4.4: Ciencia de cohetes

Si bien diseñar un cohete que siga una trayectoria deseada (digamos a Ceres, Plutón o Planeta Nueve) con gran precisión es un enorme desafío de ingeniería, el principio básico detrás de la propulsión del cohete es notablemente simple. Esencialmente se reduce a la conservación del impulso, o, de manera equivalente, a la observación de que la velocidad del centro de masa de un sistema no cambia si no hay fuerzas externas que actúen sobre el sistema. Para entender cómo funciona un cohete, imagina ¹ el siguiente experimento: te sientas en un carro inicialmente estacionario con una gran cantidad de bolitas pequeñas. Luego recoges las bolas una por una, y las lanzas todas en la misma dirección con la misma velocidad (preferiblemente alta) (relativa a ti mismo y por lo tanto al carro). Lo que va a pasar es que tú, el carro, y las bolas restantes recojan velocidad lentamente, en dirección opuesta a la que estás lanzando las bolas. Esto es exactamente lo que hace un motor de cohete: expulsa partículas pequeñas (moléculas, en realidad) a altas velocidades, ganando una pequeña velocidad por sí mismo en la dirección opuesta. Tenga en cuenta que esto es completamente diferente de la mayoría de los otros motores, que impulsan la rotación de las ruedas (que dependen de la fricción para trabajar) o hélices (que dependen del arrastre para trabajar).

Ecuación de cohete

Para entender lo que sucede en nuestro experimento de pensamiento, primero consideremos la primera pelota que lanzas. Llamemos a la masa de ti mismo más el carro M, la masa total de las bolas m, y la masa (pequeña) de una sola bola dm. Si trozas la pelota con una velocidad u (con respecto a ti mismo), podemos calcular tu velocidad resultante de dos maneras:

1. El centro de masa debe permanecer estacionario. Pongámosxcm∆0. Antes del lanzamiento, entonces tenemos\(x_{\text { ball }} \mathrm{d} m+ x_{\mathrm{car}}(M+m)=0\), mientras que después del lanzamiento tenemos\(-u t \mathrm{d} m+v_{\mathrm{car}} t(M+m)=0, \text { or } v_{\mathrm{car}}=\frac{-u \mathrm{d} m}{(M+m)}\).
2. Se debe conservar el ímpetu total. Antes del lanzamiento, el impulso total es cero, ya que nada se mueve. Después del lanzamiento, obtenemos:\(p_{\text { ball }}+p_{\text { car }}=-u \mathrm{d} m+\nu_{\text { car }}(M+m)\). Equiparar esto a cero otra vez da\(v_{\mathrm{car}}=\frac{-u \mathrm{d} m}{(M+m)}\).

Ahora para la segunda, tercera, etc. pelota, la situación se complica más, ya que el auto (incluyendo la pelota que está a punto de lanzarse) ya se está moviendo. Naturalmente, el centro de masa del auto más todas las bolas permanece fijo, al igual que el impulso total del auto más todas las bolas. No obstante, para calcular cuánta velocidad extra recoge el auto de la ^bola n, es más fácil no considerar las bolas ya lanzadas. En cambio, consideramos un auto (incluyendo las bolas restantes) que ya se mueve a velocidad v, y así tiene impulso total (M≈m) v.Lanzar la siguiente pelota reducirá la masa del auto más bolas en dm, y aumentará su velocidad en dv.Conservación del impulso luego da:

\[(M+m) v=(M+m-\mathrm{d} m)(\nu+\mathrm{d} v)+(v-u) \mathrm{d} m=(M+m) v+(M+m) \mathrm{d} v-u \mathrm{d} m \label{ballthrow}\]

donde bajamos el término de segundo orden dmdv. La ecuación (\ ref {ballthrow}) se puede reescribir en

\[(M+m) \mathrm{d} v=u \mathrm{d} m \label{simple}\]

Tenga en cuenta que aquí tanto u (la velocidad de cada bola lanzada) como M (la masa de ti mismo más el auto, o el proyectil de un cohete) son constantes, mientras que m cambia, terminando en cero cuando has lanzado todas tus bolas. Para encontrar la velocidad de nuestro coche, podemos integrar Ecuación (\ ref {simple}), pero hay un punto importante, y bastante sutil, a considerar. El lado izquierdo de la Ecuación (\ ref {simple}) se aplica al carro, pero el lado derecho a la pelota lanzada, con una masa (positiva) dm. La masa m de las bolas que quedan en el carro, sin embargo, ha disminuido en dm, por lo que si deseamos conocer la velocidad final del carro, necesitamos incluir un signo menos en el lado derecho de la Ecuación (\ ref {simple}). Dividiendo por M+m e integrando, luego obtenemos:

\[\Delta v=v_{\mathrm{f}}-v_{0}=u \log \left(\frac{M+m_{0}}{M}\right) \label{tsiolkovsky}\]

donde\(v_f\) está la velocidad final del carro, y\(m_0\) la masa total inicial de todas las bolas. La ecuación (\ ref {tsiolkovsky}) se conoce como la ecuación ² del cohete Tsiolkovsky.

