7.2: Marcos de Referencia Giratorios

En la Sección 4.3, consideramos lo que sucede si consideramos el movimiento (lineal) de un objeto desde un punto de vista estacionario ('marco de laboratorio') o co-móvil, con especial atención al marco del centro de masa. Estos marcos se movían a velocidad constante uno con respecto al otro, y todos eran marcos inerciales - la primera y segunda leyes de Newton sostienen en todos los marcos inerciales. En esta sección, consideraremos un marco de referencia giratorio, donde en lugar de co-mover con una velocidad lineal, giramos conjuntamente con una velocidad angular constante. Los marcos de referencia giratorios no son marcos inerciales, ya que para mantener algo girando (y así cambiar la dirección de la velocidad lineal) se requiere la aplicación de una fuerza neta. En cambio, como veremos, en un marco de referencia giratorio obtendremos todo tipo de fuerzas ficticias, fuerzas que no tienen una fuente física real, como la gravedad o la electrostática, sino que se originan por el hecho de que estamos en un marco de referencia giratorio.

En un marco de referencia giratorio, la dirección de los vectores base cambia con el tiempo (según se mide con respecto al marco de laboratorio estacionario, esto es diferente de los marcos linealmente co-móviles, donde las direcciones de los vectores base permanecieron constantes). Para ver cómo cambian los vectores base con el tiempo, simplemente podemos calcular su velocidad lineal, usando la Ecuación 5.1.5:

\[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\hat{x}}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\hat{x}}, \quad \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\hat{y}}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\hat{y}}, \quad \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\hat{z}}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\hat{z}}\]

Ahora podemos determinar fácilmente el cambio de un vector arbitrario a\(\boldsymbol{u}=u_{x} \hat{\boldsymbol{x}}+u_{y} \hat{\boldsymbol{y}}+u_{z} \hat{\boldsymbol{z}}\) lo largo del tiempo:

\[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d} t} = \left(\frac{\partial u_x}{\partial t} \boldsymbol{\hat{x}} + \frac{\partial u_y}{\partial t} \boldsymbol{\hat{y}} + \frac{\partial u_z}{\partial t} \boldsymbol{\hat{z}}\right) + \left(u_x \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\hat{x}}}{\mathrm{d} t} + u_y \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\hat{y}}}{\mathrm{d} t} + u_z \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\hat{z}}}{\mathrm{d} t}\right) = \frac{\delta \boldsymbol{u}}{\delta t} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{u} \label{nastyaf}\]

donde\(\frac{\delta \boldsymbol{u}}{\delta t}\) se define por la Ecuación\ ref {nastyaf}, y representa la derivada de tiempo de\(\boldsymbol{u}\) en la base rotativa ¹. Vemos que además de la derivada del tiempo 'regular', actuando sobre los componentes de\(\boldsymbol{u}\), obtenemos un término adicional\(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{u}\) debido a la rotación del sistema. Tenga en cuenta que para\(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{\omega}\), encontramos que\(\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} = \frac{\delta \boldsymbol{\omega}}{\delta t} = \boldsymbol{\dot{\omega}}\), es decir, la derivada de tiempo del vector de rotación es la misma en los marcos estacionario y giratorio.

El primer ejemplo de un vector es, por supuesto, el vector\(\boldsymbol{r}\) de posición de una partícula, cuya segunda derivada aparece en la segunda ley del movimiento de Newton. Calcularemos esa segunda derivada para un vector de posición en un marco de coordenadas giratorio. La primera derivada es una simple aplicación de la Ecuación\ ref {nastyaf}:

\[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\delta \boldsymbol{r}}{\delta t} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \label{drdt}\]

Para obtener la segunda derivada, aplicamos\ ref {nastyaf} al vector de velocidad que se encuentra en\ ref {drdt}:

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (\frac{\delta \boldsymbol{r}}{\delta t} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \\ &= \frac{\delta}{\delta t} (\frac{\delta \boldsymbol{r}}{\delta t} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) + \boldsymbol{\omega} \times (\frac{\delta \boldsymbol{r}}{\delta t} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \\ &= \frac{\delta ^2 \boldsymbol{r}}{\delta t^2} + \frac{\delta \boldsymbol{\omega}}{\delta t} \times \boldsymbol{r} + 2 \boldsymbol{\omega} \times \frac{\delta \boldsymbol{r}}{\delta t} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \end{aligned}\]

Al igual que en el caso bidimensional dado por la Ecuación 6.2.3, encontramos que la aceleración en un marco de referencia giratorio recoge términos adicionales en comparación con un marco estacionario (o más general, inercial). Para obtener una imagen completa, también permitimos que el origen del marco giratorio sea diferente al del marco de laboratorio estacionario. \(\boldsymbol{r}_{\mathrm{lab}}\)Sea el vector de posición en el marco de laboratorio,\(\boldsymbol{R}\) el vector apuntando desde el origen del marco de laboratorio al del marco giratorio, y\(\boldsymbol{r}\) el vector de posición en el marco giratorio. Entonces tenemos\(\boldsymbol{r}_{\mathrm{lab}} = \boldsymbol{R} + \boldsymbol{r}\), y para la segunda derivada de\(\boldsymbol{r}_{\mathrm{lab}}\) encontramos:

\[\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}_{\mathrm{lab}}}{\mathrm{d} t^2} &= \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t^2} + \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{R}}{\mathrm{d} t^2} \\ &= \frac{\delta ^2 \boldsymbol{r}}{\delta t^2} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) + 2 \boldsymbol{\omega} \times \frac{\delta \boldsymbol{r}}{\delta t} + \frac{\delta \boldsymbol{\omega}}{\delta t} \times \boldsymbol{r} + \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{R}}{\mathrm{d} t^2} \label{rlab} \end{align}\]

