7.1: Velocidad lineal y angular

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 129680

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Se relacionaron las velocidades lineal y angular de un objeto giratorio en dos dimensiones en la Sección 5.1. Allí, también se expuso ya la relación entre el vector de velocidad lineal y el vector de rotación en tres dimensiones (Ecuación 5.1.5):

\[\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}\]

No es difícil ver que esta expresión efectivamente simplifica a la relación escalar\(v = \omega r\) para las rotaciones en un plano, con el signo correcto para la velocidad lineal. Sin embargo, eso no es una prueba, así que pongamos esto en una base más sólida. Supongamos\(\boldsymbol{r}\) que hace un ángulo\(\phi\) con\(\boldsymbol{\omega}\). Supongamos también que cambia por\(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) en un intervalo de tiempo\(\mathrm{d}t\), entonces si tenemos rotación pura,\(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) es perpendicular a ambos\(\boldsymbol{r}\) y\(\boldsymbol{\omega}\), y su magnitud viene dada por\(|d \boldsymbol{r}| = \omega r \sin \phi \mathrm{d} t=|\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}| \mathrm{d} t\), donde\(\omega\) y\(r\) son las longitudes de sus respectivos vectores. Finalmente, como se ve desde la parte superior (es decir, mirando hacia abajo el vector\(\boldsymbol{\omega}\)), la rotación debe ser en sentido antihorario (por definición de la dirección de\(\boldsymbol{\omega}\)), que corresponde con la dirección de\(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}\). Por lo tanto, encontramos que tanto la magnitud como la dirección de\(\boldsymbol{v}=\mathrm{d} \boldsymbol{r} / \mathrm{d} t\) hecho iguales\(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}\), y la Ecuación 5.1.5 mantiene.