2.2: Leyes de Fuerza
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La segunda ley del movimiento de Newton nos dice lo que hace una fuerza: provoca un cambio en el impulso de cualquier partícula sobre la que actúa. No nos dice de dónde viene la fuerza, ni le importa -lo cual es un rasgo muy útil, ya que significa que la ley se aplica a todas las fuerzas-. No obstante, por supuesto que necesitamos saber qué sofocar para la fuerza, así que necesitamos alguna regla para determinarla de manera independiente. Aquí es donde entran las leyes de fuerza.
Springs: Ley de Hooke
Un ejemplo muy familiar de una fuerza es la fuerza de resorte: necesitas ejercer una fuerza sobre algo para comprimirlo, y (de acuerdo con la tercera ley de Newton), si presionas algo sentirás que te empuja hacia atrás. El objeto más simple posible que puedes comprimir es un resorte ideal, para lo cual la fuerza necesaria para comprimirlo escala linealmente con la compresión misma. Esta relación se conoce como ley de Hooke:
\[\boldsymbol{F}_{s}=-k \boldsymbol{x}\]
donde x es ahora el desplazamiento (desde el reposo) y\(k\) es la constante de resorte, medida en newtons por metro.El valor de\(k\) depende del resorte en cuestión - muelles más rígidos que tienen constantes de resorte más altas.
La ley de Hooke nos da otra forma de medir fuerzas. Ya hemos definido la unidad de fuerza usando la segunda ley de movimiento de Newton, y podemos usarla para calibrar un resorte, es decir, determinar su constante de resorte, determinando el desplazamiento debido a una fuerza conocida. Una vez que tenemos\(k\), podemos simplemente medir las fuerzas midiendo los desplazamientos; esto es exactamente lo que hace una escala de resorte.
Robert Hooke
Robert Hooke (1635-1703) fue un científico natural y arquitecto británico. Descubrió la ley de fuerza que lleva su nombre en 1660, que publicó primero como anagrama: 'ceiiinosssttuv', por lo que pudo reclamar el descubrimiento sin revelarlo realmente (una práctica bastante común en su momento); solo proporcionó la solución en 1678: 'ut tensio, sic vis' ('como la extensión, así la fuerza'). Hooke hizo muchas contribuciones al desarrollo de microscopios, utilizándolos para revelar la estructura de las plantas, acuñando la palabra célula para sus unidades básicas. Hooke fue curador de experimentos de la Royal Society de Inglaterra durante más de 40 años, combinando esta posición con una cátedra en geometría y el trabajo de topógrafo de la ciudad de Londres después del gran incendio de 1666. En esta última posición obtuvo una fuerte reputación por un arduo trabajo y una gran honestidad. Al mismo tiempo, frecuentemente estuvo en desacuerdo con sus contemporáneos Isaac Newton y Christiaan Huygens; no es poco probable que desarrollaran independientemente nociones similares sobre, entre otras, sobre la ley de la gravedad del cuadrado inverso.
Gravedad: Ley de la Gravedad de Newton
Un segundo ejemplo y probablemente aún más familiar es la fuerza debida a la gravedad, a escala local, es decir, a su alrededor, en la aproximación de que la Tierra es plana. Cualquier cosa que tenga masa atrae a todo lo demás que tiene masa, y como la Tierra es muy masiva, atrae a todos los objetos del espacio que te rodea, incluyéndote a ti mismo. Como la fuerza de la gravedad es débil, no sentirás el tirón de tu libro, pero como la Tierra es tan masiva, sí sientes su tirón. Por lo tanto, si dejas ir algo, se acelerará hacia la Tierra debido a su fuerza gravitacional atrayente. Como lo demostró Galilei (y algunos tipos en trajes espaciales sobre una roca que llamamos la luna 2), la aceleración de cualquier objeto debido a la fuerza de la gravedad es la misma, y así la fuerza ejercida por la Tierra sobre cualquier objeto es igual a la masa de ese objeto multiplicada por esta aceleración, a la que llamamos\(g\):
\[\boldsymbol{F}_{g}=m \boldsymbol{g} \label{fg}\]
Debido a que la masa de la Tierra no está exactamente distribuida uniformemente, la magnitud de\(g\) varía ligeramente de un lugar a otro, sino a una buena aproximación igual\(9.81 {m \over s^2}\). Siempre apunta hacia abajo.
