8.3: Fuerzas de restricción

El conocimiento de todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre cada uno de los objetos en un sistema y la aplicación de la Segunda Ley de Newton a cada uno de los objetos determinan un conjunto de ecuaciones de movimiento. Estas ecuaciones de movimiento no son necesariamente independientes debido a que el movimiento de los objetos puede estar limitado por ecuaciones de restricción. Además hay fuerzas de restricción que están determinadas por su efecto sobre el movimiento de los objetos y no son conocidas de antemano ni descriptibles por alguna ley de fuerza. Por ejemplo: un objeto que se desliza por un plano inclinado está obligado a moverse a lo largo de la superficie del plano inclinado (Figura 8.6a) y la superficie ejerce una fuerza de contacto sobre el objeto; un objeto que se desliza por la superficie de una esfera hasta que se cae experimenta una fuerza de contacto hasta que pierde contacto con el superficie (Figura 8.6b); las partículas de gas en un recipiente sellado están restringidas para permanecer dentro del recipiente y, por lo tanto, la pared debe ejercer fuerza sobre las moléculas de gas para mantenerlas dentro del recipiente (8.6c); y una perla restringida para deslizarse hacia afuera a lo largo de una varilla giratoria actúa sobre las fuerzas dependientes del tiempo de la varilla sobre la cuenta (Figura 8.6d). Desarrollaremos métodos para determinar estas fuerzas de restricción aunque hay muchos ejemplos en los que no se pueden determinar las fuerzas de restricción.

Figura 8.6 Movimientos restringidos: (a) partículas que se deslizan hacia abajo en el plano inclinado, (b) partículas que se deslizan hacia abajo de la superficie de la esfera, (c) moléculas de gas en un recipiente sellado y (d) perla que se desliza sobre una varilla giratoria

Fuerzas de Contacto

Empujar, levantar y tirar son fuerzas de contacto que experimentamos en el mundo cotidiano. Descansa tu mano sobre una mesa; los átomos que forman las moléculas que componen la mesa y tu mano están en contacto entre sí. Si presionas más fuerte, los átomos también se presionan más juntos. Los electrones en los átomos comienzan a repelerse entre sí y tu mano es empujada en dirección opuesta por la tabla.

Según la Tercera Ley de Newton, la fuerza de tu mano sobre la mesa es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza de la mesa sobre tu mano. Claramente, si empujas más fuerte la fuerza aumenta. ¡Pruébalo! Si empuja la mano hacia abajo sobre la mesa, la mesa empuja hacia atrás en una dirección perpendicular (normal) a la superficie. Deslice su mano suavemente hacia adelante a lo largo de la superficie de la mesa. Apenas sientes la mesa empujando hacia arriba, pero sí sientes la fricción actuando como una fuerza resistiva al movimiento de tu mano. Esta fuerza actúa tangencial a la superficie y opuesta al movimiento de tu mano. Empuje hacia abajo y hacia adelante. Intenta estimar la magnitud de la fuerza que actúa sobre tu mano.

La fuerza de la mesa que actúa sobre tu mano,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{C} \equiv \overrightarrow{\mathbf{C}}\) se llama la fuerza de contacto. Esta fuerza tiene tanto una componente normal a la superficie\(\overrightarrow{\mathbf{C}}_{\perp} \equiv \overrightarrow{\mathbf{N}}\), llamada fuerza normal, como una componente tangencial a la superficie,\(\overrightarrow{\mathbf{C}}_{\|} \equiv \overrightarrow{\mathbf{f}}\) llamada fuerza de fricción (Figura 8.6).

Figura 8.6 Componentes normales y tangenciales de la fuerza de contacto

La fuerza de contacto, escrita en términos de sus fuerzas componentes, es por lo tanto

\[\overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{C}}_{\perp}+\overrightarrow{\mathbf{C}}_{\|} \equiv \overrightarrow{\mathbf{N}}+\overrightarrow{\mathbf{f}} \nonumber \]

Cualquier fuerza puede descomponerse en vectores componentes de manera que la componente normal\(\overrightarrow{\mathbf{N}}\), y la componente tangencial, no\(\overrightarrow{\mathbf{f}}\) son fuerzas independientes sino las componentes vectoriales de la fuerza de contacto, perpendiculares y paralelas a la superficie de contacto. La fuerza de contacto es una fuerza distribuida que actúa sobre todos los puntos de contacto entre la mano y la superficie.

