\gamma\end{aligned}\] donde en la última línea, simplemente tomamos el límite de un intervalo de tiempo infinitesimalmente corto. Por lo tanto, el impulso relativista de la partícula, en marco\(S\), puede definirse:

\[\vec p=m_{0}\gamma\vec u=\frac{m_{0}\vec u}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\]

donde\(\gamma\) se calcula con la misma velocidad,\(u\), ya que esa es la velocidad del marco de referencia del objeto relativo a\(S\). Tenga en cuenta que a medida que la velocidad\(u\),, de la partícula se acerca a la velocidad de la luz, el factor de\(\gamma\) se acerca al infinito. Esto significa que un objeto con una masa nunca podrá alcanzar la velocidad de la luz, ya que tendría un impulso infinito. Para definir el impulso de una manera que se asemeje a la definición clásica, se puede pensar en la masa del objeto como dependiendo de la velocidad del objeto. Definimos la masa de reposo,\(m_0\), del objeto como la masa que se mide cuando el objeto está en reposo. Entonces podemos modelar la masa del objeto como creciente con su velocidad:\[\begin{aligned} m(u) = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\end{aligned}\] para que el impulso relativista se definiera como:\[\begin{aligned} \vec p = m(u)\vec u\end{aligned}\] En este caso, podemos pensar en la masa del objeto como aumentando con su velocidad. El objeto adquiriría masa infinita si llegara a alcanzar la velocidad de la luz.

Con la definición relativista de impulso, la Segunda Ley de Newton puede escribirse como:\[\begin{aligned} \vec F = \frac{d\vec p}{dt}=\frac{d}{dt}m_0\gamma\vec u \end{aligned}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Una fuerza constante de\(1\times 10^{-22}\text{N}\) is applied to an electron (with mass \(m_e=9.11\times 10^{-31}\text{kg}\)) in order to accelerate it from rest to a speed of \(u=0.99c\). Compare the length of time over which the force must be applied using classical and relativistic dynamics.

Solución:

En ambos casos, podemos comenzar con la Segunda Ley de Newton:\[\begin{aligned} \vec F &= \frac{d\vec p}{dt}\\ \therefore \int \vec F dt &= \Delta \vec p = \vec p\end{aligned}\] dónde\(\vec p\) está el impulso final del electrón (que es diferente dependiendo de si usamos la definición clásica o relativista de impulso). Dado que la fuerza es constante:\[\begin{aligned} \int \vec F dt&=\vec F \Delta t=\vec p\\ \therefore \Delta t &=\frac{p}{F}\end{aligned}\] dónde\(\Delta t\) está el tiempo durante el cual se aplica la fuerza. Con la definición clásica de impulso, el tiempo viene dado por:\[\begin{aligned} \Delta t &=\frac{p}{F} = \frac{mu}{F}=\frac{(9.11\times 10^{-31}\text{kg})(0.99)(3\times 10^{8}\text{m/s})}{(1\times 10^{-22}\text{N})}=2.71\text{s}\end{aligned}\] Con la definición relativista de impulso, primero necesitamos el factor gamma: Luego\[\begin{aligned} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(0.99)^2}}=7.1\end{aligned}\] podemos calcular el tiempo durante el cual se necesita aplicar la fuerza:\[\begin{aligned} \Delta t &=\frac{p}{F} = \frac{\gamma m_0u}{F}=\gamma \frac{m_0u}{F}=(7.1)(2.71\text{s})=19.2\text{s}\end{aligned}\]

Discusión:

Al utilizar la definición relativista de impulso, encontramos que el tiempo durante el cual se debe aplicar la fuerza para alcanzar una velocidad dada es más largo. Esto tiene sentido, ya que tardará infinitamente en llegar a la velocidad de la luz. También, tenga en cuenta que el tiempo que se requiere usando dinámicas relativistas es solo el tiempo dilatado que se requiere en la dinámica clásica.