Aunque la Ecuación\ ref {fg} para la gravedad local es útil, su rango de aplicación se limita a los objetos cotidianos a altitudes cotidianas -digamos hasta un par de miles de kilogramos y un par de kilómetros por encima de la superficie de la Tierra, que es pequeña en comparación con la masa y el radio de la Tierra. Para distancias más grandes y cuerpos con mayor masa -digamos los sistemas Tierra-Luna, o Tierra-Sol- necesitamos algo más, a saber, la ley de gravitación de Newton entre dos cuerpos con masas\(m_1\) y\(m_2\) y una distancia r separados:
\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{G}}=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{r}} \label{lawg}\]
donde\(\hat r\) está el vector unitario apuntando a lo largo de la línea que conecta las dos masas, y la constante de proporcionalidad\(G={6.67 \cdot 10^{-11} {N \cdot m^2 \over kg^2}}\) se conoce como la constante gravitacional (o constante de Newton). El signo menos indica que la fuerza es atractiva. La ecuación\ ref {lawg} te permite calcular realmente la atracción gravitacional que tu libro ejerce sobre ti, y entender por qué no lo sientes. También te permite calcular el valor de g - simplemente rellenar la masa y el radio de la Tierra. Si deseas conocer el valor de g en cualquier otro cuerpo celeste, puedes poner en sus datos, y compararlos con la Tierra. Encontrarás que 'pesarías' 3 veces menos en Marte y 6 veces menos en la Luna. La mayoría de las veces podemos asumir con seguridad que la Tierra es plana y usar la Ecuación\ ref {fg}, pero en particular para la mecánica celeste y al considerar satélites necesitaremos usar la Ecuación\ ref {lawg}.
Galileo Galilei
Galileo Galilei (1564-1642) fue un físico y astrónomo italiano, que es ampliamente considerado como una de las figuras fundadoras de la ciencia moderna. A diferencia de los filósofos clásicos, Galilei defendió el uso de experimentos y observaciones para validar (o desmentir) las teorías científicas, una práctica que es la piedra angular del método científico. Fue pionero en el uso del telescopio (recién inventado en su momento) para observaciones astronómicas, lo que llevó a su descubrimiento de montañas en la luna y las cuatro lunas más grandes de Júpiter (ahora conocidas como lunas de Galilea en su honor). En el lado teórico, Galilei argumentó que el argumento de Aristóteles de que los objetos pesados caen más rápido que los ligeros es incorrecto, y que la aceleración por gravedad es igual para todos los objetos (Ecuación\ ref {fg}). Galilei también abogó enérgicamente por la cosmovisión heliocéntrica introducida por Copérnico en 1543, a diferencia de la visión geocéntrica ampliamente sostenida. Desafortunadamente, la Inquisición pensó lo contrario, lo que llevó a su condena por herejía con una sentencia de arresto domiciliario de por vida en 1633, posición que solo fue retractada por la iglesia en 1995.
Electrostática: Ley de Coulomb
Al igual que dos masas interactúan debido a la fuerza gravitacional, dos objetos cargados interactúan a través de la fuerza de Coulomb. Debido a que la carga tiene dos posibles signos, la fuerza de Coulomb puede ser atractiva (entre cargas opuestas) y repulsiva (entre cargas idénticas). Su forma matemática se parece mucho a la de la ley de la gravedad de Newton:
\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{C}}=k_{e} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{r}} \label{coulomb}\]
donde\(q_{1}\) y\(q_{2}\) son las magnitudes firmadas de las cargas,\(r\) vuelve a ser la distancia entre ellas, y\(k_{e}=8.99 \cdot 10^9 {{N \cdot m^2} \over C^2}\) es la constante de Coulomb. Para las escalas de longitud y fuerza diarias, la fuerza de Coulomb es mucho mayor que la fuerza de la gravedad.
Carlos Agustín de Coulomb
Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) fue un físico e ingeniero militar francés. Durante la mayor parte de su vida laboral, Coulomb sirvió en el ejército francés, para lo cual supervisó muchos proyectos de construcción. Como parte de este trabajo, Coulomb investigó, primero en mecánica (conduciendo a su ley de fricción cinética, Ecuación\ ref {fricción}), y más tarde en electricidad y magnetismo, para lo cual descubrió que la fuerza entre las cargas (y las que se encuentran entre los polos magnéticos) cae cuadráticamente con su distancia (Ecuación\ ref {culomb}). Cerca del final de su vida, Coulomb participó en la puesta en marcha del sistema SI de unidades.
Fricción y arrastre
¿Por qué se necesitó el genio de Galilei y Newton para descubrir la primera ley de movimiento de Newton? Porque la experiencia cotidiana parece contradecirlo: si no ejerces una fuerza, no seguirás moviéndote, sino que poco a poco disminuirás la velocidad. Sabes por supuesto por qué es esto: hay arrastre y fricción actuando sobre un cuerpo en movimiento, por lo que es mucho más fácil (aunque no necesariamente más práctico) para un automóvil seguir moviéndose sobre hielo que en una carretera asfaltada normal (menos fricción sobre hielo), y por qué caminar por el agua es mucho más difícil que caminar por el aire (más arrastre en el agua). El medio en el que te mueves puede ejercer una fuerza de arrastre sobre ti, y la superficie sobre la que te mueves ejerce fuerzas de fricción. Estas por supuesto son las fuerzas encargadas de ralentizarte cuando dejas de ejercer la fuerza tú mismo, por lo que no se aplica la primera ley, ya que hay fuerzas que actúan.
