4.4: Aceleración
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Aceleración media
La aceleración promedio es la cantidad que mide un cambio en la velocidad en un intervalo de tiempo determinado. Supongamos que durante\(Δt\) un intervalo de tiempo un cuerpo sufre un cambio de velocidad
\[\Delta \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}(t+\Delta t)-\overrightarrow{\mathbf{v}}(t) \nonumber \]
El cambio en el componente x de la velocidad,\(Δv\), para el intervalo de tiempo\([t, t + Δt]\) es entonces
\[\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t) \nonumber \]
Definición: Componente X de la Aceleración Media
El componente x de la aceleración promedio para el intervalo de tiempo\(Δt\) se define como
\[\overrightarrow{\mathbf{a}}_{a v e}=a_{a v e} \hat{\mathbf{i}} \equiv \frac{\Delta v}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}}=\frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}} \nonumber \]
Las unidades SI para aceleración promedio son metros por segundo al cuadrado, [ms -2].
Aceleración instantánea
Considere la gráfica del componente x de velocidad,\(v(t)\), (Figura\(\PageIndex{1}\)).
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La aceleración promedio para un intervalo de tiempo fijo Δ t es la pendiente de la línea recta que conecta los dos puntos (t, v (t)) y (t + Δ t, v (t + Δ t)). Para definir el componente x - de la aceleración instantánea en el tiempo t, empleamos el mismo argumento limitante que cuando definimos la velocidad instantánea en términos de la pendiente de la línea tangente.
Definición: x - Componente de la Aceleración Instantánea
El componente x de la aceleración instantánea en el tiempo\(t\) es la pendiente de la línea tangente en el momento\(t\) de la gráfica de la componente x de la velocidad en función del tiempo,
\[a(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \equiv \frac{d v}{d t} \label{accel} \]
El vector de aceleración instantánea en el tiempo t es entonces
\[\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=a(t) \hat{\mathbf{i}} \nonumber \]
Debido a que la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, el componente x de la aceleración es la segunda derivada de la función de posición,
\[a=\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber \]
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Determining Acceleration from Velocity
Continuemos Ejemplo 4.1, en el que la función de posición para el cuerpo viene dada por\(x=x_{0}+(1 / 2) b t^{2}\), y el componente x de la velocidad es\(v = bt\). El componente x de la aceleración instantánea es la primera derivada (con respecto al tiempo) del componente x de la velocidad:
\[a=\frac{d v}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{b t+b \Delta t-b t}{\Delta t}=b \nonumber \]
Obsérvese que en la Ecuación\ ref {accel}, la relación\(Δv / Δt\) es independiente de\(t\), consistente con la pendiente constante como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).