Para la mayoría de las aplicaciones trataremos la fuerza de contacto como que actúa en un solo punto, pero se debe tomar precaución cuando la naturaleza distribuida de la fuerza de contacto juega un papel clave en la restricción del movimiento de un cuerpo rígido.

En la Figura 8.7 se muestran las fuerzas que actúan sobre tu mano. Estas fuerzas incluyen la fuerza de contacto,\(\overrightarrow{\mathbf{C}}\) de la mesa que actúa sobre tu mano, la fuerza de tu antebrazo, que\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{\text {forearm }}\) actúa sobre tu mano (que se dibuja en un ángulo que indica que estás empujando hacia abajo en tu mano así como hacia adelante), y la interacción gravitacional,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}\) entre la tierra y tu mano.

Figura 8.7 Fuerzas en la mano al moverse hacia la izquierda

Un punto a tener en cuenta es que las magnitudes de los dos componentes de la fuerza de contacto dependen de lo fuerte que empujes o tires de tu mano y en qué dirección, característica de las fuerzas de restricción, en las que los componentes no están especificados por una ley de fuerza sino que dependen del movimiento particular de la mano.

Ejemplo 8.2 Componente normal de la fuerza de contacto y peso

Sostenga un bloque en su mano de tal manera que su mano esté en reposo (Figura 8.8). Puedes sentir el “peso” del bloque contra tu palma. Pero, ¿qué queremos decir exactamente con “peso”?

Figura 8.9 Fuerzas en el bloqueo

Hay dos fuerzas que actúan sobre el bloque como se muestra en la Figura 8.9. Una fuerza es la fuerza gravitacional entre la tierra y el bloque, y se denota por\(\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}=m \overrightarrow{\mathbf{g}}\). La otra fuerza que actúa sobre el bloque es la fuerza de contacto entre tu mano y el bloque. Debido a que nuestra mano está en reposo, esta fuerza de contacto sobre el bloque apunta perpendicular a la superficie, y por lo tanto tiene sólo un componente normal,\(\overrightarrow{\mathbf{N}}\) Let N denota la magnitud de la fuerza normal. Debido a que el objeto está en reposo en tu mano, la aceleración vertical es cero. Por lo tanto, la Segunda Ley de Newton establece que

\[\overrightarrow{\mathbf{N}}+\overrightarrow{\mathbf{F}}^{g}=\overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \]

Escoge la dirección positiva para estar hacia arriba y luego en cuanto a componentes verticales tenemos que

\[N-m g=0 \nonumber \]

que se puede resolver por la magnitud de la fuerza normal

\[N=m g \nonumber \]

Cuando hablamos del “peso” del bloque, a menudo nos estamos refiriendo al efecto que tiene el bloque en una báscula o en la sensación que tenemos cuando sostenemos el bloque. Estos efectos son en realidad efectos de la fuerza normal. Decimos que un bloque “se siente más ligero” si hay una fuerza adicional sujetando el bloque hacia arriba. Por ejemplo, puedes descansar el bloque en tu mano, pero usa tu otra mano para aplicar una fuerza hacia arriba sobre el bloque para que se sienta más ligero en tu mano de apoyo.

La palabra “peso”, a menudo se usa para describir la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre un objeto. Siempre nos referiremos a esta fuerza como la fuerza gravitacional en lugar de “peso”. Cuando saltas en el aire, te sientes “ingrávido” porque no hay una fuerza normal que actúe sobre ti, a pesar de que la Tierra sigue ejerciendo una fuerza gravitacional sobre ti; ¡claramente, cuando saltas, no apagas la gravedad!

Este ejemplo también puede dar lugar a una idea errónea de que la fuerza normal siempre es igual a la masa del objeto multiplicada por la magnitud de la aceleración gravitacional en la superficie de la tierra. La fuerza normal y la fuerza gravitacional son dos fuerzas completamente diferentes. En este ejemplo particular, la fuerza normal es igual en magnitud a la fuerza gravitacional y se dirige en dirección opuesta porque el objeto está en reposo. La fuerza normal y la fuerza gravitacional no forman un par de fuerzas de interacción de la Tercera Ley. En este ejemplo, nuestro sistema es solo el bloque y la fuerza normal y la fuerza gravitacional son fuerzas externas que actúan sobre el bloque.

