15.1: La Fuerza Cuatro Vectores
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En la mecánica clásica, la segunda ley de Newton relaciona momentos y fuerzas, a través de la derivada temporal del impulso. En relatividad, por lo tanto, simplemente definiremos el cuatro vector de fuerza como la derivada del cuatro vector energía-momento con respecto al tiempo adecuado (lo que da un cuatro vector, como puede verificar fácilmente):
\[\overline{\boldsymbol{F}}=\frac{\mathrm{d} \overline{\boldsymbol{p}}}{\mathrm{d} \tau}=\gamma(v)\left(\frac{1}{c} \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}, F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \label{15.1.1}\]
Definimos los componentes de la\(^{1}\) F de tres fuerzas como la derivada de tiempo ('regular' o 'coordenada') de los tres momentos:\(\boldsymbol{F}=\mathrm{d} \boldsymbol{p} / \mathrm{d} t \), así que la segunda ley de Newton se mantiene siempre y cuando no cambies tu marco de referencia. De igual manera, la tercera ley de Newton sostiene, si se considera la de tres fuerzas\(\boldsymbol{F}\) en un marco fijo de referencia. El término cero de\(\overline{\boldsymbol{F}}\) contiene la derivada temporal de la energía, la cual definimos como la potencia en la Sección 3.1:\(P=\mathrm{d} E / \mathrm{d} t\), nuevamente dentro del contexto de un marco fijo de referencia.
Hay un resultado clásico que involucra la fuerza que sí se traduce en relatividad especial para marcos de referencia arbitrarios: el teorema trabajo-energía. Para ver cómo se produce eso, considere una transformación de Lorentz de un sistema comoving (o marco inercial instantáneo\(S^{\prime}\)) a un marco inercial arbitrario\(S\). En\(S^{\prime}\),\(\gamma(u)=\gamma(0)=1\), entonces los componentes espaciales del cuatro vector de fuerza son solo los componentes del tres-vector de fuerza (y sostiene la segunda ley de Newton); además, en este marco,
\[\dfrac{\mathrm{d} E^{\prime}}{\mathrm{d} t} =\dfrac{ \mathrm{d}\left(m / \sqrt{1-\left(u^{\prime}\right)^{2} / c^{2}}\right)}{\mathrm{d} t} =0\]
porque la derivada contiene un factor\(u^{\prime}\), que (por elección de fotograma) es cero. Así lo hemos hecho\(\overline{\boldsymbol{F}}^{\prime}=\left(0, F_{x}^{\prime}, F_{y}^{\prime}, F_{z}^{\prime}\right)\). La fuerza es un cuatro vector, y por lo tanto se transforma de acuerdo con la Ecuación (13.7):
\[\overline{\boldsymbol{F}}=\left( \begin{array}{c}{F_{0}} \\ {F_{1}} \\ {F_{2}} \\ {F_{3}}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{cccc}{\gamma(u)} & {\gamma(u) \frac{u}{c}} & {0} & {0} \\ {\gamma(u) \frac{u}{c}} & {\gamma(u)} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right) \left( \begin{array}{c}{0} \\ {F_{x}^{\prime}} \\ {F_{y}^{\prime}} \\ {F_{z}^{\prime}}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}{\gamma(u) \frac{u}{c} F_{x}^{\prime}} \\ {\gamma(u) F_{x}^{\prime}} \\ {F_{y}^{\prime}} \\ {F_{z}^{\prime}}\end{array}\right) \label{15.1.2}\]
entonces, comparando los componentes de\(\overline{\boldsymbol{F}}\) en Ecuaciones\ ref {15.1.1} y\ ref {15.1.2}, obtenemos
\[\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}=u F_{x}^{\prime}, \quad F_{x}=F_{x}^{\prime}, \quad F_{y}=\frac{F_{y}^{\prime}}{\gamma(u)}, \quad F_{z}=\frac{F_{z}^{\prime}}{\gamma(u)} \label{15.1.3}\]
La fuerza longitudinal es así la misma en ambos marcos, ¡pero la fuerza transversal no lo es! Por lo tanto, las fuerzas se comportan de manera diferente a lo que se podría esperar ingenuamente bajo las transformaciones Además, la transformación no es simétrica: no obtenemos\(F_{y}^{\prime}=F_{y} / \gamma(-u)\) (lo que de hecho contradiría directamente a la Ecuación\ ref {15.1.2}. La razón por la que hemos perdido esta simetría es que para las fuerzas, hay un marco especial: el de la partícula (aquí\(S^{\prime}\)), donde sostiene la segunda ley de Newton. En todos los demás marcos, tenemos que transformar las fuerzas de acuerdo con la Ecuación\ ref {15.1.3}.
Hay un lado positivo: el componente cero en la Ecuación\ ref {15.1.2} nos da eso\(\mathrm{d} E=u F_{x}^{\prime} \mathrm{d} t=F_{x}^{\prime} \mathrm{d} x=F_{x} \mathrm{d} x\), que integrado da el teorema trabajo-energía:
\[\Delta E=F \Delta x=\Delta W. \nonumber\]
Mientras nos mantengamos alejados de las fuerzas, el trabajo y la energía se comportarán como hemos llegado a esperar.
\(^{1}\)Algunos autores utilizan\(f\) para evitar confusiones con la fuerza de cuatro\(\boldsymbol{\overline{F}}\); otros utilizan\(\boldsymbol{F}\) para la fuerza de tres y\(\boldsymbol{\overline{K}}\) para la de cuatro fuerzas.