6.1: Movimiento de proyectiles

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El caso más simple de movimiento bidimensional ocurre cuando una partícula experimenta una fuerza solo en una dirección. El primer ejemplo de este caso es el movimiento de un proyectil en el campo gravitacional de la Tierra (o de cualquier otro planeta) como se describe localmente por la gravedad galileana (Ecuación 2.2.2):\(\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{g}\). Una vez que un proyectil ha sido disparado con cierta velocidad inicial\(\boldsymbol{v}_{0}\), podemos encontrar su trayectoria resolviendo la ecuación de movimiento que se desprende de la segunda ley de Newton:\(m \boldsymbol{g}=m \ddot{\boldsymbol{r}}\). Podemos descomponernos\(\boldsymbol{r}\) y\(\boldsymbol{v}_{0}\) en componentes horizontales (x) y verticales (z); cada uno de ellos tiene su propia ecuación unidimensional de movimiento, que ya resolvimos en la Sección 2.3. El componente horizontal no experimenta fuerza y así ejecuta un simple movimiento lineal con velocidad uniforme\(v_{0} \cos \theta_{0}\), donde\(\theta_{0}=\arccos \left(\boldsymbol{v}_{0} \cdot \hat{\boldsymbol{x}}\right) / v_{0}\) está el ángulo con la horizontal bajo la cual se disparó el proyectil y\(v_{0}=\left|\boldsymbol{v}_{0}\right|\) la velocidad inicial. Asimismo, debido a que la aceleración debida a la gravitación es constante, nuestro proyectil ejecutará un movimiento uniformemente acelerado en dirección vertical con velocidad inicial\(v_{0} \sin \theta_{0}\). Si la posición inicial del proyectil es\(\left(x_{0}, z_{0}\right)\), su movimiento se describe así por:

\[\boldsymbol{r}(t)=\left(\begin{array}{c}{x(t)} \\ {z(t)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x_{0}} \\ {z_{0}}\end{array}\right)+v_{0}\left(\begin{array}{c}{\cos \theta_{0}} \\ {\sin \theta_{0}}\end{array}\right) t-\left(\begin{array}{c}{0} \\ {g}\end{array}\right) \frac{1}{2} t^{2}\]