7.E: Movimiento Rotacional General (Ejercicios)

7.1 Dos estudiantes de Delft desean recrear el experimento de Galilei dejando caer objetos con diferente masa desde una torre alta. Utilizan la torre de la Iglesia Vieja en Delft, que, como la más famosa de Pisa supuestamente utilizada por Galilei, se inclina un poco. La punta de la torre se encuentra a 75 m sobre el nivel de la calle, y 2.0 m se retira de la vertical. El alumno que dejará caer los objetos se alza sobre el trans a 60 m. La base de la torre es un cuadrado de 10×10 m.

1. ¿A qué distancia de la base de la torre esperas que caiga la piedra?
2. El segundo alumno, que ha hecho el mismo cálculo que hiciste en (a), ha puesto una cámara cerca del piso dirigida al lugar donde caerán los objetos. Sorprendentemente, en una caída de prueba de una sola piedra, observa que la posición real en la que la piedra golpea el suelo se desvía de este lugar. La estudiante en la cima sin embargo insiste en que dejó caer la piedra directamente hacia abajo de la torre trans, como se acordó. Por lo tanto, los alumnos vuelven a sus libros de Mecánica y se dan cuenta de que olvidaron dar cuenta de la rotación de la Tierra. ¿Cuál de las fuerzas (ficticias) descritas en esta sección podría hacer que la piedra se desvíe de su camino recto hacia abajo?
3. Delft se encuentra en el hemisferio norte. ¿En qué dirección se desviará la trayectoria de la piedra?
4. Delft está en\(52.0^{\circ} N\). ¿Cuál es la magnitud de la desviación de la piedra caída en el suelo? Puede descuidar la resistencia al aire en este cálculo.

7.2 Péndulo de Foucault Una prueba bien conocida (y concluyente) del hecho de que la Tierra está girando la proporciona un péndulo de Foucault, presentado por primera vez por el físico francés Léon Foucault en 1851 (una réplica de su dispositivo está en exhibición permanente en el Panteón de París, así como en muchas otras ciencias musea alrededor del mundo, ver Figura 7.E.1). Una parte clave de este péndulo es la forma en que se construye su pivote: tiene que ser rotacionalmente simétrico y sin fricción, por lo que no puede ejercer ningún par sobre el péndulo mismo. En consecuencia, el plano en el que oscila el péndulo permanecerá sin cambios ², aun cuando la Tierra gire. Por lo tanto, para los observadores en la Tierra, el plano del péndulo parece rotar con el tiempo. Para ver cómo funciona esto, considera poner este péndulo en el polo Norte. Entonces, para un observador externo, el plano del péndulo permanece fijo (no hay fuerzas que actúen sobre él), mientras que la Tierra (mirando hacia abajo en el polo Norte) gira en sentido antihorario; para un observador con destino a la Tierra, el plano del péndulo parece moverse así en el sentido de las agujas del reloj (nuevamente como se ve desde arriba), haciendo uno lleno revolución en un día.

París no está en el polo Norte, pero sí se encuentra en el hemisferio norte, por lo que el péndulo seguirá apareciendo girando en sentido horario, solo a una frecuencia más lenta. Calcularemos esta frecuencia de precesión en este problema.

Figura\(\PageIndex{1}\): Péndulo de Foucault. a) Coordina en París. (b) Para un péndulo con una cuerda larga y pequeña amplitud, la velocidad del bob será casi horizontal. c) La réplica del péndulo original de Foucault en el Panteón [19].