Podemos sustituir la ecuación\ ref {rlab} en la segunda ley de movimiento de Newton en el marco de laboratorio (es decir, just\(\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}_{\mathrm{lab}}}{\mathrm{d}t}\)) para encontrar la expresión de esa ley en el marco giratorio:

\[m \frac{\delta ^2 \boldsymbol{r}}{\delta t^2} = \boldsymbol{F} - m [\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) +2 \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r} + \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{R}}{\mathrm{d} t^2}] \]

donde definimos\(\boldsymbol{v} = \frac{\delta \boldsymbol{r}}{\delta t}\) como la velocidad en el marco giratorio, y usamos que la derivada del tiempo\(\boldsymbol{\omega}\) es la misma tanto en el bastidor estacionario como en el giratorio. Encontramos que obtenemos cuatro términos de corrección a la fuerza debido a nuestra transición a un marco giratorio. No son fuerzas 'reales' como la gravedad o la fricción, ya que desaparecen en el marco del laboratorio, pero puedes experimentar fácilmente sus efectos, cuando estás en un auto giratorio o en un carrusel giratorio. Al no tener origen físico, a estas fuerzas las llamamos ficticias. Se les conoce como la fuerza centrífuga, Coriolis, azimutal y traslacional, respectivamente:

\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{cf}} =-m \boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})\]

\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} =-2 m \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}\]

\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{az}} =-m \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r}\]

\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{trans}} =-m \frac{\mathrm{d}^{2} \boldsymbol{R}}{\mathrm{d} t^{2}} \]

Nos encontramos con la centrífuga, Coriolis y la fuerza acimutal antes en la Sección 6.2. Para ver cómo las expresiones anteriores se conectan a las versiones planas, escojamos las coordenadas del marco giratorio de tal manera que la dirección de\(\boldsymbol{\omega}\) coincide con el eje z. El movimiento rotacional y las fuerzas se pueden describir entonces en términos de las coordenadas cilíndricas que consisten en las coordenadas polares\((\rho, \theta)\) en el plano XY y z a lo largo del eje z (nótese que usamos\(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\) para la distancia radial en el plano XY en lugar de r, ya que r es ahora la distancia desde el origen hasta nuestro punto en tres dimensiones). Por la fuerza centrífuga que tenemos\(\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{F}_{\mathrm{cf}} = 0\), así se encuentra en nuestro plano XY recién definido, y en coordenadas cilíndricas se puede expresar como

\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{cf}}=-m\left[\boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{r})-\omega^{2} \boldsymbol{r}\right]=m \omega^{2}(x \hat{\boldsymbol{x}}+y \hat{\boldsymbol{y}})=m \omega^{2} \rho \hat{\boldsymbol{\rho}}\]

La fuerza centrífuga no es así más que menos la fuerza centrípeta, que ya encontramos para el movimiento rotacional uniforme en la Ecuación 5.2.1, y como segundo término en 6.2.5. La fuerza centrífuga es la fuerza que 'sientes' empujándote hacia los lados cuando tu auto da un giro brusco, y también es responsable de crear la forma parabólica de la superficie del agua en un cubo giratorio, ver Problema 7.4.

La fuerza de Coriolis está presente siempre que una partícula se mueve con respecto a las coordenadas giratorias, y tiende a desviar las partículas de una línea recta (que se obtendría en un marco de referencia inercial). Tenemos\(\boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}}\) =\ boldsymbol {v}\ cdot\ boldsymbol {F} _ {\ mathrm {Cor}}\) = 0\), así que la fuerza de Coriolis es perpendicular tanto a los vectores de rotación como a los vectores de velocidad - tenga en cuenta que esta es la velocidad en el marco giratorio. En el caso bidimensional, tuvimos\(\boldsymbol{F}_{mathrm{Cor}} = 2m \dot{ρ} \omega \boldsymbol{\hat{\theta}}\) (Ecuación 6.2.7), que para una velocidad en la dirección radial,\(\dot{\rho}\), da una fuerza en la dirección angular\(\boldsymbol{\hat{\theta}}\).

La fuerza acimutal ocurre cuando el vector de rotación de nuestro sistema de rotación cambia, es decir, cuando la rotación se acelera o desacelera, o el plano de rotación se altera. En cualquier caso tenemos\(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{F}_{\mathrm{Cor}} = 0\), por lo que la fuerza es perpendicular al vector de posición. Si es la magnitud del vector de rotación lo que cambia, y nuevamente tomamos el vector de rotación para que quede a lo largo del eje z en el marco giratorio,\(\boldsymbol{\dot{\omega}}\) también se encuentra a lo largo del eje z, y obtenemos

\[\boldsymbol{F}_{\mathrm{az}}= -m \dot{\omega} \boldsymbol{\hat{z}} \times \boldsymbol{r} = -mr \ddot{\theta} \boldsymbol{\hat{\theta}}\]

por lo que la fuerza acimutal es menos m veces la aceleración tangencial\(\alpha\) (ver Ecuación 5.1.8), o menos el primer término de 6.2.6.

La fuerza de traslación finalmente ocurre cuando el origen del marco de referencia giratorio se acelera con respecto al del marco de laboratorio estacionario. También lo sientes si el marco de referencia 'giratorio' en realidad no gira, sino que solo acelera linealmente, es la fuerza que te empuja hacia atrás en tu asiento cuando tu auto o tren acelera.

Figura\(\PageIndex{1}\): Rotación de una mancuerna, compuesta por dos masas iguales m separadas por una distancia d = 2r alrededor de un eje que no es un eje de simetría del sistema.

¹ Algunos autores utilizan la notación\((\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d}t})_{\mathrm{rot}}\) para\(\frac{\delta{\boldsymbol{u}}}{\delta{t}}\).