Recordemos cómo definimos la energía cinética, en la Sección 7.2, definiendo el cambio en la energía cinética de un objeto como el trabajo neto realizado en ese objeto. Utilizamos el mismo formalismo aquí para redefinir la energía cinética usando dinámicas relativistas.

El trabajo realizado por la fuerza neta\(\vec F\), sobre un objeto que va de una posición\(A\) a una posición\(B\), viene dado por\[\begin{aligned} W = \int_A^B \vec F\cdot d\vec l=\int_0^t \left(\frac{d}{dt}m_0\gamma\vec u \right)\cdot(\vec u dt)\end{aligned}\] donde reconocimos que un segmento infinitesimal\(d\vec l\) a lo largo de la trayectoria del objeto viene dado por \(d\vec l=\vec u dt\). El tiempo infinitesimales,\(dt\), cancelan, y nos quedamos con:\[\begin{aligned} W&=\int_0^t \left(\frac{d}{dt}m_0\gamma\vec u \right)\cdot(\vec u dt)\\ &=\int d(m_0\gamma \vec u)\cdot \vec u\end{aligned}\] que podemos integrar por partes. Podemos integrar esto sobre la velocidad,\(u\), y asumimos que el objeto comenzó con una velocidad de\(u=0\) al inicio del camino y tiene una velocidad,\(u=U\), al final de la trayectoria:\[\begin{aligned} W&=\int_0^U d(m_0\gamma \vec u)\cdot \vec u = \Big[\gamma m_0 \vec u\cdot\vec u\Big]_0^U-\int_0^U m_0\gamma u du\quad\text{(int. by parts)}\\ &=\gamma m_0 U^2-m_0\int_0^U\frac{udu}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ &=\gamma m_0 U^2-m_0\Big[ c^2\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} \Big]_0^U\\ &=\gamma m_0 U^2-m_0c^2+m_0c^2\sqrt{1-\frac{U^2}{c^2}}\\ &=\gamma \left(m_0 U^2+m_0c^2\left(1-\frac{U^2}{c^2}\right)\right)-m_0c^2\\ &=m_0c^2(\gamma -1) \end{aligned}\] Desde que el objeto comenzó en reposo (con una velocidad \(u=0\)) la integral anterior corresponde a lo que llamaríamos la energía cinética del objeto, con una velocidad,\(u\):\[\begin{aligned} K=m_0c^2(\gamma -1)=m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}-1\right)\end{aligned}\] Esta forma para la energía cinética relativista del objeto no es en absoluto similar a la forma que obtuvimos en la física clásica. A medida que la velocidad del objeto se acerca a la velocidad de la luz, el\(\gamma\) factor se acerca al infinito, al igual que la energía cinética. Así, se necesitaría una cantidad infinita de trabajo para acelerar un objeto a la velocidad de la luz, y nuevamente, vemos que es imposible que cualquier cosa con masa alcance alguna vez la velocidad de la luz. La fórmula anterior, sin embargo, siempre debe ser correcta, incluso en el límite no relativista, cuándo\(v<<c\). Podemos aproximar el factor gamma usando la expansión binomial para el caso donde\(x<<1\):\[\begin{aligned} (1+x)^n\sim 1 + nx +\dots \end{aligned}\] Así que, cuando\(v<<c\) (y\(v^2/c^2<<1\)), el factor gamma se aproxima por:\[\begin{aligned} \gamma=\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\sim 1+\frac{1}{2}\frac{u^2}{c^2}\end{aligned}\] En este límite, la energía cinética relativista se reduce a: \[\begin{aligned} \lim_{v<<c}K=\lim_{v<<c}m_0c^2(\gamma -1)\sim m_0c^2\left(1+\frac{1}{2}\frac{u^2}{c^2} - 1 \right)=\frac{1}{2}mu^2\end{aligned}\]que es la definición clásica de energía cinética. La energía cinética también es cero cuando la velocidad es cero.

