2.1: Las leyes del movimiento de Newton

Como se describe en el Capítulo 1, la mecánica clásica se basa en un conjunto de axiomas, que a su vez se basan en observaciones físicas (repetidas). Para formular los tres primeros axiomas, primero tendremos que definir tres cantidades: la velocidad (instantánea), la aceleración y el impulso de una partícula. Si denotamos la posición de una partícula como x (t) - indicando una cantidad de vector ¹ con la dimensión de longitud que depende del tiempo, definimos su velocidad como la derivada de tiempo de la posición:

\[v(t)={\dot x (t)}={{d x(t)} \over dt}\]

Tenga en cuenta que usamos un overdot para indicar una derivada de tiempo, usaremos esta convención a lo largo de estas notas. La aceleración es la derivada temporal de la velocidad y, por lo tanto, la segunda derivada de la posición:

\[a(t)={\ddot x (t)}={{d v(t)} \over dt}={{d^2 x(t)} \over dt^2}\]

Finalmente, el momento de una partícula es su masa multiplicada por su velocidad:

\[p(t)={m v(t)}={m \dot x (t)}\]

Ya estamos listos para dar nuestros próximos tres axiomas. Es posible que los hayas encontrado antes; se les conoce como las tres leyes de movimiento de Newton.

Axioma 1 (primera ley de movimiento de Newton). Mientras no haya acción externa, la velocidad de una partícula permanecerá constante. Obsérvese que la primera ley incluye partículas en reposo, es decir,\(v=0\). Vamos a definir la 'acción externa' general como una fuerza, por lo tanto una fuerza es ahora cualquier cosa que pueda cambiar la velocidad de una partícula. La segunda ley cuantifica la fuerza.

Axioma 2 (segunda ley del movimiento de Newton). Si hay una fuerza neta que actúa sobre una partícula, entonces su cambio instantáneo en el momento debido a esa fuerza es igual a esa fuerza:

\[F(t)={dp(t) \over dt} \label{2.1.4}\]

Ahora desde\(p=mv\) y\(a={dv \over dt}\), si la masa es constante también podemos escribir la Ecuación\ ref {2.1.4} como\(F=ma\), o

\[F(t)=m \ddot x(t)\]

que es la forma en que más usaremos. A partir de la segunda ley, vemos que una fuerza tiene la dimensión física de una masa por una longitud dividida por un tiempo al cuadrado -ya que esto es bastante para poner cada vez, definimos la dimensión de la fuerza como tal:\(F=MLT^{-2}\). De igual manera, definimos una unidad, el Newton (N), como kilogramo por metro por segundo cuadrado:\(N={{kg \cdot m} \over s^2}\). Por lo tanto, en principio la segunda ley del movimiento de Newton también se puede utilizar para medir fuerzas, aunque a menudo la usaremos al revés, y calcularemos los cambios en el impulso debido a una fuerza conocida.

Observe cómo la primera ley de Newton se desprende de la segunda: si la fuerza es cero, no hay cambio en el momento, y por lo tanto (asumiendo masa constante) una velocidad constante. Obsérvese también que aunque la segunda ley nos da una cuantificación de la fuerza, por sí misma no nos ayudará a lograr mucho, ya que en la actualidad no tenemos idea de cuál es la fuerza (aunque probablemente tengas algunas ideas intuitivas por experiencia) -para eso usaremos las leyes de fuerza de la siguiente sección. Antes de ir allí, hay otra observación importante sobre la naturaleza de las fuerzas en general.

Axioma 3 (tercera ley del movimiento de Newton). Si un cuerpo ejerce una fuerza _F1 sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce una fuerza igual pero opuesta _F2, sobre el primero, es decir, las fuerzas son iguales en magnitud pero opuestas en dirección:

\[F_1 = -F_2\]

Isaac Newton

Isaac Newton (1642-1727) fue un físico, astrónomo y matemático británico, que es ampliamente considerado como uno de los científicos más importantes de la historia. Newton fue profesor en Cambridge desde 1667 hasta 1702, donde ocupó la famosa cátedra Lucasiana en matemáticas. Newton inventó el cálculo infinitesimal para poder expresar las leyes de la mecánica que ahora llevan su nombre en forma matemática. También dio una descripción matemática de la gravedad (Ecuación 2.2.3), de la cual pudo derivar las leyes del movimiento planetario de Kepler (Sección 6.4). Además de su trabajo en mecánica, Newton hizo contribuciones clave a la óptica e inventó el telescopio de reflexión, que utiliza un espejo en lugar de una lente para recoger luz. Habiéndose retirado de su cargo en Cambridge, Newton pasa la mayor parte de la segunda mitad de su vida en Londres, como director y posteriormente maestro de la Casa de la Moneda Real, y presidente de la sociedad real.

Figura\(\PageIndex{1}\): Retrato de Isaac Newton de Godfrey Kneller (1689) [2].

¹ Apéndice A.1 enumera algunas propiedades básicas de vectores que pueden resultarle útiles.