Redefinamos nuestro sistema como el bloque, tu mano y la Tierra. Entonces la fuerza normal y la fuerza gravitacional son ahora fuerzas internas en el sistema y ahora podemos identificar los diversos pares de fuerzas de interacción. Introducimos explícitamente nuestra notación de pares de interacción para permitirnos identificar estos pares de interacción: por ejemplo, vamos a\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, B}^{g}\) denotar la fuerza gravitacional en el bloque debido a la interacción con la Tierra. La fuerza gravitacional en la Tierra debido a la interacción con el bloque se denota por\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{B, E}^{g}\) y estas dos fuerzas forman un par de interacción. Por la Tercera Ley de Newton,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, B}^{g}=-\overrightarrow{\mathbf{F}}_{B, E}^{g}\). Obsérvese que estas dos fuerzas están actuando sobre diferentes objetos, el bloque y la Tierra. La fuerza de contacto sobre el bloque debido a la interacción entre la mano y el bloque se denota entonces por\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{H, B}\). La fuerza del bloque en la mano, que denotamos por\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{B, H}\), satisface\(\overrightarrow{\mathbf{N}}_{B, H}=-\overrightarrow{\mathbf{N}}_{H, B}\). Debido a que estamos incluyendo su mano como parte del sistema, hay dos fuerzas adicionales que actúan en la mano. Ahí está la fuerza gravitacional en tu mano\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, H}^{g}\), satisfactoria\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E, H}^{g}=-\overrightarrow{\mathbf{F}}_{H, E}^{g}\), donde\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{H, E}^{g}\) está la fuerza gravitacional en la Tierra debido a tu mano. Por último está la fuerza de tu antebrazo levantando la mano, que denotamos\(\overrightarrow{\mathbf{F}}_{F, H}\). Debido a que no estamos incluyendo el antebrazo en nuestro sistema, esta fuerza es una fuerza externa al sistema. Las fuerzas que actúan en su mano se muestran en diagrama en su mano se muestra en la Figura 8.10, y el justo el emparejamiento de interacción de las fuerzas que actúan en la Tierra se muestra en la Figura 8.11 (no estamos representando todas las demás fuerzas externas que actúan sobre la Tierra).

Figura 8.11 Fuerzas gravitacionales en la tierra debidas al objeto y a la mano

Fricción cinética y estática

Cuando se tira de un bloque a lo largo de una superficie horizontal o se desliza hacia abajo por un plano inclinado hay una fuerza lateral que resiste el movimiento. Si el bloque está en reposo en el plano inclinado, todavía hay una fuerza lateral que resiste el movimiento. Esta fuerza resistiva se conoce como fricción seca, y hay dos tipos distintivos cuando las superficies están en contacto entre sí. El primer tipo es cuando los dos objetos se mueven uno con relación al otro; la fricción en ese caso se llama fricción cinética o fricción deslizante. Cuando las dos superficies son inmóviles pero todavía hay una fuerza lateral como en el ejemplo del bloque en reposo sobre un plano inclinado, la fuerza se llama, fricción estática.

Leonardo da Vinci fue el primero en registrar los resultados de las mediciones de fricción cinética durante un período de veinte años entre 1493—4 y alrededor de 1515. Con base en sus mediciones, la fuerza de fricción cinética,\(\overrightarrow{\mathbf{f}}^{k}\) entre dos superficies, identificó dos propiedades clave de la fricción cinética. La magnitud de la fricción cinética es proporcional a la fuerza normal entre las dos superficies,

\[f_{\mathrm{k}}=\mu_{\mathrm{k}} N \nonumber \]

donde\(\mu_{\mathrm{k}}\) se llama el coeficiente de fricción cinética. El segundo resultado es bastante sorprendente ya que la magnitud de la fuerza es independiente de la superficie de contacto. Considera dos bloques de la misma masa, pero diferentes áreas superficiales. La fuerza necesaria para mover los bloques a una velocidad constante es la misma. El bloque de la Figura 8.12a tiene el doble de área de contacto que el bloque mostrado en la Figura 8.12b, pero cuando se aplica la misma fuerza externa a cualquiera de los dos bloques, los bloques se mueven a velocidad constante. Estos resultados de da Vinci fueron redescubiertos por Guillaume Amontons y publicados en 1699. La tercera propiedad de que la fricción cinética es independiente de la velocidad de los objetos en movimiento (para velocidades de deslizamiento ordinarias) fue descubierta por Charles Augustin Coulomb.

