5.1: Conceptos básicos de rotación

Hasta ahora, hemos estado viendo el movimiento que se describe fácilmente en coordenadas cartesianas, a menudo moviéndose a lo largo de líneas rectas. Ese tipo de movimiento ocurre mucho, pero también hay una segunda clase común: el movimiento rotacional. No sorprenderá que para describir el movimiento rotacional, las coordenadas polares (o sus contrapartes 3D las coordenadas cilíndricas y esféricas) sean mucho más prácticas que las cartesianas ¹. Por ejemplo, si consideramos el caso de un disco que gira con una velocidad uniforme alrededor de su centro, la forma más fácil de hacerlo es especificar sobre cuántos grados (o radianes) avanza un punto en el límite por segundo. Compare esto con el movimiento lineal, que se especifica por cuántos metros avanza en la dirección lineal por segundo, que es la velocidad (con dimensión L/T). ¡El cambio del ángulo por segundo te da la velocidad angular! , donde se toma una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj para estar en la dirección positiva. La velocidad angular tiene dimensión 1/T, por lo que es una frecuencia. Se mide en grados por segundo o radianes por segundo. Si el ángulo en un punto en el tiempo se denota por\(\theta (t)\), entonces obviamente\(\omega = \dot \theta\), al igual que\(v = \dot x\) en el movimiento lineal.

En tres dimensiones,\(\omega\) se convierte en un vector, donde la magnitud sigue siendo la velocidad de rotación, y la dirección te da la dirección de la rotación, por medio de una regla de la derecha: ¡la rotación está en el plano perpendicular al! , y en la dirección los dedos de tu mano derecha apuntan si tu pulgar apunta a lo largo\(\omega\) (esto da\(\omega\) en la\(\hat z\) dirección positiva para el movimiento de rotación en el plano xy) .Volviendo a 2D por el momento, llamemos a la posición angular\(\theta (t)\), luego

\[\omega=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\dot{\theta}\]

Si queremos conocer la posición en coordenadas cartesianas, simplemente podemos usar la conversión normal de coordenadas polares a cartesianas, y escribir

\[\boldsymbol{r}(t)=r \cos (\omega t) \hat{\boldsymbol{x}}+r \sin (\omega t) \hat{\boldsymbol{y}}=r \hat{\boldsymbol{r}} \label{r}\]

donde\(r\) está la distancia al origen. Tenga en cuenta que\(r\) apunta en la dirección del vector de unidad polar\(\hat r\). La ecuación\ ref {r} nos da una interpretación de\(\omega\) como una frecuencia: si consideramos un objeto sometido a rotación uniforme (es decir, radio constante y velocidad constante), en sus direcciones x e y oscila con la frecuencia\(\omega\). Mientras nuestro movimiento permanezca puramente rotacional, la distancia radial r no cambia, y podemos encontrar la velocidad lineal tomando el tiempo derivado de\ ref {r}:

\[\boldsymbol{v}(t)=\dot{\boldsymbol{r}}(t)=-\omega r \sin (\omega t) \hat{x}+\omega r \cos (\omega t) \hat{y}=\omega r \hat{\boldsymbol{\theta}}\]

así que en particular tenemos\(v=\omega r\). Tenga en cuenta que tanto v como\(\omega\) denotan velocidades instantáneas, y la Ecuación\ ref {r} solo se mantiene cuando\(\omega\) es constante. Sin embargo, la relación\(v=\omega r\) siempre se mantiene. Para ver que esto es cierto, expresar\(\theta\) en radianes,\(\theta=\frac{s}{r}\), donde s es la distancia recorrida a lo largo de la dirección de rotación. Entonces

\[\omega=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{r} \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}=\frac{v}{r}\]

En tres dimensiones, encontramos

\[v=\omega \times r\]

donde r apunta desde el eje de rotación hasta el punto de rotación.

A diferencia del movimiento lineal, en el movimiento rotacional siempre hay aceleración, aunque la velocidad rotacional\(\omega\) sea constante. Esta aceleración se origina en el hecho de que la dirección de la velocidad (lineal) siempre cambia a medida que los puntos giran alrededor del centro, aunque su magnitud, la velocidad lineal neta, es constante. En ese caso especial, tomar otra derivada nos da la aceleración lineal, que apunta hacia el centro de rotación:

\[\boldsymbol{a}(t)=\ddot{\boldsymbol{r}}(t)=-\omega^{2} r \cos (\omega t) \hat{x}+\omega^{2} r \sin (\omega t) \hat{y}=-\omega^{2} r \hat{\boldsymbol{r}} \label{linaccl}\]

En la Sección 5.2 a continuación utilizaremos la Ecuación\ ref {linaccl} en combinación con la segunda ley de movimiento de Newton para calcular la fuerza centrípeta neta requerida para mantener la rotación a una velocidad constante. Por supuesto, la velocidad angular no\(\omega\) necesita ser constante en absoluto. Si no lo es, podemos definir una aceleración angular tomando su derivada de tiempo:

\[\alpha=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=\ddot{\theta}\]

o en tres dimensiones, donde\(\omega\) es un vector:

\[\boldsymbol{\alpha}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d} t}\]

Tenga en cuenta que cuando\(\boldsymbol{\alpha}\) es paralelo a\(\boldsymbol{\omega}\), simplemente representa un cambio en la velocidad de rotación (es decir, una aceleración/desaceleración de la rotación), pero cuando no lo es, también representa un cambio del plano de rotación. Tanto en dos como en tres dimensiones, un cambio en la velocidad de rotación provoca que la aceleración lineal tenga un componente en la dirección tangencial además de la aceleración radial (\ ref {linaccl}). El componente tangencial de la aceleración viene dado por la derivada de la velocidad lineal:

\[\boldsymbol{a}_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t}=r \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d} t}=r \boldsymbol{\alpha}\]

En dos dimensiones,\(\boldsymbol{a}_{\mathrm{t}}\) apunta a lo largo de la\(\pm \hat{\boldsymbol{\theta}}\) dirección.

Naturalmente, hay posibilidades aún más complicadas: el radio del movimiento de rotación también puede cambiar. Veremos ese caso con más detalle en el Capítulo 6, pero primero consideramos las rotaciones 'puras', donde la distancia al eje de rotación es fija.

¹ Si necesita un repaso sobre las coordenadas polares, o no está familiarizado con los vectores de base polar, consulte el apéndice A.2.