Para velocidades bajas, la fuerza de arrastre típicamente escala linealmente con la velocidad del objeto en movimiento. Las fuerzas de arrastre para los objetos que se mueven a través de un medio (fluido) dependen además de las propiedades del medio (su viscosidad\(\eta\)) y el área de la sección transversal del objeto en movimiento. Para una esfera de radio R que se mueve a velocidad v, la fuerza de arrastre viene dada por la ley de Stokes:
\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{d}}=-6 \pi \eta R \boldsymbol{v} \label{stokes}\]
La versión más general para un objeto de forma arbitraria es\(F_{d}=\zeta v\), donde\(\zeta\) es una constante de proporcionalidad. La ley de Stokes se descompone a altas velocidades, para lo cual la fuerza de arrastre escala cuadráticamente con la velocidad:
\[F_{\mathrm{d}}=\frac{1}{2} \rho c_{\mathrm{d}} A v^{2} \label{drag}\]
donde\(\rho\) es la densidad del fluido, A el área de la sección transversal del objeto,\(v\) su velocidad y\(c_{\mathrm{d}}\) su coeficiente de arrastre adimensional, que depende de las propiedades de forma y superficie del objeto. Los valores típicos para el coeficiente de arrastre son 1.0 para un ciclista, 1.2 para una persona que corre, 0.48 para un Volkswagen Beetle y 0.19 para un automóvil aerodinámico moderno. La dirección de la fuerza de arrastre sigue siendo opuesta a la del movimiento.
Las fuerzas de fricción se deben a que dos superficies se deslizan una junto a la otra. No debería sorprender que la dirección de la fuerza de fricción sea opuesta a la del movimiento, y su magnitud depende de las propiedades de las superficies. Además, la magnitud de la fuerza de fricción también depende de la fuerza con la que se empujan las dos superficies una contra la otra, es decir, de las fuerzas que ejercen una sobre la otra, perpendiculares a la superficie. Estas fuerzas son por supuesto iguales (según la tercera ley de Newton) y se llaman fuerzas normales, porque son normales (es decir, perpendiculares) a la superficie. Si te paras sobre una caja, la gravedad ejerce una fuerza sobre ti tirándote hacia abajo, que 'transfieres' a una fuerza que ejerces en la parte superior de la caja, y provoca una fuerza normal igual pero opuesta ejercida por la parte superior de la caja sobre tus pies. Si la caja está inclinada, la fuerza normal sigue siendo perpendicular a la superficie (permanece normal), pero ya no es igual en magnitud a la fuerza ejercida sobre ti por la gravedad. En cambio, será igual al componente de la fuerza gravitacional a lo largo de la dirección perpendicular a la superficie (ver figura 2.6). Denotamos fuerzas normales como\(F_n\). Ahora, según la ley de fricción de Coulomb (que no debe confundirse con la fuerza de Coulomb entre dos partículas cargadas), la magnitud de la fuerza de fricción entre dos superficies satisface
\[F_{f} \leq \mu F_{n} \label{friction}\]
Aquí\(\mu\) está el coeficiente de fricción, que por supuesto depende de las dos superficies, pero también de la cuestión de si las dos superficies se mueven una con respecto a la otra o no. Si no se mueven, es decir, la configuración es estática, el coeficiente apropiado se denomina coeficiente de fricción estática y se denota por\(\mu_s\) .La magnitud real de la fuerza de fricción será tal que equilibre las otras fuerzas (más sobre eso en la sección 2.4). La ecuación\ ref {fricción} nos dice que esto solo es posible si la magnitud requerida de la fuerza de fricción es menor que\(\mu_s F_n\). Cuando las cosas empiezan a moverse, el coeficiente de fricción estática es reemplazado por el coeficiente de fricción cinética\(\mu_k\), que suele ser menor que\(\mu_s\); también en ese caso la desigualdad en la Ecuación\ ref {fricción} se reemplaza por un signo igual, y tenemos
\[F_{f}=\mu_{k} F_{n}.\]
2 Para ser precisos, el astronauta David Scott de la misión Apolo 15 en 1971, quien dejó caer tanto un martillo como una pluma y los vio caer exactamente al mismo ritmo, como se muestra en esta película de la NASA.