13.E: Posición, Energía e Impulso en la Relatividad Especial (Ejercicios)

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13.1 En la física de alta energía, se acostumbra expresar la masa de partículas elementales no en kilogramos sino en\(MeV/c^2\), expresando el hecho de que la masa (de reposo) es una forma de energía. Un\(MeV\) o mega-electrón-voltio es un millón (el 'mega') veces la energía (cinética) que gana un electrón cuando se mueve a través de un campo eléctrico entre dos posiciones con una diferencia de potencial eléctrico de 1 voltio, o 1 julio por culombio. Un electrón-voltio corresponde así a una cantidad de energía (en julios) igual en número a la carga del electrón en culombios. Exprese la masa tanto del electrón como del protón en\(MeV/c^2\); puede encontrar útiles los números en la Tabla B.1.

13.2 Para una partícula arbitraria de masa (en reposo)\(m\), encuentre la velocidad a la que su energía cinética es igual a su energía de reposo.

13.3 Construimos cuatro vectores de tal manera que su longitud es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. La longitud de un cuatro vectores se define como la raíz cuadrada de su producto punteado consigo mismo:\(|\overline{\boldsymbol{x}}|=\sqrt{\overline{\boldsymbol{x}} \cdot \overline{\boldsymbol{x}}}= x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\). En la Ecuación 13.1.2 también definimos el producto punto de dos cuatro vectores arbitrarios\(\overline{\boldsymbol{a}}\) y\(\overline{\boldsymbol{b}}\).

Mostrar que la suma de dos cuatro vectores es nuevamente un cuatro vector (es decir, mostrar que la longitud es invariante bajo transformaciones de Lorentz, y los componentes transforman de la misma manera que lo hacen los de la posición de cuatro vectores).
Calcular el cuadrado de la longitud de los cuatro vectores\(\overline{\boldsymbol{a}} + \overline{\boldsymbol{b}}\) y\(\overline{\boldsymbol{a}} - \overline{\boldsymbol{b}}\).
Usa tu respuesta en (b) para escribir el producto punto de\(\overline{\boldsymbol{a}}\) y\(\overline{\boldsymbol{b}}\) como una combinación lineal de cantidades que son invariantes bajo transformaciones de Lorentz (mostrando así que el producto punto también es invariante).

13.4 Una partícula con masa m tiene tres momentos\(\boldsymbol{p}\) medidos en un marco de laboratorio inercial S. Encuentra la energía de la partícula medida por un observador con tres velocidades\(\boldsymbol{u}\). Pista: Determine los cuatro vectores del momento de la partícula y el movimiento del observador tanto en el cuadro de laboratorio S como en el fotograma de reposo del observador S', luego use el hecho de que los productos internos de cuatro vectores son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz.