16.B: Algunas ecuaciones y constantes

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Constantes Físicas

Tabla B.1: Constantes físicas
Nombre	Símbolo	Valor
Velocidad de la luz	\(c\)	\(3.00 \cdot 10^8 m/s\)
Cargo elemental	\(e\)	\(1.60 \cdot 10^{-19} C\)
Masa de electrones	\(m_e\)	\(9.11 \cdot 10^{-31} kg = 0.511 MeV/c^2\)
Masa protónica	\(m_p\)	\(1.67 \cdot 10^{-27} kg = 938 MeV/c^2\)
Constante gravitacional	\(G\)	\(6.67 \cdot 10^{-11} N \cdot m^2 /kg^2\)
Aceleración gravitacional	\(g\)	\(9.81 m/s^2\)
Constante de Boltzmann	\(k_B\)	\(1.38 \cdot 10^{-23} J/K\)
Constante de Planck	\(h\) \(\hbar = h /2 \pi\)	\(6.63 \cdot 10^{-34} J \cdot s\) \(1.05 \cdot 10^{-34} J \cdot s\)

Momentos de inercia

Cuadro B.2: Momentos de inercia, todo sobre ejes de simetría a través del centro de masa.
Objeto	Momento de inercia
Stick delgado (largo L)	\(\frac{1}{12} M L^2\)
Anillo de cilindro hueco (radio R)	\(M R^2\)
Disco o cilindro sólido (radio R)	\(\frac{1}{2} M R^2\)
Esfera hueca (radio R)	\(\frac{2}{3} M R^2\)
Esfera sólida (radio R)	\(\frac{2}{5} M R^2\)
Rectángulo (tamaño\(a \times b\)), eje perpendicular	\(\frac{1}{12} M (a^2 + b^2)\)
Rectángulo (tamaño\(a \times b\)), eje paralelo al lado b	\(\frac{1}{12} M a^2\)

Objetos del Sistema Solar

Cuadro B.3: Características del Sol, la Tierra y la Luna.
	Sun	Tierra	Luna
Masa (kg)	\(1.99 \cdot 10^{30}\)	\(5.97 \cdot 10^{24}\)	\(7.35 \cdot 10^{22}\)
Radio medio (m)	\(6.96 \cdot 10^{8}\)	\(6.37 \cdot 10^{6}\)	\(1.74 \cdot 10^{6}\)
Periodo (s) orbital	\(6 \cdot 10^{15}\) (200 Mi)	\(3.16 \cdot 10^{7}\) (365.25 días)	\(2.36 \cdot 10^{6}\) (27.3 días)
Radio orbital medio (m)	\(2.6 \cdot 10^{20}\)	\(1.50 \cdot 10^{11}\)	\(3.85 \cdot 10^{8}\)
Densidad media (kg/m ³)	\(1.4 \cdot 10^{3}\)	\(5.5 \cdot 10^{3}\)	\(3.3 \cdot 10^{3}\)

