4.4: Aceleración

Aplicaremos el mismo procedimiento físico y matemático para definir la aceleración, como la tasa de cambio de velocidad con respecto al tiempo. Primero consideramos cómo cambia la velocidad instantánea a lo largo de un intervalo de tiempo fijo y luego tomamos el límite a medida que el intervalo de tiempo se acerca a cero.

Aceleración media

La aceleración promedio es la cantidad que mide un cambio en la velocidad en un intervalo de tiempo determinado. Supongamos que durante$Δt$ un intervalo de tiempo un cuerpo sufre un cambio de velocidad

$$\Delta \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}(t+\Delta t)-\overrightarrow{\mathbf{v}}(t) \nonumber$$

El cambio en el componente x de la velocidad,$Δv$, para el intervalo de tiempo$[t, t + Δt]$ es entonces

$$\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t) \nonumber$$

Definición: Componente X de la Aceleración Media

El componente x de la aceleración promedio para el intervalo de tiempo$Δt$ se define como

$$\overrightarrow{\mathbf{a}}_{a v e}=a_{a v e} \hat{\mathbf{i}} \equiv \frac{\Delta v}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}}=\frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$

Las unidades SI para aceleración promedio son metros por segundo al cuadrado, [ms ^-2].

Aceleración instantánea

Considere la gráfica del componente x de velocidad,$v(t)$, (Figura$\PageIndex{1}$).

Figura$\PageIndex{1}$: Gráfico de velocidad vs. tiempo que muestra la línea tangente en el tiempo$t$. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

La aceleración promedio para un intervalo de tiempo fijo Δ t es la pendiente de la línea recta que conecta los dos puntos (t, v (t)) y (t + Δ t, v (t + Δ t)). Para definir el componente x - de la aceleración instantánea en el tiempo t, empleamos el mismo argumento limitante que cuando definimos la velocidad instantánea en términos de la pendiente de la línea tangente.

Definición: x - Componente de la Aceleración Instantánea

El componente x de la aceleración instantánea en el tiempo$t$ es la pendiente de la línea tangente en el momento$t$ de la gráfica de la componente x de la velocidad en función del tiempo,

$$a(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{(v(t+\Delta t)-v(t))}{\Delta t} \equiv \frac{d v}{d t} \label{accel}$$

El vector de aceleración instantánea en el tiempo t es entonces

$$\overrightarrow{\mathbf{a}}(t)=a(t) \hat{\mathbf{i}} \nonumber$$

Debido a que la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, el componente x de la aceleración es la segunda derivada de la función de posición,

$$a=\frac{d v}{d t}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Determining Acceleration from Velocity

Continuemos Ejemplo 4.1, en el que la función de posición para el cuerpo viene dada por$x=x_{0}+(1 / 2) b t^{2}$, y el componente x de la velocidad es$v = bt$. El componente x de la aceleración instantánea es la primera derivada (con respecto al tiempo) del componente x de la velocidad:

$$a=\frac{d v}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{b t+b \Delta t-b t}{\Delta t}=b \nonumber$$

Obsérvese que en la Ecuación\ ref {accel}, la relación$Δv / Δt$ es independiente de$t$, consistente con la pendiente constante como se muestra en la Figura$\PageIndex{1}$.