3.2: Sistemas de coordenadas

La física implica el estudio de fenómenos que observamos en el mundo. Para conectar los fenómenos con las matemáticas comenzamos por introducir el concepto de un sistema de coordenadas. Un sistema de coordenadas consta de cuatro elementos básicos:

1. Elección de origen
2. Elección de ejes
3. Elección de dirección positiva para cada eje
4. Elección de vectores unitarios en cada punto del espacio

Existen tres sistemas de coordenadas de uso común: cartesiano, cilíndrico y esférico. En este capítulo describiremos un sistema de coordenadas cartesianas y un sistema de coordenadas cilíndricas.

Sistema de coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas consisten en un conjunto de ejes mutuamente perpendiculares, que se cruzan en un punto común, el origen\(O\). Vivimos en un mundo espacial tridimensional; por ello, el sistema más común que usaremos tiene tres ejes.

Elección de Origen

Elige un origen O en cualquier punto que sea más conveniente.

Elección de ejes

El conjunto más simple de ejes se conoce como los ejes cartesianos,\(y\) -axis,\(z\) -axis y -axis, que están en ángulo recto entre sí.\(x\) Entonces a cada punto\(P\) en el espacio se le puede asignar un triplete de valores\(\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\). Los rangos de estos valores son:\(-\infty<x_{P}<+\infty\),\(-\infty<y_{P}<+\infty\),\(-\infty<z_{P}<+\infty\).

Elección de la dirección positiva

Nuestra tercera opción es una asignación de dirección positiva para cada eje de coordenadas. Denotaremos esta elección por el símbolo\(+\) a lo largo del eje positivo. En problemas de física somos libres de elegir nuestros ejes y direcciones positivas de cualquier manera que decidamos que mejor se ajuste a un problema dado. Los problemas que son muy difíciles al usar las 6 opciones convencionales pueden resultar mucho más fáciles de resolver al hacer una elección reflexiva de los ejes.

Elección de vectores unitarios

Ahora asociamos a cada punto\(P\) en el espacio, un conjunto de tres vectores unitarios\(\left(\hat{\mathbf{i}}_{P}, \hat{\mathbf{j}}_{P}, \hat{\mathbf{k}}_{P}\right)\). Un vector unitario tiene magnitud uno:\(\left|\hat{\mathbf{i}}_{P}\right|=1,\left|\hat{\mathbf{j}}_{P}\right|=1, \text { and }\left|\hat{\mathbf{k}}_{P}\right|=1\). Asignamos la dirección de\(\hat{\mathbf{i}}_{P}\) a punto en la dirección de la\(x\) coordenada creciente en el punto\(P\). Definimos las direcciones para\(\hat{\mathbf{j}}_{P}\) y\(\hat{\mathbf{k}}_{P}\)\(P\) en la dirección de la\(y\) coordenada creciente y la\(z\) coordenada respectivamente (Figura 3.10). Si elegimos un punto\(S\) diferente y definimos un conjunto similar de vectores unitarios\(\left(\hat{\mathbf{i}}_{S}, \hat{\mathbf{j}}_{S}, \hat{\mathbf{k}}_{S}\right)\), los vectores unitarios at\(S\) y P satisfacen las igualdades\[\hat{\mathbf{i}}_{S}=\hat{\mathbf{i}}_{P}, \hat{\mathbf{j}}_{S}=\hat{\mathbf{j}}_{P}, \text { and } \hat{\mathbf{k}}_{S}=\hat{\mathbf{k}}_{P}, \nonumber \]

porque los vectores son iguales si tienen la misma dirección y magnitud independientemente de dónde se encuentren en el espacio.

Figura 3.10 Elección de vectores unitarios en los puntos P y S. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Un sistema de coordenadas cartesianas es el único sistema de coordenadas en el que se mantiene la Ecuación (3.2.1) para todos los pares de puntos. Por lo tanto, dejamos caer la referencia al punto P y usamos\(\left(\hat{\mathbf{i}}_{P}, \hat{\mathbf{j}}_{P}, \hat{\mathbf{k}}_{P}\right)\) para representar los vectores unitarios en un sistema de coordenadas cartesianas (Figura 3.11).

Figura 3.11 Vectores unitarios en un sistema de coordenadas cartesianas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Sistema de coordenadas cilíndricas

Muchos objetos físicos demuestran algún tipo de simetría. Por ejemplo, si gira un cilindro uniforme alrededor del eje longitudinal (eje de simetría), el cilindro aparece sin cambios. La operación de hacer girar el cilindro se denomina operación de simetría, y el objeto sometido a la operación, el cilindro, es exactamente el mismo que antes de que se realizara la operación. Esta propiedad de simetría de los cilindros sugiere un sistema de coordenadas, llamado sistema de coordenadas cilíndrico, que hace transparente la propiedad simétrica bajo rotaciones.

