13.5: Conservación de Energía y Momentum

En la mecánica clásica, la energía y el impulso eran entidades separadas, cada una obedeciendo su propia ley de conservación. En la relatividad especial, son dos partes de la misma cantidad (el cuatro vector energía-impulso), al igual que el tiempo y el espacio son dos partes de la misma posición de cuatro vectores. En consecuencia, la energía y el impulso tienen que obedecer las mismas reglas en la relatividad especial. Afortunadamente, una ley de conservación sobre una cantidad vectorial se aplica a cada uno de sus componentes, por lo que la conservación de la energía y el impulso se traduce en la conservación del cuatro vector energía-impulso\(\bar{\boldsymbol{p}}\). Sin embargo, a diferencia de la mecánica clásica, la masa ya no se conserva: dado que ahora se interpreta como parte de la energía total de un sistema (Ecuación 13.4.2), se puede convertir o crear a partir de energía cinética. La equivalencia de masa y energía tiene importantes consecuencias para los experimentos de colisión, incluyendo un nuevo tipo de 'colisiones': la desintegración radiactiva de la materia.

Podría quejarse de que en realidad no hemos demostrado que el cuatro vector energía-impulso se conserve en una relatividad especial (y tendría razón). Lo que hemos hecho es definir la energía relativista\(E = \gamma (v) m c^2\) y el triimpulso\(\boldsymbol{p} = \gamma (v) m \boldsymbol{v}\), así como el cuatro vector energía-impulso\(\bar{\boldsymbol{p}}\). También hemos demostrado que con estas definiciones,\(\bar{\boldsymbol{p}}\) es un propio cuatro vector, en el sentido de que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Por lo tanto, sabemos que si se conserva en un marco inercial, también debe conservarse en todos los demás. También sabemos que nuestra energía relativista e impulso revierten a la energía cinética clásica (más una constante\(mc^2\)) y\(mv\) al momento clásico a bajas velocidades. Las leyes de conservación para estas cantidades clásicas se derivan de la segunda y tercera leyes de movimiento de Newton, respectivamente. En la relatividad especial, ya no tomamos estas leyes como nuestros axiomas, solo conservando la primera ley del movimiento de Newton en el marco de referencia inercial. Por lo tanto, no podemos probar matemáticamente la conservación del cuatro vector energía-impulso, y debemos tomarlo como axioma. Como acabo de argumentar, este axioma es consistente con las leyes de la mecánica clásica en el límite de baja velocidad. También es consistente con datos experimentales -que, al igual que los postulados de Einstein y las leyes de Newton en la mecánica clásica, son la prueba definitiva de nuestro modelo físico.