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6.1: Derivados de orden superior

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    Tal vez recuerde haber escuchado sobre Becca y su competencia Track and Field en un concepto anterior. Su novio había estado grabando en su portátil las señales de posición del transmisor GPS que Becca llevaba durante su carrera. Estaba usando un programa de computadora portátil que había escrito para procesar las señales de posición GPS una vez por segundo para poder determinar qué tan lejos había corrido en el momento durante la carrera. Estos puntos de distancia y tiempo fueron trazados en su computadora portátil. Ella había creado un programa que también le daba un modelo matemático de su distancia para que pudiera tomar la derivada de la función matemática en cualquier momento para obtener su velocidad “instantánea”.

    ¿Y si, en lugar de simplemente encontrar su velocidad en cualquier momento de la carrera, quisiera encontrar su aceleración? ¿Cómo se haría eso?


    Derivados de orden superior

    Si la función f tiene una derivada f′ que es diferenciable, entonces la derivada de f′, denotada por f′′ se denomina la segunda derivada de f. Podemos continuar el proceso de diferenciación de derivadas y obtener las derivadas tercera, cuarta, quinta y superior de f. Se denotan como se muestra a continuación:

    Notaciones para Derivados de Orden Superior
    1r 2do 3er enésima orden
    f′ f′′ f′′′ f (4) f (n)
    y′ y′′ y′′′ y (4) y (n)
    \[ \frac{dy}{dx} \nonumber\] \[ \frac{d^2y}{dx^2} \nonumber\] \[ \frac{d^3y}{dx^3} \nonumber\] \[ \frac{d^4y}{dx^4} \nonumber\] \[ \frac{d^ny}{dx^n} \nonumber\]

    \[ D_xy \nonumber\]
    \[ D_x^2y\nonumber\] \[ D_x^3y \nonumber\] \[ D_x^4y\nonumber\] \[ D_x^ny \nonumber\]

    Dado f (x) =−2x 2 −4x−1. ¿Qué es f′′ (x)?

    Recordemos que f′′ (x) significa “La segunda derivada de f (x)”, o “La derivada de la derivada de f (x)”. La función f (x) debe diferenciarse dos veces de la siguiente manera:

    \[ f′(x)=\frac{d}{dx}(−2x^2−4x−1) \nonumber\]

    ... Determinar el 1er derivado

    \[ f′(x)=−4x−4 \nonumber\]

    \[ f′′(x)=\frac{d}{dx}(−4x−4) \nonumber\]

    . ... Determinar el 2do derivado.

    \[ f′′(x)=−4 \nonumber\]

    Por lo tanto,\[ f′′(x)=−4 \nonumber\]


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Antes, te preguntaron sobre Becca encontraría su aceleración. Dado que Becca ya creó un programa para calcular su velocidad instantánea en un punto dado de la pista encontrando la derivada del modelo matemático a sus datos de posición GPS, podría entonces tomar la derivada de esa función, la segunda derivada, para encontrar su aceleración instantánea en el mismo punto de la carrera.

    Al encontrar su velocidad instantánea y aceleración en diferentes puntos de la carrera, puede aprender mucho sobre su desempeño durante la carrera, y ojalá apuntar a las áreas en las que necesita trabajar para mejorar su éxito general.

    Ejemplo 2

    Dado f (x) = (−x 4 −4x 3 −5x 2 +3). Encuentra f′′ (x) cuando x=3.

    Nuevamente, la función f (x) debe diferenciarse dos veces; luego se debe evaluar la segunda derivada:

    \[ f′(x)=\frac{d}{dx}(−x^4−4x^3−5x^2+3) \nonumber\]

    ... Determinar el 1er derivado

    \[ =−4x^3−12x^2−10x \nonumber\]

    \[ f′′(x)=\frac{d}{dx}(−4x^3−12x^2−10x) \nonumber\]

    . ... Determinar el 2do derivado

    \[ =−12x^2−24x−10 \nonumber\]

    \[ f′(3)=−12(3)2^−24(3)−10 \nonumber\]

    . ... Evaluar el 2do derivado

    \[ =−190 \nonumber\]

    Por lo tanto,\[ f′′(3)=−190\nonumber\]

    Ejemplo 3

    Mostrar que y=x3+3x+2 satisface la ecuación diferencial y′′′+xy′′−2y′=0.