Cuadro B.4: Propiedades de varios objetos del sistema solar. Los radios y masas ecuatoriales se comparan con los de la Tierra (ver Cuadro B.3). Las propiedades orbitales están alrededor de las primarias (el sol para planetas (enanos), el planeta para lunas). Radios orbitales y periodos para planetas nuevamente en comparación con la Tierra, para lunas en kilogramos y días. Periodo de rotación para todos los objetos en días. Inclinación e inclinación axial en grados. Datos de las hojas informativas planetarias de la NASA [31].
Nombre	Radio ecuatorial	Masa	Radio medio de la órbita	Periodo orbital	Inclinación	Excentricidad orbital	Periodo de rotación	Lunas confirmadas	Inclinación axial
Mercurio	0.382	0.06	0.39	0.24	3.38	0.206	58.64	0	0.04
Venus	0.949	0.82	0.72	0.62	3.86	0.007	-243.02	0	177.36
Tierra	1	1	1	1	7.25	0.017	1	1	23.44
Luna	0.272	0.0123	384399	27.32158	18.29-28.58	0.0549	27.32158	0	6.68
Marte	0.532	0.107	1.52	1.88	5.65	0.093	1.03	2	25.19
Ceres	0.0742	0.00016	2.766	4.599	10.59	0.08	0.3781	0	4
Júpiter	11.209	317.8	5.2	11.86	6.09	0.048	0.41	69	3.13
Io	0.285	0.015	421600	1.769	0.04	0.0041	1.769	0	0
Europa	0.246	0.008	670900	3.551	0.47	0.009	3.551	0	0
Ganímedes	0.423	0.025	1070400	7.155	1.85	0.0013	7.155	0	0
Callisto	0.378	0.018	1882700	16.689	0.2	0.0074	16.689	0	0
Saturno	9.449	95.2	9.54	29.46	5.51	0.054	0.43	62	26.73
Titan	0.404	0.023	1221870	15.945	0.33	0.0288	15.945	0	0
Urano	4.007	14.6	19.22	84.01	6.48	0.047	-0.72	27	97.77
Oberon	0.119	0.00051	583519	13.46	0.1	0.0014	13.46	0	0
Neptuno	3.883	17.2	30.06	164.8	6.43	0.009	0.67	14	28.32
Tritón	0.212	0.00358	354759	5.877	157	0.00002	5.877	0	0
Plutón	0.186	0.0022	39.482	247.9	17.14	0.25	6.39	5	119.59
Caronte	0.095	0.00025	17536	6.387	0.001	0.0022	6.387	0	desconocido
Haumea	0.13	0.0007	43.335	285.4	28.19	0.19	0.167	2	desconocido
Makemake	0.11	desconocido	45.792	309.9	28.96	0.16	desconocido	1	desconocido
Eris	0.18	0.0028	67.668	557	44.19	0.44	desconocido	1	desconocido

Ecuaciones

B.4.1 Derivados vectoriales

Gradiente:

\ [\ nabla f (\ negrita {r}) =\ nabla f (x, y, z) =\ left (\ begin {array} {c}
\ parcial_ {x} f\\
\ parcial_ {y} f\\
\ parcial_ {z} f
\ end {array}\ derecha) =\ izquierda (\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ sombrero {x} +\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}\ sombrero {y} +\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}\ sombrero {z}\ derecha)\]

Divergencia:

\ [\ nabla\ cdot\ negrita {v} =\ izquierda (\ parcial_ {x},\ parcial_ {y},\ parcial_ {z}\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ begin {array} {c}
v_ {x}\\
v_ {y}\\
v_ {z}
\ end {array}\ derecha) =\ frac {v_ parcial\ _ {x}} {\ parcial x} +\ frac {\ parcial v_ {y}} {\ parcial y} +\ frac {\ parcial v_ {z}} {\ parcial z}\]

Curl:

\ [\ nabla\ veces\ negrita {A} =\ izquierda (\ parcial_ {x},\ parcial_ {y},\ parcial_ {z}\ derecha)\ veces\ left (\ begin {array} {c}
A_ {x}\
A_ {y}\\
A_ {z}
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} c}
\ parcial_ {y} A_ {z} -\ parcial_ {z} A_ {y}\\
\ partial_ {z} A_ {x} -\ parcial_ {x} A_ {z}\\
\ parcial_ {x} A_ {y} -\ parcial_ {y} A_ {x}
\ final {matriz}\ derecha)\]

B.4.2 Relatividad Especial

Transformaciones de Lorentz para las coordenadas de un fotograma S' que se mueve con una velocidad u en la dirección x positiva del fotograma S:

\ [\ begin {align}
x^ {\ prime} &=\ gamma (u)\ izquierda (x-\ frac {u} {c} c t\ derecha)\\
c t^ {\ prime} &=\ gamma (u)\ izquierda (c t-\ frac {u} {c} x\ derecha)\
\ gamma (u) &=\ frac {1} {\ sqrt {1- (u/c) ^ {2}}}
\ end {align}\]

Adición de velocidad en un sistema relativista:

\[v_{x}=\frac{u+v_{x}^{\prime}}{1+u v_{x}^{\prime} / c^{2}} \quad \text { (longitudinal) } , v_{y}=\frac{1}{\gamma(u)} \frac{v_{y}^{\prime}}{1+u v_{x}^{\prime} / c^{2}} \quad \text { (transversal) }\]