5.5: Energía Cinética de Rotación

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Naturalmente, un objeto giratorio tiene energía cinética: sus partes se mueven después de todo (incluso si solo están girando alrededor de un eje fijo). La energía cinética total de rotación es simplemente la suma de las energías cinéticas de todas las partes giratorias, al igual que la energía cinética traslacional total fue la suma de las energías cinéticas individuales de las partículas constituyentes en la Sección 4.5. Usando eso\(v = \omega r\), podemos escribir para una colección discreta de partículas:

\[K_{\mathrm{rot}}=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha} v_{\alpha}^{2}=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha} r_{\alpha}^{2} \omega^{2}=\frac{1}{2} I \omega^{2}\]

por la definición 5.4.2 del momento de inercia I. Análogamente encontramos para un objeto continuo, utilizando 5.4.3:

\[K_{\mathrm{rot}}=\int_{V} \frac{1}{2} v^{2} \rho \mathrm{d} V=\int_{V} \frac{1}{2} \omega^{2} r^{2} \rho \mathrm{d} V=\frac{1}{2} I \omega^{2}\]

así llegamos a la regla general:

\[K_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I \omega^{2}\]

Naturalmente, el teorema trabajo-energía (Ecuación 3.2.3) aún se mantiene, por lo que podemos usarlo para calcular el trabajo necesario para efectuar un cambio en la velocidad de rotación, que mediante la Ecuación 5.4.1 también se puede expresar en términos del par (en 2D):

\[W=\Delta K_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I\left(\omega_{\mathrm{final}}^{2}-\omega_{\mathrm{initial}}^{2}\right) = \int_{\theta_{\mathrm{initial}}}^{\theta_{\mathrm{final}}} \tau \mathrm{d} \theta\]