La energía cinética tiene dos términos en ella:\[\begin{aligned} K=m_0c^2\gamma -m_0c^2\end{aligned}\] El primer término aumenta con la velocidad y se comporta como cabría esperar. El segundo término es constante, y depende únicamente de la masa de descanso del objeto (a este término lo llamamos energía de masa de reposo). Podemos pensar en esto en términos ligeramente diferentes. Definamos la energía total,\(E\), del objeto como:

\[\begin{aligned} E=m_{0}c^{2}\gamma \end{aligned}\]

\[\therefore E=K+m_{0}c^{2}\]

para que la energía total sea solo la energía de masa de descanso más la energía cinética. Esto resalta un aspecto clave de la Relatividad Especial. Un objeto tendrá energía\(E\), incluso cuando esté en reposo. Esa energía, en reposo, se llama energía de masa de reposo, y corresponde a la energía que tiene un objeto en virtud de tener masa. Esta es, por supuesto, la famosa ecuación de Einstein:

\[E=m_{0}c^{2}\quad\text{(rest mass energy)}\]

Esta ecuación implica que la masa puede ser considerada como una forma de energía. Los reactores nucleares funcionan convirtiendo una pequeña cantidad de masa de átomos de uranio en energía (en forma de calor), que luego se usa para producir vapor a alta presión para hacer girar una turbina.

La relación de Einstein se utiliza a menudo para expresar la masa de partículas subatómicas en términos de energía. Por ejemplo, un electrón tiene una masa de\(511\times 10^{3}\text{eV/c}^{2}\) en estas unidades.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Cuál es la masa de un protón,\(m_p=1.67\times 10^{-27}\text{kg}\), in units of \(\text{MeV/c}^{2}\) (where the \(\text{M}\) stands for “Mega”, and corresponds to \(1\text{MeV}=1\times 10^{6}\text{eV}\))?

Solución:

Primero podemos calcular la energía de masa de reposo del protón en julios: Luego\[\begin{aligned} E=m_pc^2=(1.67\times 10^{-27}\text{kg})(3\times 10^{8}\text{m/s})^2=1.503\times 10^{-10}\text{J}\end{aligned}\] podemos convertir de julios a electrón-voltios:\[\begin{aligned} \frac{(1.503\times 10^{-10}\text{J})}{(1.6\times 10^{-19}\text{J/eV})}=939.4\times 10^{6}\text{eV}=939.4\text{MeV}\end{aligned}\] La masa del protón puede entonces expresarse como\(m_p=939.4\text{MeV/c}^{2}\).

Finalmente, es interesante examinar la relación entre el impulso y la energía de un objeto relativista. Considera la cantidad\(c^2p^2\):\[\begin{aligned} c^2p^2 &= c^2(\gamma m_0 u)^2=c^2\gamma^2m_0^2u^2=c^4\gamma^2m_0^2\frac{u^2}{c^2}=c^4\gamma^2m_0^2\left(1- \frac{1}{\gamma^2}\right)\\ &=c^4\gamma^2m_0^2 - c^4m_0^2\\ &=E^2-c^4m_0^2\end{aligned}\] donde reconocimos que\(c^4\gamma^2m_0^2\) es simplemente la energía\(E\),, cuadrada. Esto generalmente se llama la relación “energía-impulso” y se escribe:

\[E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\]

Una consecuencia interesante de esta relación es que las partículas sin masa seguirán teniendo un impulso. Por ejemplo, el fotón, que es una partícula de luz y por lo tanto debe tener una masa de cero (o no podría moverse a la velocidad de la luz), tendrá un impulso dado por:\[\begin{aligned} p=\frac{E}{c}\end{aligned}\] Así, uno puede usar la luz para impartir impulso a algo. Es así como opera una vela solar, un mecanismo de propulsión propuesto para viajes espaciales.