15.E: Fuerzas y Ondas Relativistas (Ejercicios)

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15.1 Dos naves espaciales están conectadas por un cable fuerte. Ambos barcos están inicialmente en reposo, y encienden sus motores al mismo tiempo. Sus aceleraciones son idénticas en cada punto del tiempo. ¿El cable permanece intacto? Pista: usa un diagrama de espacio-tiempo para analizar lo que sucede.

15.2 En la mecánica clásica, el desplazamiento Doppler en la longitud de onda de un objeto que se mueve hacia el observador a la
velocidad u viene dado por la ecuación (9.7.1) repetida nuevamente a continuación:

\[\lambda_{\mathrm{obs}}=\frac{v-u}{v} \lambda\ \label{15.E.1}\]

donde\(v\) esta la velocidad de la onda (generalmente sonido). Para obtener este resultado, comparamos lo que sucede con la fuente y la onda en un intervalo de tiempo fijo\(\Delta t\). Como ya sabéis, este resultado no puede sostenerse a velocidades cercanas a la de la luz, pues en ese caso habrá un efecto significativo debido a la dilatación del tiempo. En este problema, por lo tanto, reharemos el cálculo para dar cuenta de los efectos relativistas.

Consideramos una fuente distante de luz que se mueve con velocidad\(\boldsymbol{u}\). En el momento\(t = 0\) (tanto para la fuente como para el observador estacionario), la fuente emite una señal (esto podría ser una cresta de onda, pero el argumento se mantiene para cualquier señal). Un tiempo\(\Delta t^{\prime}\)) después, medido en el reloj que se mueve con la fuente, la fuente emite una segunda señal, ver Figura 15.E.1.

Figura\(PageIndex{1}\): Ajuste para calcular el efecto Doppler relativista. Como el observador (estacionario) está distante, las señales que viajan al observador desde la fuente pueden tomarse paralelas entre sí; forman un ángulo\(\theta\) con la dirección en la que se mueve la fuente. Tenga en cuenta que tanto la distancia entre la posición de la fuente a la emisión de la primera y segunda señal como la diferencia en la distancia recorrida por la señal importan.

Determinar el intervalo de tiempo\(\Delta t\) entre la emisión de la primera y segunda señal medida en el reloj del observador estacionario.
Determinar el cambio en la distancia\(\Delta x\) entre el observador (estacionario) y la fuente (móvil) en el intervalo de tiempo entre las dos señales, medido por el observador estacionario.
Ahora determine el intervalo de tiempo\(\Delta t_{obs}\) entre la llegada de la primera y la segunda señal a la ubicación del observador.
De tus respuestas en (a-c), muestra que la frecuencia observada\(\nu_{obs}\) está relacionada con la frecuencia de la fuente\(\nu_{s}\) a través de\[v_{\mathrm{obs}}=\frac{\sqrt{1-u^{2} / c^{2}}}{1+(u / c) \cos \theta} v_{\mathrm{s}}\label{15.E.2}\] Note que la ecuación (\ ref {15.E.2}) se reduce a (\ ref {15.E.1}) en el caso de que la fuente se esté alejando radialmente del observador.
De la ecuación (\ ref {15.E.2}), encuentre la expresión para el desplazamiento Doppler transversal (relativista) para el caso de que la fuente se mueva en una dirección perpendicular a la línea de visión del observador (i.e.,\(\theta = 90^{o}\)). ¿Cómo se puede decir que en este caso, el cambio Doppler se debe exclusivamente a la dilatación del tiempo?