Primero elige un origen\(O\) y un eje a través\(O\), que llamamos el\(z\) eje -. Las coordenadas cilíndricas para un punto\(P\) son los tres números\((r,θ,z)\) (Figura 3.12). El número\(z\) representa la coordenada familiar del punto\(P\) a lo largo del\(z\) eje. El número no negativo r representa la distancia desde el\(z\) eje -hasta el punto\(P\). Los puntos en el espacio correspondientes a un valor positivo constante de\(r\) yacen sobre un cilindro circular. El locus de puntos correspondientes a\(r = 0\) es el\(z\) eje -. En el plano\(z = 0\), definir un rayo de referencia a través\(O\), al que nos referiremos como el\(x\) eje positivo. Dibuja una línea a través del punto\(P\) que es paralelo al\(z\) eje. Dejar\(D\) denotar el punto de intersección entre esa línea\(PD\) y el plano\(z = 0\). Dibuja un rayo\(OD\) desde el origen hasta el punto\(D\). Dejar\(θ\) denotar el ángulo dirigido desde el rayo de referencia al rayo\(OD\). El ángulo\(θ\) es positivo cuando se mide en sentido antihorario y negativo cuando se mide en sentido horario.

Figura 3.12 Coordenadas cilíndricas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Las coordenadas\((r,θ)\) se denominan coordenadas polares. Las transformaciones de coordenadas entre\((r,θ)\) y las coordenadas cartesianas\((x, y)\) están dadas por

\[x=r \cos \theta, \nonumber \]

\[y=r \sin \theta. \nonumber \]

Por el contrario, si se nos dan las coordenadas cartesianas\((x, y)\), las coordenadas se\((r,θ)\) pueden determinar a partir de las transformaciones de coordenadas\[r=+\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1 / 2} \nonumber \]

\[\theta=\tan ^{-1}(y / x) \nonumber \]

Elegimos un conjunto de vectores unitarios\(\left(\hat{\mathbf{r}}_{P}, \hat{\mathbf{θ}}_{P}, \hat{\mathbf{k}}_{P}\right)\) en el punto de la\(P\) siguiente manera. Elegimos\( \hat{\mathbf{k}}_{P} \) apuntar en la dirección de aumentar\(z\). Elegimos\(\hat{\mathbf{r}}_{P}\) apuntar en la dirección de incremento\(r\), dirigido radialmente lejos del\(z\) eje -eje. Elegimos\(\hat{\mathbf{θ}}_{P}\) apuntar en la dirección de aumentar\(θ\). Este vector unitario apunta en sentido contrario a las agujas del reloj, tangente al círculo (Figura 3.13a). Una diferencia crucial entre las coordenadas cilíndricas y las coordenadas cartesianas implica la elección de vectores unitarios. Supongamos que consideramos un punto diferente\(S\) en el plano. Los vectores unitarios\(\left(\hat{\mathbf{r}}_{\mathrm{s}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}_{\mathrm{s}}, \hat{\mathbf{k}}_{\mathrm{s}}\right)\) en el punto también\(S\) se muestran en la Figura 3.13. Tenga en cuenta que\(\hat{\mathbf{r}}_{P} \neq \hat{\mathbf{r}}_{S} \text { and } \hat{\boldsymbol{\theta}}_{p} \neq \hat{\boldsymbol{\theta}}_{S}\) debido a que su dirección difiere. Dejaremos caer los subíndices que denotan los puntos en los que se definen los vectores unitarios y simples se refieren al conjunto de vectores unitarios en un punto como\((\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}, \hat{\mathbf{k}})\), en el entendimiento de que las direcciones del conjunto\((\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}})\) dependen de la ubicación del punto en cuestión.

Figura 3.13: (a) Vectores unitarios en dos puntos diferentes en coordenadas cilíndricas. b) Vectores unitarios en coordenadas polares y cartesianas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Los vectores unitarios\((\hat{\mathbf{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}})\) en el punto\(P\) también están relacionados con los vectores unitarios cartesianos\((\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}})\) por las transformaciones

\[\hat{\mathbf{r}}=\cos \theta \, \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \, \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

\[\hat{\mathbf{θ}}=-\sin \theta \, \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta \, \hat{\mathbf{j}} \nonumber \]

Del mismo modo, las transformaciones inversas están dadas por

\[\hat{\mathbf{i}}=\cos \theta \, \hat{\mathbf{r}}-\sin \theta \,\hat{\mathbf{θ}} \nonumber \]

\[\hat{\mathbf{j}}=\sin \theta \, \hat{\mathbf{r}}+\cos \theta \, \hat{\mathbf{ θ}} \nonumber \]

Un sistema de coordenadas cilíndricas también es una opción útil para describir el movimiento de un objeto que se mueve en círculo alrededor de un punto central. Considera un eje vertical que pasa perpendicular al plano de movimiento que pasa por ese punto central. Entonces cualquier rotación alrededor de este eje vertical deja los círculos sin cambios.