6.E: Movimiento Planar General (Ejercicios)

6.1 Una órbita particularmente útil para los satélites es la geosincrónica: la órbita en la que el satélite gira alrededor de la Tierra exactamente en un día, por lo que con respecto al suelo, siempre está en la misma posición. Encuentra la altitud (es decir, la distancia sobre la superficie de la Tierra) para una órbita geosincrónica circular.

6.2 Las leyes de Kepler se aplican al caso de que un objeto con masa relativamente pequeña m orbita un objeto de gran masa M, que suponemos que permanece fijo. Técnicamente, esto es incorrecto: ambos objetos giran alrededor de su centro de masa común. Afortunadamente, todavía podemos usar las expresiones derivadas en esta sección, con una pequeña modificación. Para ver cómo funciona esto, escribimos las ecuaciones de movimiento para los dos objetos, debido a la fuerza que ejercen el uno sobre el otro:

\[\ddot{x}_{1}=-\frac{1}{m} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}), \quad \ddot{\boldsymbol{x}}_{2}=\frac{1}{M} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \label{twoobjects}\]

donde\(\boldsymbol{x}_1\) está la posición del objeto con masa\(m\),\(\boldsymbol{x}_2\) la del objeto con masa\(M\), y\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_2 − \boldsymbol{x}_1\) su separación. Denotamos la posición del centro de masa del sistema por\(\boldsymbol{R}\).

1. Al no existir una fuerza externa que actúe sobre el sistema, se conserva el impulso total y por lo tanto el centro de masa no puede acelerar. Argumentan que esto implica eso\[(m+M) \ddot{R}=0 \label{cntrofmass}\] y combinan las Ecuaciones\ ref {twoobjects} y\ ref {cntrofmass} en una expresión para\(\boldsymbol{R}\) en términos de\(\boldsymbol{x}_1\)\(\boldsymbol{x}_2\),, y las masas de los dos objetos.
2. De la ecuación\ ref {twoobjects}, también se deriva una ecuación de movimiento para la separación\(\boldsymbol{r}\) entre los dos objetos. Las ecuaciones que encontraste en (a) y (b) juntas son equivalentes a las ecuaciones de movimiento en\ ref {twoobjects}, pero solo una es una ecuación diferencial, y están desacopladas: no necesitamos conocer la posición del centro de masa para encontrar la separación, y viceversa.
3. Demostrar que se puede reescribir la ecuación de movimiento para la separación entre los dos objetos como\(\boldsymbol{F(r )} = \mu \boldsymbol{\ddot{r}}\), donde\(\mu\) está la masa reducida que también encontramos al estudiar colisiones en el marco del centro de masa, Ecuación 4.8.7, dada por\[\mu=\frac{m M}{m+M}\] Note que resolviendo la ecuación final para el la separación\(\boldsymbol{r}\) es totalmente equivalente a resolver la ecuación de movimiento de una sola partícula bajo la acción de una fuerza central, con la modificación de que la masa de la partícula es reemplazada por la masa reducida. Para el caso de que\(m << M\), la masa reducida es aproximadamente igual a\(m\).
4. Calcula la masa reducida del problema de dos cuerpos Tierra-Luna. ¿Podemos afirmar que la Luna gira alrededor de la Tierra?
5. En ninguna parte de las derivaciones en este problema asumimos eso\(m << M\). Las mismas reglas se aplican a dos objetos cualesquiera. Considera el límite opuesto: dos objetos (estos podrían ser, por ejemplo, estrellas binarias) de igual masa\(M\) que giran alrededor de su centro de masa común. Mostrar que para este caso, para órbitas circulares el periodo orbital viene dado por\[T^{2}=\frac{2 \pi^{2} d^{3}}{G M}\] donde\(d\) está la distancia entre los dos objetos.

6.3 Un estudiante con masa 65.0 kg se encuentra en el centro de un simple tiovivo que consiste en un disco grande de radio 1.5 m y masa 25 kg y está haciendo una rotación completa cada 2.0 s. El estudiante camina a una distancia de 0.50 m del centro.

1. Encuentra la frecuencia de rotación del tiovivo con el alumno en este punto.
2. ¿Cuáles son las fuerzas que actúan sobre el estudiante en este momento?