Figura 8.12 (a) y (b): la fricción cinética es independiente del área de contacto

La fricción cinética en la superficie 2 que se mueve con relación a la superficie 1 se denota por,\(\overrightarrow{\mathbf{f}}_{1,2}^{k}\) La dirección de la fuerza siempre es opuesta a la dirección relativa del movimiento de la superficie 2 con respecto a la superficie 1. Cuando una superficie está en reposo en relación con nuestra elección de marco de referencia, denotaremos la fuerza de fricción en el objeto en movimiento por\(\overrightarrow{\mathbf{f}}^{k}\).

El segundo tipo de fricción seca, la fricción estática, ocurre cuando dos superficies son estáticas una respecto a la otra. Debido a que la fuerza de fricción estática entre dos superficies forma un tercer par de interacción de ley, utilizará la notación\(\overrightarrow{\mathbf{f}}_{1,2}^{s}\) para denotar la fuerza de fricción estática en la superficie 2 debido a la interacción entre las superficies 1 y 2. Empuja tu mano hacia adelante a lo largo de una superficie; a medida que aumentas tu fuerza de empuje, la fuerza de fricción se siente cada vez más fuerte. ¡Prueba esto! Tu mano al principio se pegará hasta que empujes lo suficientemente fuerte, luego tu mano se desliza hacia adelante. La magnitud de la fuerza de fricción estática,\(f_{\mathrm{s}}\), depende de lo fuerte que empujes.

Si apoyas la mano sobre una mesa sin empujar horizontalmente, la fricción estática es cero. A medida que aumenta su empuje, la fricción estática aumenta hasta que empuja lo suficientemente fuerte como para que su mano se resbale y comience a deslizarse a lo largo de la superficie. Así, la magnitud de la fricción estática puede variar de cero a algún valor máximo,\(\left(f_{\mathrm{s}}\right)_{\max }\) cuando el objeto empujado comienza a deslizarse,

\[0 \leq f_{\mathrm{s}} \leq\left(f_{\mathrm{s}}\right)_{\max } \nonumber \]

¿Existe un modelo matemático para la magnitud del valor máximo de fricción estática entre dos superficies? A través de la experimentación, encontramos que esta magnitud es, como la fricción cinética, proporcional a la magnitud de la fuerza normal

\[\left(f_{\mathrm{s}}\right)_{\max }=\mu_{\mathrm{s}} N \nonumber \]

Aquí la constante de proporcionalidad es\(\mu_{\mathrm{s}}\), el coeficiente de fricción estática. Esta constante es ligeramente mayor que la constante\(\mu_{\mathrm{k}}\) asociada con la fricción cinética,\(\mu_{\mathrm{s}}>\mu_{\mathrm{k}}\). Esta pequeña diferencia explica el deslizamiento y la captura de tiza en una pizarra, uñas en vidrio o un arco de violín en una cuerda.

La dirección de la fricción estática sobre un objeto siempre es opuesta a la dirección de la fuerza aplicada (siempre y cuando las dos superficies no estén acelerando). En la Figura 8.13a,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}\) se aplica una fuerza externa, a la izquierda y\(\overrightarrow{\mathbf{f}}^{s}\) se muestra la fricción estática, apuntando a la derecha opuesta a la fuerza externa. En la Figura 8.13b, la fuerza externa,\(\overrightarrow{\mathbf{F}}\) se dirige hacia la derecha y la fricción estática\(\overrightarrow{\mathbf{f}}^{s}\),, apunta ahora a la izquierda.

Figura 8.13 (a) y (b): Fuerzas externas y dirección de fricción estática.

Aunque la ley de fuerza para la magnitud máxima de fricción estática se asemeja a la ley de fuerza para fricción deslizante, existen diferencias importantes:

1. La dirección y magnitud de la fricción estática sobre un objeto siempre depende de la dirección y magnitud de las fuerzas aplicadas que actúan sobre el objeto, donde se fija la magnitud de la fricción cinética para un objeto deslizante.

2. La magnitud de la fricción estática tiene un valor máximo posible. Si la magnitud de la fuerza aplicada a lo largo de la dirección de la superficie de contacto excede la magnitud del valor máximo de fricción estática, entonces el objeto comenzará a deslizarse (y estará sujeto a fricción cinética). A esto lo llamamos la condición justa de deslizamiento.