5.4: Momento de inercia
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Supongamos que tenemos una masa m al final de una barra sin masa de longitud\(r\), girando alrededor del otro extremo del palo. Si queremos aumentar la velocidad de rotación, necesitamos aplicar una aceleración tangencial a
\[\boldsymbol{a}_{\mathrm{t}}=r \boldsymbol{\alpha} \nonumber\]
para lo cual por la segunda ley de movimiento de Newton necesitamos una fuerza
\[\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}_{\mathrm{t}}=\operatorname{mr} \boldsymbol{\alpha}. \nonumber\]
Esta fuerza a su vez genera un par de magnitud
\[\tau=r \cdot F=m r^{2} \alpha.\]
La última igualdad recuerda a la segunda ley del movimiento de Newton, pero con la fuerza reemplazada por el par, la aceleración por la aceleración angular y la masa por la cantidad\(m r^2\). En analogía con la masa que representa la inercia de un cuerpo sometido a aceleración lineal, identificaremos esta cantidad como la inercia de un cuerpo sometido a aceleración rotacional, que llamaremos el momento de inercia y denotaremos por\(I\):
\[\boldsymbol{\tau}=I \boldsymbol{\alpha} \label{torque}\]
La ecuación\ ref {torque} es el análogo rotacional de la segunda ley de movimiento de Newton. Al extender nuestro ejemplo anterior, podemos encontrar el momento de inercia de una colección arbitraria de partículas de masas\(m_\alpha\) y distancias al eje de rotación\(r_\alpha\) (donde\(\alpha\) recorre todas las partículas), y escribir:
\[I=\sum_{\alpha} m_{\alpha} r_{\alpha}^{2}\]
que al igual que el centro de masa en la Sección 4.1 generaliza fácilmente a objetos continuos como 2
\[I=\int_{V}(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{r}) \rho \mathrm{d} V=\int_{V} \rho r^{2} \mathrm{d} V \label{integral}\]
Tenga en cuenta que importa donde elegimos el eje de rotación. Por ejemplo, el momento de inercia de una varilla de longitud L y masa m alrededor de un eje a través de su centro perpendicular a la varilla es\(\frac{1}{12}mL^2\), mientras que el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular a la varilla pero ubicado en uno de sus extremos es\(\frac{1}{3}mL^2\). Además, los momentos de inercia son diferentes para objetos huecos y sólidos - una esfera hueca de masa m y radio R tiene\(\frac{2}{3}mR^2\) mientras que una esfera sólida tiene\(\frac{2}{5}mR^2\), y para cilindros huecos y sólidos (o aros y discos) alrededor del eje largo a través del centro encontramos\(mR^2\) y\(\frac{1}{4}mR^2\) respectivamente. Estos y algunos otros ejemplos se enumeran en la Tabla 5.1. A continuación relacionaremos el momento de inercia con la energía cinética de un objeto móvil y rodante, pero primero presentamos dos teoremas prácticos que ayudarán a calcularlos.
| Objeto | Eje de Rotación | Momento de inercia |
|---|---|---|
| Stick | Centro, perpendicular al palo | \(\frac{1}{12} ML^2\) |
| Stick | Extremo, perpendicular al palo | \(\frac{1}{3} ML^2\) |
| Cilindro hueco | Centro, paralelo al eje | \(MR^2\) |
| Cilindro, sólido | Centro, paralelo al eje | \(\frac{1}{2} MR^2\) |
| Esfera hueca | Cualquier eje a través del centro | \(\frac{2}{3} MR^2\) |
| Esfera, sólida | Cualquier eje a través del centro | \(\frac{2}{5} MR^2\) |
| Objeto plano, tamaño\(a \times b\) | Eje a través del centro, en plano, paralelo a lado con longitud a | \(\frac{1}{12} Mb^2\) |
| Objeto plano, tamaño\(a \times b\) | Eje a través del centro, perpendicular al plano | \(\frac{1}{12} M(a^2+b^2)\) |
Teorema 5.1: Teorema de ejes paralelos
Si el momento de inercia de un cuerpo rígido alrededor de un eje a través de su centro de masa viene dado por\(I_cm\), entonces el momento de inercia alrededor de un eje paralelo al eje original y separado de él por una distancia d viene dado por
\[I=I_{\mathrm{cm}}+m d^{2} \label{result}\]
donde m es la masa del objeto.
Prueba
Elija coordenadas de tal manera que el centro de masa esté en el origen, y el eje original coincida con el\(\hat{z}\) eje. Denotar la posición del punto en el plano xy a través del cual el nuevo eje pasa por d, y la distancia desde ese punto para cualquier otro punto en el espacio por\(r_d\), tal que\(r = d + r_d\). Ahora calcula el momento de inercia alrededor del nuevo eje a través de d:
\[\begin{align} I &=\int_{V}\left(\boldsymbol{r}_{d} \cdot \boldsymbol{r}_{d}\right) \rho \mathrm{d} V \\ &=\int_{V}(\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}+\mathbf{d} \cdot \mathbf{d}-2 \mathbf{d} \cdot \mathbf{r}) \rho \mathrm{d} V \\ &=I_{\mathrm{cm}}+m d^{2}-2 \mathbf{d} \cdot \int_{V} \mathbf{r} \rho \mathrm{d} V \label{proof} \end{align} \]
Aquí\(d^2 = \boldsymbol{d}·\boldsymbol{d}\). La última integral en la última línea de\ ref {proof} es igual a la posición del centro de masa, que elegimos para estar en el origen, así el último término se desvanece, y llegamos a\ ref {result}. Obsérvese que las dos primeras líneas del Cuadro 5.1 (momentos de inercia de un palo) satisfacen el teorema del eje perpendicular.
Teorema 5.2: Teorema del eje perpendicular
Si un objeto rígido yace completamente en un plano, y los momentos de inercia alrededor de dos ejes perpendiculares x e y en ese plano son\(I_x\) y\(I_y\), respectivamente, entonces el momento de inercia alrededor del eje z perpendicular al plano y que pasa por el punto de intersección, viene dado por
\[I_{z}=I_{x}+I_{y}\]
Prueba
Simplemente calculamos el momento de inercia alrededor del eje z (donde A es el área del objeto, y\(\sigma\) la masa por unidad de área):
\[I_{z}=\int_{A}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sigma \mathrm{d} A=\int_{A} x^{2} \sigma \mathrm{d} A+\int_{A} y^{2} \sigma \mathrm{d} A=I_{y}+I_{x}\]
Obsérvese que las dos últimas líneas del Cuadro 5.1 (momentos de inercia de un rectángulo plano delgado) satisfacen el teorema del eje paralelo.
2 Al igual que los análogos unidimensionales y bidimensionales del centro de masa de un objeto continuo (4.1.3), existen análogos unidimensionales y bidimensionales de\ ref {integral}, que se obtiene reemplazando\(\rho\) con\(\lambda\) o\(\sigma\) y dV por dx o dA, respectivamente.