13.6: Teorema de la Energía Cinética de Trabajo

Existe una conexión directa entre el trabajo realizado en un objeto puntual y el cambio en la energía cinética que experimenta el objeto puntual. Si el trabajo realizado sobre el objeto es distinto de cero, esto implica que una fuerza desequilibrada ha actuado sobre el objeto, y el objeto habrá sufrido una aceleración. Para un objeto sometido a movimiento unidimensional, el lado izquierdo de la Ecuación (13.3.16) es el trabajo realizado sobre el objeto por el componente de la suma de las fuerzas en la dirección del desplazamiento,

\[W=\int_{x=x_{i}}^{x=x_{f}} F_{x} d x=\frac{1}{2} m v_{f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{i}^{2}=K_{f}-K_{i}=\Delta K \nonumber \]

Cuando el trabajo realizado en un objeto es positivo, el objeto aumentará su velocidad, y el trabajo negativo realizado en un objeto provoca una disminución de la velocidad. Cuando el trabajo realizado es cero, el objeto mantendrá una velocidad constante. De hecho, la relación trabajo-energía es bastante precisa; el trabajo realizado por la fuerza aplicada sobre un objeto es idéntico al cambio en la energía cinética del objeto.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Gravity and the Work-Energy Theorem

Supongamos que una bola\(m=0.2 \mathrm{kg}\) de masa parte del reposo a una altura\(y_{0}=15 \mathrm{m}\) por encima de la superficie de la tierra y cae a una altura\(y_{f}=5.0 \mathrm{m}\) por encima de la superficie de la tierra. ¿Cuál es el cambio en la energía cinética? Encuentra la velocidad final usando el teorema trabajo-energía.

Solución

Como solo una fuerza actúa sobre la pelota, el cambio en la energía cinética es el trabajo realizado por gravedad,

\ [\ begin {alineado}
W^ {g} &=-m g\ izquierda (y_ {f} -y_ {0}\ derecha)\\
&=\ izquierda (-2.0\ veces 10^ {-1}\ mathrm {kg}\ derecha)\ izquierda (9.8\ mathrm {m}\ cdot\ mathrm {s} ^ {-2}\ derecha) (5\ mathrm {m} -15\ mathrm {m}) =2.0\ veces 10^ {1}\ mathrm {J}
\ final {alineado}\ nonumber\]

El balón partió del descanso,\(v_{y, 0}=0\). Entonces el cambio en la energía cinética es

\[\Delta K=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{y, 0}^{2}=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2} \nonumber \]

Podemos resolver la Ecuación (13.6.3) para la velocidad final usando la Ecuación (13.6.2)

\[v_{y, f}=\sqrt{\frac{2 \Delta K}{m}}=\sqrt{\frac{2 W^{g}}{m}}=\sqrt{\frac{2\left(2.0 \times 10^{1} \mathrm{J}\right)}{0.2 \mathrm{kg}}}=1.4 \times 10^{1} \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber \]

Para la bola que cae en un campo de gravitación constante, el trabajo positivo de la fuerza de gravitación en el cuerpo corresponde a una energía cinética y velocidad crecientes. Para un cuerpo ascendente en un mismo campo, la energía cinética y por lo tanto la velocidad disminuyen ya que el trabajo realizado es negativo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Final Kinetic Energy of Moving Cup

Una persona empuja una taza de masa 0.2 kg a lo largo de una mesa horizontal con una fuerza de magnitud 2.0 N en un ángulo de\(30^{\circ}\) con respecto a la horizontal para una distancia de 0.5 m como en el Ejemplo 13.4. El coeficiente de fricción entre la mesa y la copa es\(\mu_{k}=0.1\). Si la copa estaba inicialmente en reposo, ¿cuál es la energía cinética final de la copa después de ser empujada 0.5 m? ¿Cuál es la velocidad final de la copa?

Solución

El trabajo total realizado en la copa es la suma del trabajo realizado por la fuerza de empuje y el trabajo realizado por la fuerza de fricción, como se da en las Ecuaciones (13.4.9) y (13.4.14),

\ [\ begin {alineado}
W=& W^ {a} +W^ {f} =\ izquierda (F_ {x} ^ {a} -\ mu_ {k} N\ derecha)\ izquierda (x_ {f} -x_ {i}\ derecha)\\
&=\ izquierda (1.7\ mathrm {N} -9.6\ veces 10^ {-2}\ mathrm {N}\ derecha) (0.5\ mathrm {m}) =8.0\ times 10^ {-1}\ mathrm {J}
\ end {alineado}\ nonumber\]

La velocidad inicial es cero por lo que el cambio en la energía cinética es solo

\[\Delta K=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2}-\frac{1}{2} m v_{y, 0}^{2}=\frac{1}{2} m v_{y, f}^{2} \nonumber \]

Así, el teorema de la energía cinética de trabajo, Ecuación (13.6.1)), nos permite resolver para la energía cinética final,

\[K_{f}=\frac{1}{2} m v_{f}^{2}=\Delta K=W=8.0 \times 10^{-1} \mathrm{J} \nonumber \]

Podemos resolver para la velocidad final,

\[v_{y, f}=\sqrt{\frac{2 K_{f}}{m}}=\sqrt{\frac{2 W}{m}}=\sqrt{\frac{2\left(8.0 \times 10^{-1} \mathrm{J}\right)}{0.2 \mathrm{kg}}}=2.9 \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1} \nonumber \]