13.4: Energía relativista

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Los últimos tres (o 'espaciales') componentes del momentum cuatro vectores nos dan los componentes regulares del momentum, multiplicado por el factor\( \gamma(v) \). ¿Qué pasa con el componente cero (o 'temporal')? Para interpretarlo\( \gamma(v) \), ampliamos y encontramos:

\[ \begin{align} c p_{0} &= \gamma(v) m c^{2} \\[4pt] &=\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^{2}+\frac{3}{8}\left(\frac{v}{c}\right)^{4}+\ldots\right] m c^{2} \\[4pt] &=m c^{2}+\frac{1}{2} m v^{2}+\ldots \end{align}\]

El segundo término en esta expansión debería ser familiar: es la energía cinética de la partícula. Los términos tercero y superior son correcciones a la energía cinética clásica, al igual que los términos de orden superior en los componentes espaciales son correcciones al momento clásico. El primer término, sin embargo, es nuevo: un aporte extra de energía debido a la masa de la partícula. El término completo ahora puede interpretarse como la energía relativista de la partícula:

\[ \begin{align} E&=\gamma(v) m c^{2} \\[4pt] &=m c^{2}+K \label{13.4.1} \end{align}\]

Ahora podemos escribir el componente cero del momentum de cuatro vectores como\( p_{0}=E / c \). Con base en esta interpretación, el cuatro vector a veces se conoce como el cuatro vector energía-impulso.

Una relación muy útil ahora se puede derivar fácilmente calculando la longitud del cuatro vector energía-momento de dos maneras. Por un lado, está dado por (dejando fuera la raíz cuadrada por conveniencia)

\[ \overline{\boldsymbol{p}} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}=m^{2} \overline{\boldsymbol{v}} \cdot \overline{\boldsymbol{v}}=m^{2} c^{2} \label{13.4.3}\]

mientras que por otro lado, también podríamos simplemente expandirnos en los componentes de\( \overline{\boldsymbol{p}} \) sí mismo para obtener:

\[ \overline{\boldsymbol{p}} \cdot \overline{\boldsymbol{p}}=\left(\frac{E}{c}\right)^{2}-\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{p} \label{13.4.4}\]

donde\( \boldsymbol{p} \) está de nuevo la parte espacial de\( \overline{ \boldsymbol{p}} \). Combinando Ecuaciones\ ref {13.4.3} y\ ref {13.4.4}, obtenemos:

\[E^{2}=m^{2} c^{4}+p^{2} c^{2} \label{13.4.5}\]

donde\(p^{2}=\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{p}\). La ecuación\ ref {13.4.5} es la forma general de la famosa fórmula de Einstein\( E = m c^{2} \), a la que se reduce para partículas estacionarias (es decir, cuándo\(v = p = 0 \)).