1. Primero, necesitamos la velocidad angular en París, en un sistema de coordenadas útil. Definir el\(\hat{\boldsymbol{z}}\) eje como apuntando hacia arriba en París, y\(\hat{\boldsymbol{x}}\) como la tangente al planeta debida al Norte (ver Figura 7.E.1a). Expresar\(\boldsymbol{\omega}\) en estas coordenadas.
2. Si el péndulo tiene una cuerda muy larga (la original de Foucault es de 67 m) en comparación con su amplitud, la velocidad\(v\) del peso será aproximadamente en la dirección horizontal, ver Figura 7.E.1b. Argumentan por qué, en este caso, el componente de\(\boldsymbol{\omega}\) en la\(\hat{\boldsymbol{x}}\) dirección no cambiará la frecuencia a la que precede el plano del péndulo.
3. El plano del péndulo gira con una frecuencia (precesión)\(\boldsymbol{\omega}_{\mathrm{P}}=\omega_{\mathrm{P}} \hat{\boldsymbol{z}}\) con respecto al marco de la Tierra fijado en París. Esta frecuencia de precesión debe compensar exactamente la rotación de la Tierra en el marco del péndulo (como en ese marco, no hay fuerzas que actúen sobre el péndulo, y así su plano de oscilación permanece fijo). Demostrar que estas consideraciones lo implican\(\omega_{\mathrm{P}}=-\omega \cos \theta\).
4. Supongamos que ingresa al Panteón al mediodía, y marca la dirección en la que está oscilando el péndulo. Cuando regreses una hora después, ¿por cuánto habrá girado este avión? ¿Será esto suficiente para ser visible a simple vista? El Panteón está en\(48^{\circ}50'46''N\) (tenga en cuenta que grados, como horas, se dividen en (arco) minutos y segundos que corren hasta 60, no 100).

7.3 Una forma alternativa de mostrar el efecto de la rotación de la Tierra implica únicamente un plano horizontal liso y una partícula que pueda deslizarse sobre él. Mostrar que si la velocidad de la partícula es\(v\), su trayectoria será un círculo con radio\(r= \frac{v}{2 \Omega}\), donde\(\Omega\) está la velocidad rotacional de la Tierra.

7.4 La fuerza centrífuga emerge en un marco de coordenadas giratorias y causa la forma parabólica de la superficie del agua en una cubeta giratoria. Como la fuerza centrífuga siempre es perpendicular al eje de rotación, podemos escoger coordenadas de tal manera que el eje de rotación coincida con el eje z\(\boldsymbol{\omega}=\omega \hat{\boldsymbol{z}}\), y podemos expresar la fuerza centrífuga en coordenadas cilíndricas como\(\boldsymbol{F}_{\mathrm{cf}}=m \omega^{2} \rho \hat{\boldsymbol{\rho}}\) (Ecuación 7.2.11).

Ahora consideramos un pequeño volumen de agua en la superficie giratoria (en estado estacionario). Hay dos fuerzas que actúan sobre esta masa de agua: la gravedad (apuntando hacia abajo, como siempre) y la fuerza centrífuga, apuntando hacia afuera, ver Figura 7.E.2. La fuerza neta resultante no puede tener un componente a lo largo de la superficie, ya que esto daría como resultado una aceleración del agua (y por lo tanto un flujo de agua); por lo tanto, la fuerza debe ser perpendicular a la superficie, y contrarrestar la presión en el agua (al igual que lo haría para la superficie plana del agua en un cubo que no está rotando).

La fuerza gravitacional y centrífuga se suman a lo que se conoce como una gravedad efectiva, dada por

\[\boldsymbol{g}_{\mathrm{eff}}=-g \hat{\boldsymbol{z}}+\omega^{2} \rho \hat{\boldsymbol{\rho}}\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Superficie de agua parabólica en una cubeta giratoria. El eje de rotación coincide con el eje de simetría. Para un pequeño volumen de agua en la superficie, la fuerza gravitacional y la fuerza centrífuga se suman a una fuerza gravitacional efectiva, que debe ser perpendicular a la superficie del agua en estado estacionario. Esta fuerza neta es contrarrestada por la presión en el agua (\(\boldsymbol{F'}\)).

1. Encuentra el ángulo\(\theta\) que la dirección de la fuerza gravitacional efectiva hace con la vertical (ver Figura 7.E.2).
2. Si la fuerza gravitacional va a ser perpendicular a la superficie del agua, debemos tener\[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} \rho}=\tan \theta\] Integrar esta ecuación para encontrar\(z(\rho)\) (y así la forma de la superficie).
3. Encontrar la energía potencial correspondiente a la fuerza gravitacional efectiva,\(\boldsymbol{F}_{\mathrm{eff}}=m \boldsymbol{g}_{\mathrm{eff}}\).
4. Argumentan por qué la energía potencial debe ser constante en la superficie del agua, y de esta condición, de nuevo derivar la forma de la superficie del agua.