Konstantin Eduardovich Tsiolkovski

Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky (1857-1935) fue un científico ruso de cohetes, considerado uno de los pioneros de la cosmonáutica.Autodidacta, Tsiolkovsky se interesó por los vuelos espaciales tanto a través del filósofo 'cósmico 'Nikolai Fiódorov como en la ciencia ficción autor Julio Verne y consideró la construcción de un elevador espacial inspirado en la entonces recién construida torre Eiffel en París. Trabajando como maestro, dedicó gran parte de su tiempo libre a la investigación, desarrollando la ecuación de cohetes que lleva su nombre (Ecuación\ ref {tsiolkovsky}) así como desarrollando diseños para cohetes, incluidos los de varias etapas. Tsiolkovsky también trabajó en el diseño de aviones y aeronaves (dirigibles), pero no obtuvo el apoyo de las autoridades para desarrollarlos más. Sin embargo, siguió trabajando en cohetes, mientras que también continuaba como profesor de matemáticas. Solo tarde en la vida recibió reconocimiento por su trabajo en casa (entonces la Unión Soviética), pero sus ideas continuarían influyendo en otros pioneros de cohetes tanto en los programas espaciales soviéticos como estadounidenses.

Figura\(\PageIndex{1}\): Konstantin Tsiolkovsky [14].

Cohetes multietapa

Debido al factor logarítmico en la ecuación del cohete Tsiolkovsky, los cohetes necesitan mucho combustible en comparación con la masa del objeto que pretenden entregar (la carga útil, digamos una sonda, o una cápsula con astronautas). Aun así, la efectividad de los cohetes es limitada. Una relación combustible a carga útil de 9:1 (ya bastante alta) y una velocidad inicial de cero da una velocidad final\(v_{\mathrm{f}}=u \log (10) \simeq 2.3 u\), y aumentar la relación a 99:1 solo duplica este resultado:\(v_{\mathrm{f}}=u \log (100) \simeq 4.6 u\). Para sortear estas limitaciones y dar a los cohetes (o más bien a sus cargas útiles) la velocidad necesaria para salir de la Tierra, o incluso del sistema solar, los cohetes se construyen con múltiples etapas, esencialmente una serie de cohetes apilados uno sobre otro. Si todas estas etapas tienen la misma relación combustible a carga útil y velocidad de escape, la velocidad final de la carga útil simplemente es la de una sola etapa multiplicada por el número de etapas n:\(v_{\mathrm{f}}=n u \log \left(1+\frac{m_{0}}{M}\right) \). Para ver esto, considere que las etapas restantes son la carga útil de la etapa actual. Tener múltiples etapas permite así que los cohetes capten velocidad de manera más eficiente, esencialmente al arrojar una parte de la 'carga útil' (carcasa de una etapa vacía). Por ejemplo, el cohete Saturno V que se utilizó para enviar a los astronautas Apolo a la luna tenía tres etapas, además de un pequeño motor de cohete en la propia cápsula (utilizado para romper la órbita lunar y enviar a los astronautas de regreso a la Tierra), ver Figura 4.4.2.

Figura\(\PageIndex{2}\): Cohetes y naves espaciales afines que llevaron a la gente a la luna a finales de los sesenta y principios de los 70 [15]. a) Vista aérea de un cohete Saturno V en su plataforma de lanzamiento. Este cohete lleva el Apolo 15, la cuarta misión para llegar a la luna. Las tres etapas del cohete están separadas por anillos alrededor del motor de la siguiente etapa. La altura total del cohete en el lanzamiento era de 110.6 m; tenía una masa total de 2.97millones de kg, y podría llevar una carga útil de 140000 kg a órbita terrestre baja o una carga útil de 48600 kg a la luna. (b) Vista desde la torre de lanzamiento del Saturno V que lleva al Apolo 11 (la famosa primera misión a la luna en 1969) en el momento del encendido. El pequeño cohete en la parte superior iba a ser utilizado para una fuga de emergencia del módulo tripulado inmediatamente debajo si algo salía mal en el lanzamiento. El 'módulo de orden' tripulado es la pequeña estructura cónica; la estructura cilíndrica directamente debajo de ella contenía su motor, y la parte cónica debajo que contenía el módulo de aterrizaje lunar (figura d). (c) Tercera etapa desechada del cohete Saturno V que transportaba la misión Apolo 17 (la sexta y última (!) para hacerloa la luna en 1972). El espacio vacío en la parte delantera contenía el módulo de módulo de aterrizaje lunar en el lanzamiento. d) Lander lunar de la misión Apolo 11 de 1969, fotografiado desde el módulo de mando tras la separación. Este módulo contenía dos cohetes: uno para ralentizar el descenso a la luna en la parte inferior, y otro para regresar a la órbita lunar con solo la parte superior. La parte inferior del módulo de aterrizaje permanece en la luna y fue fotografiada allí en 2012 por el Lunar Reconnaisance Orbiter, una nave espacial no tripulada en órbita lunar.

Impulso

Cuando estás chocando con algo, hay dos factores que determinan cuánto cambia tu impulso: la cantidad de fuerza que actúa sobre ti, y el tiempo en que la fuerza está actuando. El producto es conocido como el impulso, que por la segunda ley de Newton iguala el cambio de impulso:

\[J=\Delta p=\int F(t) \mathrm{d} t\]

El impulso específico, definido como\(I_{sp}=\frac{J}{m_{propellant}}\), o el impulso por unidad de masa de combustible, es una medida de la eficiencia de los motores a reacción y cohetes.

¹ O llevar a cabo, como le plazca.

² Aunque Tsiolkovsky ciertamente merece crédito por su trabajo pionero, y probablemente derivó la ecuación de manera independiente, no fue el primero en hacerlo. Tanto el matemático británico William Moore en 1813 como el ministro y matemático escocés William Leitch en 1861 le precedieron.