9.1: Ondas sinusoidales

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Probablemente el tipo de onda más simple es una onda sinusoidal transversal en una cuerda unidimensional. En tal onda cada punto de la cuerda sufre una oscilación armónica. Llamaremos al desplazamiento desde el equilibrio\(u\), entonces podremos trazar\(u\) como una función de la posición en la cadena en un punto dado en el tiempo, Figura 9.2.1a, que es una instantánea de la onda. Alternativamente, podemos trazar\(u\) como una función del tiempo para un punto dado (con la posición dada) en la cadena, Figura 9.2.1b. Debido a que la oscilación es armónica, el desplazamiento en función del tiempo es una función sinusoidal, con una amplitud (desplazamiento máximo)\(A\) y un periodo (tiempo entre máximos)\(T\).

Por definición, cada punto de la cadena que sufre una onda sinusoidal sufre una oscilación armónica, por lo que para cada punto podemos escribir\(u(t)=A \cos (\omega t+\phi)\) (Ecuación 8.1.4) donde como antes\(\omega=2 \pi / T\) es la frecuencia (angular) y\(\phi\) la fase. Dos puntos vecinos en la cuerda están ligeramente desfasados: si la ola viaja hacia la derecha, entonces tu vecino de la derecha alcanzará el máximo un poco más tarde que tú, y así tiene una fase ligeramente mayor. La diferencia de fase es directamente proporcional a la distancia entre dos puntos, llegando a un completo\(2 \pi\) (que por supuesto equivale a cero) después de una distancia\(\lambda\), la longitud de onda. La longitud de onda es así la distancia entre dos puntos sucesivos con la misma fase, en particular entre dos máximos. Entre estos máximos, la fase corre sobre el pleno\(2 \pi\), por lo que la onda también es una sinusoide en el espacio, con una 'frecuencia espacial' o número de onda\(k=2 \pi / \lambda\). Combinando las dependencias del espacio y el tiempo en una sola expresión, podemos escribir para la onda sinusoidal:

\[u(x, t)=A \cos (k x-\omega t) \label{9.1}\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos tipos básicos de olas. a) Onda longitudinal, donde el movimiento oscilatorio de las partículas se encuentra en la misma dirección que el de la onda. (b) Onda transversal, donde el movimiento oscilatorio de las partículas es perpendicular al de la onda.

La velocidad de la ola es la distancia que recorre la ola por unidad de tiempo. Una unidad de tiempo para una onda es un periodo, ya que ese es el tiempo que tarda la oscilación en volver a su punto original. La distancia recorrida en un periodo es de una longitud de onda, ya que esa es la distancia entre dos máximos. Por lo tanto, la velocidad es simplemente su relación, que también se puede expresar en términos del número de onda y la frecuencia:

\[v_{\mathrm{w}}=\frac{\lambda}{T}=\frac{\omega}{k}.\]