    Necesitamos obtener la primera, segunda y tercera derivadas y sustituirlas en la ecuación diferencial para verificar la igualdad.

    \[ y=x^3+3x+2 \nonumber\]

    \[ y′=3x^2+3 \nonumber\]

    \[ y′′=6x \nonumber\]

    \[ y′′′=6 \nonumber\]

    Sustituyendo,

    \[ y′′′+xy′′−2y′=6+x(6x)−2(3x^2+3) \nonumber\]

    \[ =6+6x^2−6x^2−6 \nonumber\]

    \[ =0 \nonumber\]

    que satisface la ecuación.

    Ejemplo 4

    Encuentra la quinta derivada de\[ f(x)=2x^4−3x^3+5x^2−x−1 \nonumber\]

    Para encontrar la quinta derivada, primero debemos encontrar la primera, segunda, tercera y cuarta derivadas de la siguiente manera:

    1. \[ f′(x)=8x^3−9x^2+5x−x \nonumber\]
    2. \[ f(2)(x)=24x^2−18x+5 \nonumber\]
    3. \[ f(3)(x)=48x−18 \nonumber\]
    4. \[ f(4)(x)=48 \nonumber\]
    5. \[ f(5)(x)=0 \nonumber\]

    Revisar

    1. Dado:\[ v(x)=−4x^3+3x^2+2x+3 \nonumber\] ¿Qué es v′′ (x)?
    2. Dado:\[ m(x)=x^2+5x \nonumber\] ¿Qué es m′′ (x)?
    3. Dado:\[ d(x)=3x^4e^x \nonumber\] ¿Qué es d′′ (x)?
    4. Dado:\[ t(x)=−2x^5sin(x) \nonumber\] Qué es\[ \frac{d^2t}{dx^2}? \nonumber\]
    5. ¿Qué es\[ \frac{d^2}{dx^2}3x^5e^x? \nonumber\]
    6. Encuentra\[ \frac{d^3y}{dx^3}|_{x=1} \nonumber\] dónde\[ y=\frac{2}{x^3} \nonumber\].
    7. Supongamos\[ u′(0)=98 \nonumber\] y\[(\frac{u}{q})′(0)=7 \nonumber\] Encuentra q (0) asumiendo u (0) =0?
    8. Dado:\[ b(x)=\frac{x^2−5x+4}{−5x+2} \nonumber\] ¿Qué es: b′ (2)?
    9. Dado:\[ m(x)={e^x}{3x+4} \nonumber\] ¿Qué es\[ \frac{dm}{dx} \nonumber\]?
    10. ¿Qué es\[ \frac{d}{dx}⋅\frac{sin(x)}{x−4}? \nonumber\]
    11. Dado\[ q(x)=\frac{x}{sin(x)} \nonumber\] Lo que es\[ q′′(x)=\frac{d^2}{dx^2}\frac{x}{sin(x)}? \nonumber\]
    12. La posición de una determinada nanopartícula puede aproximarse mediante la función t 3 +t. ¿Qué función da la aceleración de la partícula?
    13. La posición de un carro viene dada por la función sin (t) +3t 2. ¿El auto está acelerando o desacelerando?
    14. La posición de un velociraptor persiguiendo un triceratops viene dada por la función cos (−t). ¿La rapaz está experimentando un tirón positivo o negativo en\[ t=\frac{3π}{2} \nonumber\]
    15. La posición de la luna es el cielo nocturno dado por la siguiente función del tiempo:\[ \frac{1}{12}t^4−\frac{3}{6}t^3−5t^2+π^π \nonumber\] Nombra una hora en la que la luna no esté experimentando ninguna aceleración.
    16. ¿Cuál es el número máximo de veces que se tendría que diferenciar un polinomio de N grados antes de que la derivada se convierta en cero?

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.11.


    El vocabulario

    Término Definición
    Aceleración La aceleración es la velocidad a la que la velocidad y la dirección de un objeto están cambiando.
    derivado de orden superior Una derivada de orden superior es una segunda, tercera o enésima derivada de una función.
    Aceleración instantánea La aceleración instantánea de un objeto es el cambio de velocidad del objeto calculado en un punto específico en el tiempo.
    Velocidad instantánea La velocidad instantánea de un objeto es la velocidad del objeto en un punto específico en el tiempo.

    Recursos adicionales

    PLIX: Juega, aprende, interactúa, explora - Derivados de orden superior-Aceleración y tirón

    Video: Cálculo - Encontrar Derivados Superiores

    Mundo real: Secretos profundos


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