6.2: Movimiento Planar General en Coordenadas Polares
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Aunque en principio todo movimiento plano puede describirse en coordenadas cartesianas, no siempre son la opción más fácil. Tomemos, por ejemplo, un campo de fuerza central (un campo de fuerza cuya magnitud sólo depende de la distancia al origen, y apunta en la dirección radial), como estudiaremos en la siguiente sección. Para tal campo de fuerza, las coordenadas polares son una opción más natural que las cartesianas. Sin embargo, las coordenadas polares sí llevan algunas sutilezas no presentes en el sistema cartesiano, porque la dirección de los ejes depende de la posición. Por lo tanto, primero derivaremos las expresiones relevantes para el vector de posición, velocidad y aceleración, así como los componentes del vector de fuerza, en coordenadas polares para el caso general.
Como ya sabemos (ver Apéndice A.2), el vector de posición\(\vec{r}=x \hat{\boldsymbol{x}}+y \hat{\boldsymbol{y}}\) tiene una expresión particularmente simple en coordenadas polares:\(\boldsymbol{r}=r \hat{\boldsymbol{r}}\), donde\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Para encontrar los vectores de velocidad y aceleración en coordenadas polares, tomamos tiempo derivadas de\(\boldsymbol{r}\). Tenga en cuenta que debido a que la orientación de los vectores de base polar depende de la posición en el espacio, la derivada de tiempo actúa tanto sobre la distancia al origen\(r\) como sobre el vector base\(\hat{\boldsymbol{r}}\). Debido a que los dos vectores de base polar son derivados del otro con respecto a\(\theta\) (ver Ecuación A.8), encontramos para sus derivados de tiempo:
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d} \hat{\boldsymbol{r}}}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d} \hat{\boldsymbol{r}}}{\mathrm{d} \theta} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \\[4pt] &=\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \\[4pt] \frac{\mathrm{d} \hat{\boldsymbol{\theta}}}{\mathrm{d} t} &=\frac{\mathrm{d} \hat{\boldsymbol{\theta}}}{\mathrm{d} \theta} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \\[4pt] &=-\dot{\theta} \hat{\boldsymbol{r}} \end{align}\]
Para los vectores de velocidad y aceleración encontramos entonces:
\[ \begin{align} \boldsymbol{v} &=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} \\[4pt] &=\dot{r} \hat{\boldsymbol{r}}+r \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \label{boldv} \\[4pt] \boldsymbol{a} &=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{d} t} \\[4pt] &=\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}\right) \hat{\boldsymbol{r}}+(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}) \hat{\boldsymbol{\theta}} \label{bolda} \end{align}\]
Obsérvese que las Ecuaciones 5.1.3 y 5.1.6 son los casos especiales de las Ecuaciones\ ref {boldv} y\ ref {bolda} para las cuales tanto el radio r como la velocidad angular\(\omega = \dot{\theta}\) son constantes. Usando la ecuación\ ref {bolda} para\(\boldsymbol{\ddot{r}}\) en la segunda ley de Newton, obtenemos una expresión que descompone la fuerza neta\(\boldsymbol{F}\) en una parte radial y una angular, cada una de las cuales consta de dos términos:
\[\boldsymbol{F}=m \ddot{\boldsymbol{r}}=F_{r} \hat{\boldsymbol{r}}+F_{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}\]
\[F_{r}=m\left(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}\right)\]
\[F_{\theta}=m(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta})\]
Los dos términos en\(F_r\) se identifican fácilmente como la aceleración radial\(\ddot{r}\) (que actúa a lo largo de la línea a través del origen) y la fuerza centrípeta (que hace que los objetos giren alrededor del origen, ver Ecuación 5.2.1). El primer término\(r \ddot{\theta}\) en\(F_{\theta}\) es la aceleración tangencial\(\alpha\) de un objeto giratorio cuya velocidad angular está cambiando (Ecuación 5.1.8). El último término en no\(F_{\theta}\) nos hemos encontrado antes; se le conoce como la fuerza Coriolis
\[\mathbf{F}_{\mathrm{Cor}}=2 m \dot{r} \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}\]
y se asocia con una velocidad tanto en la dirección radial como en la angular. Es bastante débil en las escalas de longitud diarias, pero se vuelve grande en las escalas de longitud globales. En particular, si te mueves sobre la superficie de la Tierra (necesariamente con un componente angular distinto de cero de tu velocidad), tiende a desviarte de un camino recto. En el hemisferio norte, si te mueves horizontalmente, tiende a empujarte hacia la derecha; también te empuja hacia el oeste al subir, y al este al bajar. Las fuerzas de Coriolis son responsables del movimiento rotacional del aire alrededor de zonas de alta y baja presión, provocando respectivamente corrientes en sentido horario y antihorario alrededor de ellas en el hemisferio norte (Figura\(\PageIndex{1}\)). Volveremos a encontrarnos con la fuerza Coriolis en la configuración tridimensional más general de la Sección 7.2.
